13.2 勾股定理的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

13.2 勾股定理的应用 第13章 勾股定理 八年级上册数学（华师版） 学习目标 1.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.(重点) 2.经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件.（难点） 如图所示，一个圆柱体的底面周长为 20 cm，高 AB 为 4 cm，BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从 A 点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C，试求出爬行的最短路程.(精确到 0.01 cm) A B C 分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬动，如果将这半个侧面展开，得到长方形 ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图 — — 长方形ABCD 的对角线 AC 之长. 情境导入 A B C A C B D 解：如图，在 Rt△ABC 中， BC = 底面周长的 一半 = 10 cm. 由勾股定理，可得： 答：爬行的最短路程约为 10.77 cm. 把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间，线段最短”性质来解决问题. 变式 如果圆柱换成如图的棱长为 10 cm 的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到 0.01 cm) A B 勾股定理的应用 1 探究新知 A B 10 10 10 B C A 解：最短路程即为长方形的对角线 AB， 答：爬行的最短路程约是 22.36 cm. 例1 如果盒子换成如图长 AB 为 3 cm，宽 BC 为 2 cm，高 BB1 为 1 cm 的长方体，蚂蚁沿着表面由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程又是多少呢？ A B C D B1 C1 D1 A1 分析：蚂蚁由 A 爬到 C1 过程中较短的路线有多少种？ (1)经过前面和上底面； (2)经过前面和右面； (3)经过左面和上底面. 典例精析 A B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 解： (1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 2 3 A 1 B B1 C1 D1 A1 (2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A B C B1 C1 A1 (3)当蚂蚁经过左面和上面时，如图，最短路程为 A B C D B1 C1 D1 A1 3 2 1 A D D1 A1 B1 C1 5.10＞4.47＞4.24 所以由 A 爬到 C1 需要爬行的最短路程是 4.24 cm. A B C D 2米 2.3 米 例2 一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂房上方为半圆形拱门)？说明理由. 典例精析 MN＝ MH＝0.6＋2.3＝2.9 (米)＞2.5 (米). 答：卡车能通过厂门． 解：在Rt△ONM 中，∠MNO = 90°， 由勾股定理，得 A B D C O M ┏ N H 2 米 2.3 米 勾股定理及其逆定理的综合应用 2 例3 如图，在 3×3 的方格图中，每个小方格的边长都为 1 ，请在给定网格中按下列要求画出图形： （1）画出所有从点 A 出发，另一个端点在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为 的线段； （2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形. A 分析 利用勾股定理找到以格点为端点满足要求的线段. 解 (1)如图，AB、AC、AE、AD 的长度均为 . (2)如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、 △ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形. A E D C B 例4 如图，已知 CD＝6 cm，AD＝8 cm， ∠ADC＝90°，BC＝24 cm，AB＝26 cm，求图中着色部分面积. 解：在 Rt△ADC 中， ∵AC2 = AD2 + CD2 = 82 + 62 = 100 (勾股定理)， ∴AC = 10(cm). ∵AC2 + BC2 = 102 + 242 = 676 = 262 = AB2， ∴△ACB 为直角三角形（勾股定理的逆定理）. ∴S着色部分 = S△ACB - S△ACD = 96 (cm2). （1）证明：∵CD=1，BC＝ ，BD = 2， ∴CD2 + BD2 = BC2， ∴△BDC是直角三角形； （2）解：设腰长AB=AC=x， 在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2， ∴x2=(x-1)2+22， 解得 用到了方程的思想 练一练：如图，△ABC 中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD =1， BC＝ ，BD=2． （1）求证：△BCD 是直角三角形； （2）求△ABC 的面积． 1. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 点在 CB 延长线上，求证：AD2 - AB2 = CD·BD A B C D E ∴ AD2 - AB2 = (AE2 + DE2) - (AE2 + BE2) = DE2 - BE2 = (DE + BE)·( DE - BE) = (DE + CE)·( DE - BE) = CD·BD. 证明：过 A 作 AE⊥BC 于 E. ∵AB = AC，∴BE = CE. 在 Rt△ADE 中，AD2 = AE2 + DE2. 在 Rt△ABE 中，AB2 = AE2 + BE2. 当堂练习 5.在寻找某坠毁飞机的过程中，两艘搜救艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B．于是，一艘搜救艇以16海里/时的速度离开港口O（如图）沿北偏东40°的方向向目标A的前进，同时，另一艘搜救艇也从港口O出发，以12海里/时的速度向着目标B出发，1.5小时后，他们同时分别到达目标A、B．此时，他们相距30海里，请问第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？ 解：根据题意得OA=16×1.5=24(海里), OB=12×1.5=18(海里)， ∵OB2+OA2=242+182=900，AB2=302=900， ∴OB2+OA2=AB2， ∴∠AOB=90°. ∵第一艘搜救艇离开港口O沿北偏东40°的方向向目标A的前进， ∴∠BOD=50°， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． 勾股定理的应用 最短路程问题 勾股定理与其逆定理的应用 当堂小结 $