12.3.2 等腰三角形的判定（Word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

该初中数学教案聚焦等腰三角形判定（等角对等边）及等边三角形判定（三角相等或一角60°的等腰三角形），以地质专家估测河流宽度为情境导入，连接实际问题与数学原理，搭建从具体到抽象的学习支架。 特色在于情境导入渗透数学眼光（从现实抽象模型），合作探究通过证明题（如证△CEF是等腰三角形）培养推理意识，例题结合实际应用发展模型意识。助力学生提升逻辑思维与解决问题能力，为教师提供结构化教学资源，突出重难点。

2.等腰三角形的判定 1．理解等腰三角形的判定方法的证明过程； 2．掌握等腰三角形的判定定理及等边三角形的判定定理，能运用定理和推论进行简单的推理和计算；(重点、难点) 3．通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力． 一、情境导入 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米． 同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定． 二、合作探究 探究点一：等腰三角形的判定 【类型一】 判定一个三角形是等腰三角形 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形． 解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，从而可得△CEF是等腰三角形． 证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形． 方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立． 【类型二】 等腰三角形性质和判定的综合运用 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形； (2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数． 解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“SAS”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后由外角可知∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF得出∠B＝∠DEF. (1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形； (2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF， ∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°. 方法总结：等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 探究点二：等边三角形的判定 【类型一】 等边三角形的判定 等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形． 解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP与△ACQ中， ∵∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形． 方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°. 【类型二】 等边三角形的性质和判定的综合运用 如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数． （2）求证：DC=CF． 解析：（1）结合平行及等边三角形的性质，可得∠EDC的度数，再结合DE⊥EF，可求得∠F的度数；（2）中由平行及等边三角形的性质，得∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°．从而得△DEC是等边三角形.进而结合三角形外角的性质及∠F的度数，再根据等腰三角形的判定以及线段之间的等量变换，得出结论. （1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°.∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=60°. ∵DE⊥EF，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°－60°=30°． （2）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°. ∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC=60°，∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°. ∴△DEC是等边三角形，∴CE=CD.∵∠ECD=∠F＋∠CEF，∠F=30°， ∴∠CEF=∠F=30°，∴EC=CF，∴CD=CF． 方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件． 三、板书设计 1.等腰三角形的判定：等角对等边. 2.等边三角形的判定： （1）三个角都相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 这一课的教学重点是等腰三角形的判定定理及应用，教学难点是等腰三角形的性质定理与判定定理的区别．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算，提高学生的动手、归纳、猜想能力，发展学生证明用文字表述的几何命题的能力，使他们进一步掌握归纳思维方法，领会数学中分类讨论思想、转化思想．本节课的不足之处有：等边对等角与等角对等边一定要在同一个三角形中来研究，这点强调得不够． 学科网（北京）股份有限公司 $