分层作业(22)函数奇偶性的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册分层作业（人教A版）

■ 分层作业（二十二） 函数奇偶性的应用 (满分：99分) ·基础对点练 x3+1,x>0, 1.(5分)已知函数f(x)= 为偶函 az3+6;x<0 数，则2十b= [A]3 o-台 1- 2.(5分)若偶函数f(x)在（一∞，一1]上单调递 增，则下列关系式中成立的是 () [1f()<f(-1D<f(2) [f(-1)<f()<f(2) [f(2)<f(-1)<f(-) 1f(2)<f(-3)<f(-1) 3.(5分)如果奇函数f(x)在区间[一3，-1]上单 调递增且有最大值5，那么奇函数∫(x)在区间 [1,3]上 [A]单调递增且最小值为一5 []单调递增且最大值为一5 [c]单调递减且最小值为一5 [D]单调递减且最大值为一5 4.(5分)函数f(x)在R上为偶函数，且x>0 时，f(x)=√元+1，则当x<0时，f(x)= □ 5.(5分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在 (一∞，0]上单调递增，且f(2)=0,则使得 f(x)<0的x的取值范围是 0□00□0I0□ 1□口口口1口 学 22222□ 年级： 卡信息 33333 后 4☐4口4☐4口4☐ 班级： 555☐5□5 位 6]66]66 姓名： 7□7D7刀7D 8☐8□8□8☐8□ 9]999☐9□ 19876543210+0.5 6.(10分)设函数f(x)是定义在R上的奇函数， 当x<0时，f(x)=一x2一x,求函数f(x)的 解析式 ·能力提升练· 7.(5分)若函数y=f(x)是奇函数，且函数F(x)= af(x)十bx十2在(0，十∞)上有最大值8，则函数 y=F(x)在(-∞，0)上有 () [A]最大值一8 [B]最小值一8 [c]最小值一6 [D]最小值一4 8.(6分)（多选）对于定义在R上的函数f(x)= ax3+bx+c(a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一 组值去计算f(一1)和f(1),所得出的正确结 果可能是 () [A]2和6 [B]3和9 [c]4和11 [D]5和13 13 9.(5分)若奇函数f(x)在（一∞，0]上的解析式 19876543210+0.5 为f(x)=x2十x,则f(x)在(0，十∞)上有 15.(15分)（创新拔高题）已知f(x)是定义在R ( 上的奇函数，且满足下面两个条件：①对于任 最大值一号 [B]最大值4 意的x,y∈R,均有f(x+y)=f(x)十 f(y);②当x>0时，f(x)<0,且f(1)= c酸小值是 D最小值子 一2.试求函数f(x)在[一3,3]上的值域. 10.(5分)若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递 减，且f1)=0,则不等式fx)-f-)<0 x 的解集为 [A](-1,0)U(1,+∞) [B](-∞，-1)U(0,1) [c](-∞，-1)U(1,+∞) [D](-1,0)U(0,1) 11.(5分)已知f(x)=x3十x,则不等式f(x十2)十 f(x)<0的解集为 () [A](-∞，-1) [B](-1,+o∞) [c](-∞，0) [D](0,+∞) 12.(5分)若f(x)=(m-1)x2+6x+2是偶函 数，则f(0),f(1),f(一2)从小到大的排列是 □ 13.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且 在区间(-∞，0]上单调递增，若f(-3)=0, 则fCx)<0的解集为 口 19876543210+0.5 14.(13分)已知f(x)是奇函数，在(0，+∞)上单 调递增且)<0，判断F()=了在 (一∞，0)上的单调性，并证明你的结论. 44f(-x)=(-x)ln-x|=-xInlx|=-f(x),所以f(x)= xlnx是奇函数. (3)f(x)=x2(x2+2)的定义域为R. 因为f(一x)=f(x),所以f(x)=x2(x2+2)是偶函数. (4)因为x2十x≠0，解得x≠0且x≠一1，定义域不关于原，点 1 对称，所以f(x)= 既不是奇函数也不是偶函数 x2+x 7.解：(1)证明：由已知f(x十y)=f(x)十f(y), 令y=一x得f(0)=f(x)十f(-x), 令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0, 所以f(x)十f(一x)=0,即f(一x)=一f(x), 故f(x)是奇函数. (2)由(1)知f(x)为奇函数. 所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a. 又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3), 所以f(12)=一4a. 8.B[因为F(-x)=f(-x)十f(x)=F(x),又x∈(-a, a),定义域关于原点对称，所以F(x)是偶函数.] 9.B[由1-x2≥0得-1≤x≤1，所以x+2>0,lx+2|-2= x+2-2=x, 1-x==之（红≠0)， 所以f(x)=z+2-2 x 所以函数的定义域为[-1,0)U(0,1],关于原点对称. 