第2章 3 匀变速直线运动的位移与时间的关系(Word教参)-【精讲精练】2025-2026学年高中物理必修第一册（人教版 江苏专版）

3　匀变速直线运动的位移与时间的关系 [学业要求与核心素养] 物理观念 1．知道v-t图像中的“面积”与位移的对应关系。 2．掌握位移与时间的关系式。 3．掌握位移与速度的关系式。 科学思维 1．了解位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学方法。 2．会用公式分析计算匀变速直线运动问题。 [对应学生用书P30] 一、匀速直线运动的位移 阅读教材，并回答： 对于匀速直线运动 (1)写出其位移和时间的关系式。 答：x＝vt。 (2)在v-t坐标系内画出速度是v0的匀速直线运动的v-t图像。 答：如图 (3)其位移在v-t图像中怎样表示？ 答：用图线与时间轴包围的面积。 [概念·规律] 匀速直线运动 1．位移公式：x＝__vt__。 2．位移在v-t图像中的表示：做匀变速直线运动，物体的位移在数值上等于v-t图线与对应的时间轴所包围的矩形的__面积__。如图所示阴影图形的面积就等于物体在t1时间内的__位移__。 二、匀变速直线运动的位移 阅读教材，并回答： 1．对于匀速直线运动，物体的位移对应着v-t图线与t轴围成的面积。对于匀变速直线运动，它的位移是否也对应着v-t图线与t轴围成的面积呢？ (1)如图所示，将时间0～t看成一大段，用这一段时间开始时刻的瞬时速度来代替这一段时间内的平均速度，运用v-t图像估算出的位移比实际位移大还是小？ 答：比实际位移小。 (2)将时间0～t平均分成5段，用每一个时间段开始时刻的瞬时速度代替这一段时间内的平均速度，运用图像估算出的位移，和把0～t看成一段估算出的位移，哪一位移更接近实际位移？ 答：分成5段时更接近实际位移。 (3)将时间0～t平均分成8段、16段……甚至将0～t无限细分呢？ 答：可以想像，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和，就能准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起组成了一个梯形，梯形的面积就代表做匀变速直线运动物体在0(此时速度是v0)到t(此时速度是vt)这段时间内的位移。 2．在如图所示v-t图像中，阴影梯形的面积怎样计算？你能推导出公式S＝v0t＋at2吗？ 答：梯形的面积S＝(v0＋vt)t，将vt＝v0＋at代入得S＝v0t＋at2。 [概念·规律] 匀变速直线运动的位移 1．位移在v-t图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v-t图线与时间轴所包围的__面积__。如图所示，阴影图形的面积等于物体在t1时间内的__位移__。 2．公式：x＝__v0t＋at2__。 三、速度与位移的关系 1．公式：v2－v02＝__2ax__。 2．推导 速度公式v＝__v0＋at__。 位移公式x＝__v0t＋at2__。 由以上两式可得：v2－v02＝__2ax__。 (1)匀变速直线运动是加速度均匀变化的运动。(　　) (2)物体做匀变速直线运动，则物体在任意两段相等时间内的速度变化量相等。(　　) (3)只有匀加速直线运动的v-t图像与t轴所围的“面积”等于物体的位移。(　　) (4)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。(　　) (5)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　　) (6)确定公式vt2－v02＝2ax中的四个物理量时，必须选取同一参考系。(　　) (7)在公式vt2－v02＝2ax中，x、v0、vt、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√ [对应学生用书P31] 探究点一　对匀变速直线运动位移公式x＝v0t＋at2的理解 1．公式的适用条件：位移公式x＝v0t＋at2只适用于匀变速直线运动。 2．公式的矢量性：公式x＝v0t＋at2为矢量公式，其中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向。 3．公式的两种特殊形式 (1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。 (2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。 　一汽车做直线运动的位移与时间的关系满足关系式x＝10t－2t2(x的单位是m，t的单位是s)，则(　　) A．该汽车做匀加速直线运动 B．该汽车在第1 s内的位移大小为10 m C．该汽车的加速度大小为4 m/s2 D．该汽车的初速度大小为16 m/s [解析]　根据位移时间关系x＝v0t＋at2，可得v0＝10 m/s，a＝－4 m/s2，由此可知，初速度方向和加速度方向相反，汽车做匀减速直线运动，故A、D错误，C正确；汽车在第1 s内的位移为x1＝v0t1＋at12＝10×1 m－×4×12 m＝8 m，故B错误。 答案　C 　若例题中汽车刹车后运动的位移随时间变化的运动规律是x＝10t－2t2(m)，x与t的单位分别是m和s。下列说法正确的是(　　) A．初速度v0＝10 m/s，加速度大小a＝2 m/s2 B．汽车刹车后4 s内的位移是8 m C．汽车刹车最后1 s内位移为2 m D．汽车可行驶的最大距离为25 m 解析　根据匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0t＋at2，结合位移随时间变化的规律x＝10t－2t2，可知初速度v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，解得加速度为a＝－4 m/s2，故A错误；根据速度－时间公式，可知汽车速度减为零的时间为t0＝＝ s＝2.5 s，由于刹车时间t0＝2.5 s＜4 s，根据运动学公式可得刹车后4 s内的位移为x＝t0＝×2.5 m＝12.5 m，故B错误；汽车刹车最后1 s内位移可以看成逆方向的加速运动x′＝a′t2＝×4×1 m＝2 m，故C正确；根据速度－位移公式可得汽车可行驶的最大距离为xm＝＝ m＝12.5 m，故D错误。故选C。 答案　C 　若例题中汽车做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝10t－t2，则该汽车(　　) A．运动的加速度大小为1 m/s2 B．前2 s内的平均速度是8 m/s C．第n s内的位移与第(n＋1)s内的位移之差是1 m D．经4 s速度减为零 解析　汽车做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝10t－t2，结合匀变速直线运动位移时间关系x＝v0t＋at2，可得v0＝10 m/s，a＝－2 m/s2，可知汽车做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为2 m/s2，故A错误；汽车在前2 s内的位移为x2＝10×2 m－22 m＝16 m，则前2 s内的平均速度为＝＝ m/s＝8 m/s，故B正确；根据Δx＝aT2可知第n s内的位移与第(n＋1)s内的位移之差为|Δx|＝2×12 m＝2 m，故C错误；汽车速度减为零所用时间为t＝＝ s＝5 s，故D错误。 答案　B 　(2024·全国甲卷)为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从t＝0时由静止开始做匀加速运动，加速度大小a＝2 m/s2，在t1＝10 s 时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，t2＝41 s时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速v0＝340 m/s，求： (1)救护车匀速运动时的速度大小； (2)在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。 [解析]　(1)根据题意可知，救护车匀速运动时的速度大小为v＝at1 代入数据解得v＝20 m/s。 (2)设救护车在t＝t0时停止鸣笛，则由运动学规律可知，此时救护车距出发处的距离为x＝at12＋v(t0－t1) 又x＝v0(t2－t0) 联立并代入数据解得x＝680 m。 [答案]　(1)20 m/s　(2)680 m 1．(2024·郑州高一检测)一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零。已知运动中滑块加速度恒定。