12.2.5 斜边直角边（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（华东师大版2024）

5 斜边直角边 学习目标： 1.经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程； 2.掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题（重点）； 3.熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题（难点）. 自主学习 一、知识链接 1.我们已经学过的判定三角形全等的方法有___________________. （用简写法） 2.如图，点C,F在BE上，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E. （1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ），根据是 （用简写法）； （2） 若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ），根据是 （用简写法）； （3） 若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等” ），根据是 （用简写法）. 二、新知预习 1.如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E. （1）△ABC与△DEF全等吗？ （2）若∠B=∠E=90°，猜想Rt△ABC与Rt△DEF是否全等.动手画一画. 合作探究 一、探究过程 探究点1：利用“斜边直角边（HL）”证明三角形全等 问题1：两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 问题2：两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 做一做：在一张空白纸上任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ 【要点归纳】 分别相等的两个直角三角形全等(简称“斜边、直角边”或“HL”). 【几何语言】 如图，在 Rt△ABC 和Rt△A ′B ′C ′中， ∵ ∴Rt△ABC____Rt△A ′B ′C ′（HL）. 例1 如图， ∠ACB =∠ADB=90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） 【变式题】如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求证：AD＝BC． 例2 如图，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，AD＝BC，DE＝BF，求证：AB∥DC． 探究点2：证明直角三角形全等的综合判定 例3如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB．求证：BD=CE． 【要点归纳】证明直角三角形全等不仅有HL，前面学过的SAS、AAS、ASA、SSS都可以用. 二、课堂小结 直角三角形全等的判定 简称 图示 符号语言 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 “斜边、直角边”或“HL” ∴Rt△ABC≌Rt△A ′B ′C ′(HL)． 注意：利用“斜边、直角边”来证明两个三角形全等的前提条件是在直角三角形中. 当堂检测 1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）， 依据是“ ”（用简写法）. 第2题图 第3题图 3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点H．已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH 的长为 . 4.如图，E、F为线段AC上的两个点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF．求证：BF＝DE． 【变式题1】如图，已知AE＝CF，AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，BD与EF交于点G.求证：BD平分EF． 【变式题2】如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF,BD与EF交于点G.求证：BD平分EF. 参考答案 自主学习 一、知识链接 1.SAS,ASA,AAS,SSS 2.（1）全等 ASA （2）全等 AAS （3）全等 SAS 二、新知预习 1.（1）不一定全等． （2）全等，画图略. 合作探究 一、探究过程 探究点1 【要点归纳】斜边和一条直角边 【几何语言】AB A＇B＇ AC A＇C＇ ≌ 例1 （1）AC=BD HL （2）BC=AD HL （3）∠ABC=∠BAD或∠CAB=∠DBA AAS 【变式题】 证明：连接DC.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL）.∴AD=BC． 例2 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED＝∠CFB＝90°，∠AFB＝∠CED＝90°．在Rt△ADE和Rt△CBF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）．∴AE＝CF.∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在△AFB和△CED中，∴△AFB≌△CED （SAS）.∴∠ACD＝∠BAC.∴AB∥CD． 探究点2 例3 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD=CE． 当堂检测 1.D 2.全等 HL 3.1 4.证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BFA＝90°．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.∴BF＝DE． 【变式题1】证明：∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，，∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.∴DE＝BF.在△DEG和△BFG中， ，∴△DEG≌△BFG（AAS）.∴EG＝FG.∴BD平分EF． 【变式题2】证明：∵AE=CF，∴AF＝CE．在Rt△ABF和Rt△CDE中，， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）.∴BF＝DE．在△BFG和△EDG中，， ∴△BFG≌△EDG（ASA）．∴FG＝EG，即BD平分EF． 学科网（北京）股份有限公司 $