12.4.3 角平分线（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

3.角平分线 1．会叙述角的平分线的性质及判定；(重点) 2．能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；(难点) 3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 一、情境导入 问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质定理 【类型一】 利用角平分线的性质求线段的长度 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是 ． 解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长AB.故答案为7cm. 方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．从题目提供的信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要． 【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法． 【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF. 解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可． 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF. 方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件． 探究点二：角平分线的判定定理 【类型一】 角平分线的判定 如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线． 证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD=90o，∴△BED与△CFD是直角三角形．在Rt△BED和Rt△CFD中，∵ ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上． 【类型二】 角平分线的性质和判定的综合 如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线． 解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明． 证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线． 方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题． 【类型三】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O. (1)找出图中相等的线段； (2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF. 解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD； (2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF. 方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键． 探究点三：角平分线性质的应用 已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ (2)你能画出塔台的位置吗？ 解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出直线l1，l2，l3两两相交组成的角的平分线，角平分线的交点就是所求的点． 解：(1)可选择的地点有4处，如图：P1、P2、P3、P4，共4处； (2)能，如图，根据角平分线的性质作三条直线相交所成的角的平分线，角平分线的交点就是所求的点． 方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点；若是到三角形三边所在的直线的距离相等，则这样的点还有外角角平分的交点，故共有4个.这一结论在以后的学习中经常遇到． 三、板书设计 角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础．教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理．在证明定理时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程．在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进． 学科网（北京）股份有限公司 $