若设斜面全长为L，滑块通过最初L所需的时间为t，则滑块从斜面底端滑到顶端所用时间为(　　) A．t B．(2＋)t C．3t D．2t 解析　利用“逆向思维法”把滑块的运动看成逆向的初速度为0的匀加速直线运动。设后所需时间为t′，则 ＝at′2，全过程L＝a(t＋t′)2 解得t′＝(＋1)t 所以t总＝t′＋t＝(2＋)t，故B正确。 答案　B 探究点二　对位移－速度关系式的理解 对公式v2－v02＝2ax的理解 公式意义 初、末速度、加速度和位移之间的关系 各量意义 v、v0、a、x分别为末速度、初速度、加速度、位移 公式特点 ①含有4个量，若知其中三个，能求另外一个； ②不含时间t 矢量性 x、v0、a均为矢量，应用公式时，一般选v0的方向为正方向，若匀加速，a>0；若匀减速，a<0 适用条件 匀变速直线运动 　某型号航空母舰上装有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某型号的战斗机在跑道上加速时可能产生的最大加速度为5.0 m/s2，当飞机的速度达到50 m/s时才能离开航空母舰起飞。设航空母舰处于静止状态。问： (1)若要求该飞机滑行160 m后起飞，弹射系统必须使飞机具有多大的初速度？ (2)若某舰上不装弹射系统，要求该型号飞机仍能在此舰上正常起飞，问该舰身长至少应为多长？ [解析]　解法一　(1)设弹射系统使飞机具有的初速度为v0，由运动学公式v2－v02＝2ax，可知v0＝＝30 m/s。 (2)不装弹射系统时，飞机从静止开始做匀加速直线运动。由公式v2＝2ax可知该舰身长至少应为x＝＝250 m。 解法二　(1)设初速度为v0，起飞时间为t，则： 把v＝50 m/s，x＝160 m，a＝5.0 m/s2代入 解得 (2)起飞时间为t′ v＝at′，t′＝10 s x′＝at′2＝250 m。 [答案]　(1)30 m/s　(2)250 m (教材本节练习与应用第2题变式)以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速直线运动，在3 s内前进36 m。求： (1)汽车的加速度； (2)制动后5 s内汽车发生的位移的大小； (3)制动后汽车前进28 m时速度的大小。 [解析]　(1)由位移公式x＝v0t＋at2， 解得a＝－4 m/s2 负号表示加速度的方向与运动方向相反。 (2)由速度公式v＝v0＋at0, 解得汽车停止所用时间为t0＝4.5 s 制动后5 s内汽车发生的位移等于4.5 s内的位移x1＝v0t0＋at02＝40.5 m。 (3)由速度位移公式v′2－v02＝2ax2， 解得制动后汽车前进28 m时速度为v′＝10 m/s。 [答案]　(1)4 m/s2，加速度的方向与运动方向相反　(2)40.5 m　(3)10 m/s 　以18 m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速运动，在3 s内前进36 m，求： (1)汽车刚制动1 s内发生的位移的大小； (2)最后1秒的位移的大小。 解析　(1)若汽车3 s末速度恰好减到零，则汽车的位移为xm＝t＝27 m<36 m 说明3 s末汽车的速度不为零，根据x＝v0t＋at2，解得a＝－4 m/s2。 则汽车刚制动1 s内发生的位移为x1＝v0t1＋at12＝16 m。 (2)根据逆向思维，刹车过程中的最后1 s的位移等于从静止开始做匀加速直线运动的第1 s内的位移，故x2＝at′2＝2 m。 答案　(1)16 m　(2)2 m 2．(2024·成都高一月考)一辆汽车沿平直公路从A点开往B站，由静止开始启动时加速度大小为4 m/s2，加速行驶5 s后又匀速行驶10 s，正好到达B站。求： (1)甲、乙两站的距离； (2)全程的平均速度大小(小数点后保留一位)。 解析　(1)匀加速行驶过程的位移 x1＝at12＝×4×52 m＝50 m 匀加速行驶末状态的速度 v＝at1＝4×5 m/s＝20 m/s， 匀速行驶的位移x2＝vt2＝20×10 m＝200 m， 甲、乙两站的距离x＝x1＋x2＝250 m。 (2)全程的平均速度＝＝ m/s≈16.7 m/s。 答案　(1)250 m　(2)16.7 m/s [对应学生用书P33] 1．一辆汽车以2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2 s(汽车未停下)，汽车行驶了36 m。汽车开始减速时的速度是(　　) A．9 m/s B．