第6章 专题11 线段和角的计算中的数学思想-【绿卡初中创新题】2025-2026学年新教材七年级上册数学习题课件(人教版2024)安徽专版

专题11　线段和角的计算中的数学思想 1 针对训练 1. （宿州埇桥期中）如果一个角的度数比它补角的2倍多30度，那么这个角的度数是________. 思想1　方程思想 【方法指导】 　　当题目中出现角度或线段长度之间的和差、倍分、比的关系时，通常设未知数，根据题目中的等量关系，利用方程求解. 130° 2 3 4 1 5 6 8 7 2. 如图，已知O是直线AB上一点，OC是从点O引出的一条射线，且∠AOC<∠BOC. 若OD是∠AOC的平分线，且满足∠BOC-∠COD=90°，求∠COD的度数. 解：设∠COD=x. 因为OD是∠AOC的平分线，所以∠AOD=∠COD=x. 所以∠BOC=180°-∠COD-∠AOD=180°-2x. 因为∠BOC-∠COD=90°，所以180°-2x-x=90°. 解得x=30°. 所以∠COD的度数为30°. 2 3 4 1 5 6 8 7 3 3. 如图，B，C是线段AD上两点，且AB∶BC∶CD=2∶4∶3，M是AD的中点，BM=15 cm，求线段MC的长. 解：设AB=2x cm，则BC=4x cm，CD=3x cm，所以AD=AB+BC+CD=9x cm. 因为M是AD的中点，所以AM=MD=AD=x cm，所以BM=AM-AB=x cm. 因为BM=15 cm，所以 x=15，解得x=6. 故MC=MD-CD= x-3x=x=×6=9（cm）. 2 3 4 1 5 6 8 7 4 思想2　整体思想 【方法指导】 　　如果从局部求解无法解决问题，可从全局着眼，整体思考，从而使问题化繁为简. 针对训练 4. 阅读下面材料：利用折纸折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A′处，点B落在点B′处，连接OA′. （1）如图1，当点B'在OA'上时，则∠COD=________； 90° 2 3 4 1 5 6 8 7 5 （2）如图2，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC=44°，∠BOD=61°，则∠A′OB′=________. 30° 2 3 4 1 5 6 8 7 5.（黄山期末）如图，已知点O是直线AB上任一点，过点O在直线同侧画射线OC，OD，使∠COD=90°. 射线OE和射线OF分别平分∠AOC和∠BOD，求∠EOF的度数. 解：因为∠AOB=180°，∠COD=90°， 所以∠AOC+∠BOD=90°. 因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOD， 所以∠COE=∠AOC，∠DOF=∠BOD. 因为∠EOF=∠COE+∠COD+∠DOF， 所以∠EOF=∠AOC+90°+∠BOD=（∠AOC+∠BOD）+90°=×90°+90° =135°. 2 3 4 1 5 6 8 7 6. 点A，B，C在同一条直线上，AB=6 cm，BC=2 cm，M为AB的中点，N为BC的中点，则MN的长度为 （　　） A. 2 cm B. 4 cm C. 2 cm或4 cm D. 不能确定 C 思想3　分类讨论思想 【方法指导】 　　若题目中没有明确指出线段端点的相对位置或角的大小、位置关系等信息，则应该全面考虑，注意条件下的图形的多样性，以免漏解. 2 3 4 1 5 6 8 7 8 7. 如图，O是直线AD上一点，∠AOB是∠AOC的余角，射线ON平分∠BOD. （1）若∠AOC=50°，求∠NOD的度数； 解：（1）因为∠AOB是∠AOC的余角，∠AOC=50°， 所以∠AOB=90°-50°=40°， 所以∠BOD=180°-∠AOB=180°-40°=140°. 因为ON平分∠BOD，所以∠NOD=∠BOD=70°. 2 3 4 1 5 6 8 7 9 （2）若∠AOB=2∠MON，请在图中画出符合题意的射线OM，探究∠COM与∠COD的数量关系，并说明理由. 解：（2）∠COD=90°+∠COM或∠COD=90°+∠COM. 理由如下：设∠AOB=α，则∠BOD=180°-α. 因为∠AOB是∠AOC的余角，所以∠AOC=90°-α， 所以∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-α-α=90°-2α. 因为ON平分∠BOD，所以∠BON=∠NOD=∠BOD=（180°-α）=90°-α. 因为∠AOB=2∠MON，所以∠MON=∠AOB=α. 当射线OM在∠CON内部时，如上图，∠COM=∠BON-∠MON-∠BOC=90°- α- α-（90°-2α）=α，∠COD=180°-∠AOC=180°-（90°-α）=90°+α， 所以∠COD=90°+∠COM. 2 3 4 1 5 6 8 7 10 当射线OM在∠NOD内部时，如右图， ∠COM=∠BON+∠MON-∠BOC=90°-α+α-（90°-2α）=2α， ∠COD=180°-∠AOC=180°-（90°-α）=90°+α， 所以∠COD=90°+∠COM. 综上可知，∠COD=90°+∠COM或∠COD=90°+∠COM. 2 3 4 1 5 6 8 7 11 思想4　从特殊到一般 【方法指导】 　　如果直接解决问题存在困难，可以先考虑特殊的情况，通过取特殊值、 特殊图形等找到解题的规律和方法，进而推广到一般情况. α 20° 2 3 4 1 5 6 8 7 12 针对训练 8. 已知OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线. （1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC=60°时，∠MON的度数是多少？ α 解：（1）因为∠AOB=90°，∠BOC=60°， 所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+60°=150°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC=∠AOC=75°，∠NOC=∠BOC=30°， 所以∠MON=∠MOC-∠NOC=45°． 2 3 4 1 5 6 8 7 13 （2）如图2，当∠AOB=α，∠BOC=60°时，猜想∠MON与α的数量关系. （2）∠MON=α. 理由如下： 因为∠AOB=α，∠BOC=60°，所以∠AOC=α+60°. 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC=∠AOC=α+30°，∠NOC=∠BOC=30°， 所以∠MON=∠MOC-∠NOC= -30° =30°=α． 2 3 4 1 5 6 8 7 14 （3）如图3，当∠AOB=α，∠BOC=β时，猜想：∠MON与α，β有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由. 解：∠MON=α，与β的大小无关. 理由如下： 因为∠AOB=α，∠BOC=β，所以∠AOC=α+β． 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以∠MOC=∠AOC= （α+β），∠NOC= ∠BOC= β， 所以∠MON=∠MOC-∠NOC=（α+β） β=α. 即∠MON=α，与β的大小无关． 2 3 4 1 5 6 8 7 15 16 $