精品解析：广西钦州市第四中学 2025-2026学年高二上学期开学考试数学试卷

广西钦州市第四中学 2025-2026 学年高二上学期开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，.将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（ ）. A. B. C. D. 6. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 7. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（ ）. A. B. C. D. 8. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（ ）. A. B. C. D. 11. 下列三点在同一条直线上的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 第II卷（非选择题） 三、填空题 （共3小题，每小题5分，共18分） 12. 若关于的方程表示两条相交直线，则______． 13. 过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 14. 过原点的直线倾斜角为，且过点，则__________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线所在直线的方程； （4）边上的高所在直线的方程． 17. 已知两直线，． （1）求直线与的交点的坐标； （2）求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3）若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 18. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 如图所示，是直线l的一个法向量， （1）什么是平面上点P到直线l的距离？ （2）如何从向量投影的角度得出的模的表达式？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西钦州市第四中学 2025-2026 学年高二上学期开学考试数学试卷 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.四答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.四答非选择题时，将答案写在签题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结来后，.将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得斜率，再根据斜率和倾斜角的关系，即可求得倾斜角. 【详解】直线的斜率是， 设倾斜角为，则， ∴. 故选：C. 4. 著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 5. 已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，得出直线的倾斜角及斜率，再结合点到直线距离公式计算即可得出选项. 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 6. 过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（ ）. A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 7. 将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求图纸的折痕所在的直线方程，由题意得点在直线上，得，又直线与直线以及轴相交于点，即可求，进而求解. 【详解】由题意有：，点的中点， 所以图纸的折痕所在的直线方程为，即，令，得，即， 又由轴与直线也正好重合，则点在直线上， 所以， 又因为直线与直线以及轴相交与点， 所以，代入，解得， 所以， 故选：D. 8. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 10. 已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】应用两点的斜率公式结合方向向量计算求解. 【详解】经过两点直线的方向向量为，则的斜率为， 对于A：，不合题意，A选项错误； 对于B：，符合题意，B选项正确； 对于C：，符合题意，C选项正确； 对于D：，不合题意，D选项错误； 故选：BC. 11. 下列三点在同一条直线上的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据各项的坐标，应用两点斜率公式判断点是否共线即可. 【详解】A：，故三点不共线，错； B：，故三点共线，对； C：三点的横坐标都相等，斜率不存在，故三点共线，对； D：三点的纵坐标都相等，斜率为0，故三点共线，对. 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题 （共3小题，每小题5分，共18分） 12. 若关于的方程表示两条相交直线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由表示两条直线，可知其判别式应为完全平方式，由此可解. 【详解】因为关于的方程表示两条相交直线， 可将x看作未知数，故 为完全平方式， 再将该式看作为关于y的二次三项式，则为完全平方式， 故，即得. 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 当时，，即， 表示的直线为，符合题意； 故答案为： 13. 过点的直线倾斜角，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据倾斜角的取值范围确定直线斜率的取值范围，在利用表示斜率，解不等式即可. 【详解】因为直线倾斜角的取值范围为， 所以直线斜率的取值范围为：或. 又，由；由. 所以. 故答案为： 14. 过原点的直线倾斜角为，且过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倾斜角可计算出斜率，即可得直线方程，即可得解. 【详解】，则，则有. 故答案为： 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知直线. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据方程求出直线l所过定点坐标，再由该直线不过的象限列式求解. （2）确定取得最大值的条件，进而求出直线方程. 【小问1详解】 直线l的方程为，因此直线l恒过定点， 若直线l不经过第四象限，则. 【小问2详解】 由（1）知直线l恒过定点， 当且仅当时，d取得最大值，此时直线的斜率， 因此直线的斜率，直线的方程为，即， 所以直线的一般式方程为. 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边和所在直线的方程； （2）边上的中线所在直线的方程； （3）边上的垂直平分线所在直线的方程； （4）边上的高所在直线的方程． 【答案】（1）， （2） （3）． （4）． 【解析】 【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； （3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； （4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 解法1：由两点式得边所在直线方程为，即． 由截距式得边所在直线方程为，即． 解法2：因为，所以边所在直线方程为，即． 因为，所以边所在直线方程为，即． 【小问2详解】 解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得， 由两点式得所在直线方程为，即． 解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得， 则， 所以所在直线方程为，即． 【小问3详解】 因为，的中点， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问4详解】 因为，， 所以边上的高所在直线方程为，即． 17. 已知两直线，． （1）求直线与的交点的坐标； （2）求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （3）若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【小问1详解】 由题意得，，解得，点的坐标为． 【小问2详解】 设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 【小问3详解】 （ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 18. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程． （2）在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． ①角的平分线所在的直线方程为； ②边上的中线所在的直线方程为． ______，求直线的方程． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） 若选①：直线的方程为． 若选②：直线的方程为． 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为，先求出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程. （2）选①的情况：先联立直线与角平分线的方程求出点的坐标，再利用对称点的性质求出点关于角平分线的对称点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，进而得到直线的方程. 选②的情况：先联立直线与边上中线的方程求出点的坐标，然后根据中点坐标公式及中点在边上中线所在直线上，得到点满足的方程，再结合在边上高所在直线上，联立求出点的坐标，最后根据两点的斜率公式求出直线的斜率，从而得到直线的方程. 【小问1详解】 因为边上的高所在的直线方程为， 转化为斜截式，其斜率为， 所以直线的斜率为， 又的顶点，所以直线的方程为， 即． 【小问2详解】 若选①：角的平分线所在的直线方程为， 由解得，所以点． 设点 关于的对称点， 则 解得所以点， 又点在直线上，所以， 所以直线的方程为，即． 若选②：边上的中线所在的直线方程为， 由解得所以点． 设点，则的中点在直线上， 所以，即， 所以点在直线上， 因为边上的高所在的直线方程为且边上的高一定过点 所以点在直线上， 由解得即点， 所以， 所以直线的方程为，即． 19. 如图所示，是直线l的一个法向量， （1）什么是平面上点P到直线l的距离？ （2）如何从向量投影的角度得出的模的表达式？ 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分析即可； （2）根据题意结合向量投影分析判断. 【小问1详解】 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足． 【小问2详解】 设是直线：上的任意一点， 因为，则，. 则是在上的投影向量， 所以， 因为点在直线l上，则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $