11.3.1 两数和乘以这两数的差（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学课件围绕平方差公式展开，通过“狡猾地主的公平交易”情境导入，以多项式乘法复习为基础，引导学生计算实例发现规律推导公式，结合几何解释和解决导入问题构建知识支架。 其特色是情境联系现实培养数学眼光，实例观察归纳发展数学思维，几何与算式变形强化数学语言。如地主菜地面积计算、图形面积验证、符号变形练习，助学生理解公式本质，教师可借结构化资源提升教学效率。

11.3 乘法公式 1.两数和乘以这两数的差 第11章 整式的乘除 八年级上册数学（华师版） 学习目标 1.理解两数和乘以这两数差的几何意义.（重点） 2.理解并掌握两数和乘以这两数差的公式结构，并能正确运算.（难点） 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x ＋ 5) = x2＋5x＋3x＋15 = x2＋8x＋15. ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 复习回顾 狡猾地主的“公平”交易 张老汉租了一块边长为 a (a＞2)米的正方形菜地，种出的萝卜又大又甜. 地主眼红了，第二年笑眯眯地说：“老张啊，我把地的一边缩短 2 米，另一边加长 2 米，形状变成长方形，但租金不变！你看，总长度没变，你可没吃亏！” 张老汉挠挠头：“一边减 2，一边加 2， 好像挺公平？”于是答应了. 回家后邻居王大婶惊呼：“你亏大啦！” 张老汉急得直拍大腿：“为啥？ 情境导入 ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 平方差公式 1 探究新知 ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a ) = a2 − b2. 平方差公式： 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式， 有时也简称为平方差公式. 知识要点 _____________ ＝ ________ － ________ 几 何 解 释 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) = － (a + b)(a - b) a2 b2 b a a b b b2 a2 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 适当交换 合理加括号 2米 2米 a米 原来 a2 (a - 2) (a + 2)米 现在 (a + 2)(a - 2) 🔍 数学揭秘：面积变了吗？ 回顾导入 a2 - 4 a2 ＞ 算一算：口答下列各题： （l）(-a + b)(a + b) =  _________. （2）(a - b )(b + a) = __________. （3）(-a - b)(-a + b) = ________. （4）(a - b)(-a - b) = _________. a2 - b2 a2 - b2 b2 - a2 b2 - a2 例1 填一填： (1 + x)(1 - x) ( - 3 + m)( - 3 - m) (0.3y - 1)(1 + 0.3y) (1 + t)( - 1 + t) a b a2 - b2 1 x -3 m 12 - x2 ( - 3)2 - m2 t 1 t2 - 12 0.3y 1 ( 0.3y)2 - 12 (a - b)(a + b) 典例精析 例2 计算： (1) (a + 3)(a－3)； (2) (2a + 3b)(2a－3b)； (3) (1 + 2c)(1－2c)； = a2－9 = 4a2－9b2 = 1－4c2 解：(1) (a + 3)(a－3) = a2－32 = 12－(2c)2 (4) (－2x－y)(2x－y). (2) (2a + 3b)(2a－3b) = (2a)2－(3b)2 (3) (1 + 2c)(1－2c) 典例精析 原式 = －(2x + y)(2x－y) = －(4x2－y2) = －4x2 + y2. 或 (4) (－2x－y) (2x－y) 原式 = (－y－2x)(－y + 2x) = (－y)2－(2x)2 = y2－4x2 (4) (－2x－y)(2x－y). (－y－2x) (－y + 2x) －(2x + y) 例3 计算 1998×2002. (2000 - 2)(2000 + 2) = 4 000 000 - 4 = 3 999 996. 解： 1998×2002 = = 20002 - 22 1.计算： (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1). (x－1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x2－1)(x2 + 1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x4－1)(x4 + 1)(x8 + 1) = (x8－1)(x8 + 1) = x16－1 解： 练一练 1. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x + 3)(x - 3) = x2 - 3； (2) ( - 3a - 2)(3a - 2) = 9a2 - 4. 不对 改正：x2 - 9 不对 改正方法①： 原式 = - [(3a + 2)(3a - 2)] = - (9a2 - 4) = - 9a2 + 4. 改正方法②： 原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a) = ( - 2)2 - (3a)2 = 4 - 9a2. 当堂练习 (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = (2a + 3)(2a - 3) = (2a)2 - 32 = 4a2 - 9. = a2 - 9b2. 解：原式 = a2 - (3b)2 (2) (3 + 2a)(-3 + 2a)； 2. 利用平方差公式计算： (3) ( - 2x2 - y)( - 2x2 + y)； 解：原式 = ( - 2x2 )2 - y2 = 4x4 - y2. (4) ( - 5 + 6x)( - 6x - 5). 解：原式 = ( - 5 + 6x)( - 5 - 6x) = ( - 5)2 - (6x)2 = 25 - 36x2. = (50 + 1)(50 - 1) = 502 - 12 = 2500 - 1 = 2499. = (9x2 - 16) - (6x2 + 5x - 6) = 3x2 - 5x - 10. （5）51×49； （6）(3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3) (3x - 2). $