因为f(-x)=-=--2 一x =-f(x), 所以f(x)是奇函数 故选B.] 10.AC[A选项，m=0时，f(x)=一2x3为奇函数，A正确； B选项，若f(x)=mx2十3x为偶函数，则f(一x)=mx2 3x,则m的值不存在，故B不正确； C选项，若f(x)=x6十m为偶函数，则f(-x)=x十m= f(x),所以Hm∈R,使f(x)=x6十m都为偶函数，故C 正确； D选项，令m=1,f(x)=2x3-x2,由f(-x)=-2x3 x2,所以f(x)≠一∫（一x),故D错误，故选AC.] 11.0[因为奇函数的定义域关于原点对称， 所以a-4+2a-2=0, 所以a=2. 又因为函数f(x)是定义在[一2,2]上的奇函数， 所以f(0)=0,f(一2)=-f(2), 即b+2=0,故b=-2. 所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0.] 12.00[由已知得f(0)=0,故m=0. 由f(x)是奇函数， 可得f(-x)=-f(x), -x+0 x+0 即2-z+12+x+1 x2-nx+1=x2+nx+1, 解得n=0.] 13.{x|一5≤x<一2，或2<x≤5}[因为偶函数的图象关于 y轴对称， 当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集为{x|2<x≤5}， 所以当x∈[一5,0)时，f(x)<0的解集为{x|一5≤x<-2). 所以f(x)<0的解集是{x|-5≤x<一2，或2<x≤5}.] 14.1[在f(x)-g(x)=x3十x2+1中， 令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1. 又f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1), 所以f(1)+g(1)=1.] 15.解：(1)令a=b=0, 则f(0)=0×f(0)十0×f(0)=0. 令a=b=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1), 即f(1)=2f(1),所以f(1)=0. (2)f(x)是奇函数.证明如下： 令a=b=-1, 则由f(a·b)=af(b)+bf(a), 得f(1)=-f(-1)-f(-1). 因为f(1)=0,所以-2f(-1)=0,所以f(-1)=0. 令a=一1，b=x,则f(一x)=-f(x)+xf(-1), 所以f(-x)=一f(x). 又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)为奇函数 分层作业（二十二） 答案速对 1 2378 9 1011 B D A D ABD B 4.√/-x+15.(-∞，-2)U(2,+∞) 12.f(-2)<f(1)<f(0)13.{x-3<x<0,或x>3} 试题精析 1.B[由已知得，当x>0时，-x<0,即f(x)=x3+1, f(-x)=-ax3+b. :f(x)为偶函数，f(-x)=f(x),即x3+1=-ax3+b, ∴a=-1,6-1.2+b=21+1-号，故逸B] 2.D[因为函数f(x)是偶函数，所以f(2)=f(一2). 因为fx)在(-0，-1门上单羽递增，且-2<-号<-1， 所以f-20<f(-)<f-D,即f2<f(-)<f-1D. 故选D.] 3.A[因为f(x)为奇函数， 所以f(x)在区间[1,3]上单调递增，f(1)为最小值. 又已知f(-1)=5,所以f(-1)=-f(1)=5, 所以f(1)=一5.] 4.√一x+1[因为f(x)为偶函数，x>0时，f(x)=√x+1, 所以当x<0时，一x>0,f(x)=f(-x)=√/-x+1,即当 x<0时，f(x)=√/一x+1.] 5.(一∞，一2)U(2,+∞)[因为函数f(x)是定义在R上的 偶函数，且在（一∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，十∞）上 单调递减.又因为f(2)=0,由f(x)<0,可得f(|x|)<0= f(2),即x>2,所以x<-2或x>2.] 6.解：设x>0,则-x<0,则f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x 十x. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)=一f(-x)= x2-x. 又函数f(x)的定义域为R,所以f(0)=0, -x2-x,x<0, 综上可知，f(x)={x2-x,x≥0， 7.D[令T(x)=af(x)十bx,因为y=f(x)和y=x都是奇 函数， 所以T(x)=af(x)十bx也为奇函数. 又因为F(x)=af(x)十bx十2在(0，十∞)上有最大值8， 1111 所以T(x)=af(x)十bx在(0，十∞)上有最大值6， 所以T(x)=af(x)十bx在(-∞，0)上有最小值-6， 所以F(x)=af(x)+bx+2在（一∞，0）上有最小值一4.] 