18 m/s C．20 m/s D．12 m/s 解析　由x＝v0t＋at2，将x＝36 m，a＝－2 m/s2，t＝2 s，代入解得v0＝20 m/s，选项C正确。 答案　C 2．物体甲的x-t图像和物体乙的v-t图像分别如图甲、乙所示，则这两物体的运动情况是(　　) A．甲在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为8 m B．甲在整个t＝6 s时间内来回运动，它通过的总位移为零 C．乙在整个t＝6 s时间内来回运动，它通过的总位移为零 D．乙在整个t＝6 s时间内运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4 m 解析　x-t图像中，初位置－2 m到末位置2 m的总位移为4 m，整个过程运动方向不变，一直是正方向。v-t图像中，图线与时间轴围成的面积表示位移，后3 s的运动方向发生改变，所以物体的总位移为零。 答案　C 3．一辆汽车，在人行横道前16 m处开始刹车，做匀减速直线运动，从刹车开始到汽车停下共经过4 s，4 s末恰好停在人行横道前。则司机从开始刹车到与人行横道相距4 m经过了(　　) A．1 s B．2 s C．3 s D．4 s 解析　将刹车过程看作初速度为零的匀加速运动的过程，则刹车的加速度为a＝＝ m/s2＝2 m/s2，则司机从开始刹车到与人行横道相距4 m经过的时间为t′＝t－＝4 s－ s＝2 s，故选B。 答案　B 4．如图为某高速公路出口的ETC通道示意图。一汽车驶入ETC通道，到达O点的速度v0＝30 m/s，此时开始减速，到达M点时速度减至v＝6 m/s，并以6 m/s的速度匀速通过MN区。已知MN的长度d＝36 m，汽车减速运动的加速度大小a＝3 m/s2，求： (1)O、M间的距离x； (2)汽车从O点到N点所用的时间t。 解析　(1)根据v2－v02＝－2ax得， x＝＝144 m。 (2)从O点到达M点所用的时间 t1＝＝8 s， 匀速通过MN区所用的时间t2＝＝6 s， 汽车从O点到N点所用的时间t＝t1＋t2＝14 s。 答案　(1)144 m　(2)14 s [对应学生用书作业(六)P11] [基础训练] 1．(2024·四川乐山期中)一辆新能源汽车在平直的公路上由静止开始做匀加速直线运动，经过4秒时间速度达到20 m/s，则此过程中汽车的加速度大小和通过的位移大小分别为(　　) A．a＝5 m/s2　　　　　　 B．a＝4 m/s2 C．x＝30 m D．x＝20 m 解析　汽车匀加速运动的加速度大小为a＝＝5 m/s2，故A正确，B错误；位移为x＝at2＝40 m，故C、D错误。 答案　A 2．一物体由静止开始做匀变速直线运动，在时间t内通过的位移为x，则它从出发开始经过4x的位移所用的时间为(　　) A．　　 B．　　　 C．2t　　 D．4t 解析　由x＝at2和4x＝at′2得：t′＝2t，故C对。 答案　C 3．一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移是1 m，物体在第3 s内的位移是(　　) A．2 m B．3 m C．5 m D．8 m 解析　根据x1＝at12得物体的加速度为 a＝＝ m/s2＝2 m/s2， 则物体在第3 s内的位移为 x′＝at32－at22＝×2×(9－4) m＝5 m C正确。 答案　C 4．如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为(　　) A．8 m/s B．12 m/s C．10 m/s D．14 m/s 解析　由v2－v02＝2ax得v＝＝ m/s＝10 m/s，C正确。 答案　C 5．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1∶2，它们运动的最大位移之比为(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．4∶1 D．2∶1 解析　小车的末速度为0，由v2－v02＝2ax得 ＝＝，选项B正确。 答案　B 6．如图所示，某高速列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由5 m/s增加到10 m/s时位移为x。则当速度由10 m/s增加到15 m/s时，它的位移是(　　) A．x B．x C．2x D．