11.3.2 两数和（差）的平方（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学课件聚焦“两数和（差）的平方”公式，通过披萨面积比较的情境导入，从多项式乘法基础出发，经代数推导与几何证明构建公式，形成从具体问题到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，用代数推理与几何直观发展数学思维，通过多解法示例和综合应用强化模型意识，如几何图形解释公式本质，例2的不同解法拓展思路。助力学生理解公式内涵，教师可直接用于分层教学，提升课堂效率。

11.3 乘法公式 2.两数和（差）的平方 第11章 整式的乘除 八年级上册数学（华师版） 学习目标 1.理解并掌握两数和(或差)平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点） 2.理解两数和(或差)平方公式的结构特征，灵活应用两数和(或差)平方公式.（难点） 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12. 所以不应该同意. 情境导入 两数和（或差）平方公式 1 (1) ( p + 1 )2 = = . 探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (2) ( m + 2 )2 = = . p2 + p + p + 12 m2 + 2m + 2m + 22 两数的___的平方 和 两数____的和， 平方 加上它们积的__倍 2 p2 + 2p + 12 m2 + 4m + 22 探究新知 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ ∵(a＋b)2 = (a＋b)(a＋b) = a2＋2ab＋b2. = a2 ＋ ab ＋ ab ＋ b2 ∴上述结果仍成立. 思路一： a2 b2 ab ab a b a + b a b a2 ab ab b2 (a + b)2 = + 2ab + (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 b2 a + b 你能几何的形式证明公式成立吗? 思路二： 文字叙述：两数的和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 知识要点 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 两数和的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” (1) (2x + 3y)2 (2) (2a+ )2 + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 = (2a)2 + 2 · 2a · + ( )2 = 4a2 + 2ab + 例1 计算： ( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2 典例精析 = (2x)2 + 2 · 2x · 3y (3) ( p－1 )2 = ( p－1 )( p－1 ) = . p2－2p + 12 (4) ( m－2 )2 = ( m－2 )( m－2 ) = . m2－4m + 22 探究 2：结合探究1 填空，你能总结出规律并验证吗？ 规律：两个数的差的平方，等于这两个数平方的和，减去它们的积的 2 倍. 验证：对于任意数字，探究上述结果是否仍成立？ 验证： ∵(a－b)2 = [a＋(－b)]2 = a2＋2a·(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2. ∴上述结果仍成立. 思路一： 你能类比上述几何方法验证 思路二： (a－b)2 = a2－2ab + b2 成立吗? 猜想验证 a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 完全平方公式2： a−b 文字叙述：两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两数差的平方公式 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 知识要点 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方，另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同； 3. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式或多项式. 例2 计算： (1) (3x - 2y)2； 解：(1) (3x - 2y)2 = 9x2 - 12xy + 4y2. ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 典例精析 + (2y)2 = (3x)2 - 2 · 3x · 2y 解法一 解法二 解法三 思考： (a + b)2 与 (-a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? (-a - b)2 = [-(a + b)]2 = (a + b)2. (b - a)2 = [-(a - b)]2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等，只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. (1) 1022； 解：原式 = (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404. (2) 992. 解：原式 = (100－1)2 = 10000 － 200 + 1 = 9801. 1.运用两数和（或差）平方公式计算： 解题小结：利用两数和(或差)平方公式计算: 1.先选择公式； 3.化简. 2.准确代入公式； 当堂练习 2. 运用乘法公式计算: （1）(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； 原式 = [x + (2y - 3)][x - (2y - 3)] = x2 - (2y - 3)2 = x2 - (4y2 - 12y + 9) = x2 - 4y2 + 12y - 9. 解： （2）(a + b + c)2 原式 = [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. 解： 解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照两数和(或差)平方公式进行计算. $