8.ABD[设F(x)=f(x)-c=ax3+bx.因为F(-x)= a(-x)3+b(-x)=-(ax3十bx)=-F(x),又x∈R,关于 原点对称，所以F(x)是奇函数，所以F(一1)=一F(1),则 f(1)+f(-1)=F(1)+c+F(-1)+c=2c.因为c∈Z,所 以f(1)十f(一1)为偶数，故四个选项中符合要求的为A, B,D.] B[法-：声0时，)=计=(+》”子所以 f)有表小位一子 因为f(x)是奇画数，所以当x>0时，f(x)有最大值手 法二：当x>0时，一x<0,所以f(一x)=x2一x. 又因为f(x)为奇函数，所以f(一x)=一f(x), 所以当x>0时，f)=-x+z=-(-）》”+子 所以当x>0时，f()有兼大值是] 10.c[因为f(x)为奇函数，fx)-f-2<0,2fx2<0, 即f）<0, 又f(x)在(0，十∞)上单调递减且f(1)=0, 所以当x>1时，f(x)<0,x）<0. 工 因为奇函数的图象关于原，点对称， 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减且f(一1)=0， 所以当x<-1时，f(x)>0,fx》<0. x 综上，不等式的解集为（一∞，-1）U(1,十∞).] 11.A[由题意，x∈R,在f(x)=x3十x中，f(-x)=-x3 x=一f(x), 所以f(x)=x3十x为奇函数，Hx1,x2∈R,且x1<x2, 则fx）-fx）_+x1-(x+z2) x1一x2 x1一x2 =x-x十x1-x2 x1一x2 因为x1<x2,所以x1一x2<0,x月一x8<0: 所以fx)-fx0,函教单调递增。 x1一x2 因为f(x+2)+f(x)<0, 所以f(x+2)<-f(x)=f(一x)， 所以x十2<一x,解得x<一1， 所以不等式f(x十2)十f(x)<0的解集为（一∞，一1） 故选A.] 12.f(-2)<f(1)<f(0)[因为f(x)是偶函数， 所以f(一x)=f(x)恒成立， 即(m一1)x2一6mx+2=(m-1)x2十6mx十2恒成立， 所以m=0,即f(x)=一x2十2. 因为函数f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴， 所以f(x)在[0，十∞)上单调递减， 所以f(2)<f(1)<f(0),即f(-2)<f(1)<f(0).] 13.{x|-3<x<0,或x>3}[因为f(x)是定义在R上的偶 函数，且在区间（一∞，0]上单调递增， 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递减，f(3)=f(一3)=0. 当x>0时，由f(x)<0,解得x>3; 112 当x<0时，由f(x)>0,解得一3<x<0. 故所求不等式的解集为{x|一3<x<0,或x>3}.] 14.解：F(x)在（一c∞，0）上单调递减.证明如下： Hx1,x2∈(-∞，0)，且x1<x2,则有-x1>一x2>0. 因为f(x)在(0，十∞)上单调递增，且f(x)<0, 所以f(-x2)<f(-x1)<0①. 又因为f(x)是奇函数， 所以f(-x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1)②. 由①②得f(x2)>f(x1)>0, 于是F(x1)-F(x2) f(x2)-f(x1) f)·f(x2)>0, 即F)>F(x:),所以F(x)=f在(-∞，0)上单调 递减. 15.解：x1,x2,且-3≤x1<x2≤3， 则x2-x1>0,f(x2-x1)<0, 所以f(x2)=f(x2-x1)+x1)=f(x2-x1)+f(x1), 所以f(x2)一f(x1)=f(x2-x1)<0,即f(x2)<f(x1), 所以f(x)在[-3,3]上单调递减， 又f(1)=-2,f(2)=f(1)+f(1)=-4, 所以f(3)=f(1)十f(2)=一2一4=一6，又f(x)是定义在 R上的奇函数， 所以f(一3)=一f(3)=6,又f(x)在[一3,3]上单调递减， 所以函数f(x)在[-3,3]上的值域为[-6,6]. 分层作业（二十三） 答案速对一 12 3 47 8 9 10 AD B C B AC BCD 5.（-4,+∞)11.（-∞，2]12.② 试题精析一 1.AD[幂函数是形如y=x(a为常数)的函数，A是a=-1 入y 的情形，D是α=一2的情形，所以A和D都是幂画数；B中 x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.] 2B[因为了（份）-（合》广-号所以a=合则了x)=x, 1 f(4)=4=2.] 3.C[由题图知，①表示y=√元，②表示y=x,③表示y=x2, ④表示y=x3.] 4.B[f(x)=(t一2)x是幂函数， .t-2=1,得t=3. f(x)=x". “点（行，27）在第通数fx)=x的图象上， 27=(号）广，得a=-8. .t十a=3-3=0.故选B.] 5.(-4,十∞)[因为暴函数y=x3在R上为增函数，(a- 3)<(1+2a), 所以a一3<1十2a,解得a>一4，所以不等式的解集为（一4， +∞).]