3x 解析　由v2－v02＝2ax得102－52＝2ax，152－102＝2ax′；两式联立可得x′＝x，故B正确。 答案　B 7．一物体由静止开始做匀加速直线运动，前4 s内的位移是64 m，求： (1)物体在前一半时间内所通过的位移大小； (2)经过后一半位移所需的时间。 解析　(1)由x＝at2，得a＝＝2× m/s2＝8 m/s2，则物体在前一半时间内的位移 x1＝at12＝×8×22 m＝16 m。 (2)根据x′＝at′2，得t′＝＝ s＝2 s，经过后一半位移所需时间t″＝t－t′＝(4－2) s。 答案　(1)16 m　(2)(4－2)s [能力提升] 8．一物体从斜面顶端由静止开始匀加速下滑，经过斜面中点时速度为2 m/s，则物体到达斜面底端时的速度为(　　) A．3 m/s B．4 m/s C．6 m/s D．2 m/s 解析　由题意得v2＝2ax，22＝2a·，故v＝2 m/s，D正确。 答案　D 9．汽车由静止开始做匀加速直线运动，速度达到v时立即做匀减速直线运动，最后停止，运动的全部时间为t，则汽车通过的全部位移为(　　) A．vt B．vt C．vt D．vt 解析　解法一　汽车在加速过程中的平均速度为v，在匀减速过程中的平均速度也为v，故全部位移x＝vt。 解法二　汽车的速度－时间图像如图所示，由于图像与时间轴所围“面积”等于位移的大小，故位移x＝vt，B对。 答案　B 10．(2025·宣威检测)如图为某高速公路出口的ETC通道示意图。汽车驶入ETC通道，到达O点的速度大小为30 m/s，此时开始刹车做减速运动(可视为匀减速)，OM长度为144 m，到M时速度减至6 m/s，并以此速度匀速通过MN区。MN长度为36 m，视汽车为质点，求： (1)汽车匀减速运动过程中的加速度大小； (2)汽车从O运动到N过程中的平均速度大小。 解析　(1)根据v02－v2＝2ax1可得a＝3 m/s2。 (2)汽车经过OM段的时间：t1＝＝8 s 汽车经过MN段的时间：t2＝＝6 s 汽车从O运动到N过程中的平均速度大小：＝＝ m/s。 答案　(1)3 m/s2　(2) m/s 11．某一做直线运动的物体的v-t图像如图所示，根据图像，求： (1)物体距出发点的最远距离； (2)前4 s内物体的位移； (3)前4 s内物体通过的路程。 解析　(1)物体距出发点最远的距离 xm＝v1t1＝×4×3 m＝6 m。 (2)前4 s内的位移 x＝x1－x2＝v1t1－v2t2＝×4×3 m－×2×1 m＝5 m。 (3)前4 s内通过的路程 x＝x1＋x2＝v1t1＋v2t2＝×4×3 m＋×2×1 m＝7 m。 答案　(1)6 m　(2)5 m　(3)7 m 12．(STSE)在高速公路上，有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。某段平直高速公路的最高车速限制为108 km/h。设某人驾车正以最高时速沿该高速公路匀速行驶。该车刹车时产生的加速度大小为5 m/s2，该人的反应时间(从意识到应该停车到操作刹车的时间)为0.5 s。计算行驶时的安全车距至少为多少？ 解析　汽车原来的速度v0＝108 km/h＝30 m/s 运动过程如下图所示： 在反应时间t1＝0.5 s内，汽车做匀速直线运动的位移为x1＝v0t1＝30×0.5 m＝15 m 刹车后，汽车做匀减速直线运动，滑行时间为 t2＝ s＝6 s 汽车刹车后滑行的位移为 x2＝v0t2＋at22＝30×6 m＋×(－5)×62 m＝90 m 所以行驶时的安全车距至少应为 x＝x1＋x2＝15 m＋90 m＝105 m。 答案　105 m 13．(STSE)在全国铁路第六次大提速后，火车的最高时速可达250 km/h，若某列车正以216 km/h的速度匀速运行，在列车头经路标A时，司机突然接到报告要求紧急刹车，因前方1000 m处出现特殊情况，若司机听到报告后立即以最大加速度a＝2 m/s2刹车，问该列车是否发生危险？请计算说明。 解析　列车危险与否，关键是看其刹车后滑行的距离x，若刹车后滑行距离小于或恰好等于1000 m，则列车无危险，若刹车后滑行距离大于1000 m，则该列车有危险。 设列车从刹车开始到停止运动滑行位移为x。 则v0＝216 km/h＝60 m/s，v＝0 取列车前进方向为正方向，则a＝－2 m/s2 由关系式v2－v02＝2ax得：x＝900 m 因x＝900 m<1000 m 所以，该列车无危险。 答案　见解析 学科网（北京）股份有限公司 $