精品解析：山东省2023年第二十九届YMO数学思维研学初赛七年级试题

山东省2023年第二十九届YMO数学思维研学初赛七年级试题 注意事项： 1、考生按要求用黑色、蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息． 2、考试时间60分钟． 3、本试卷共6页，满分100分． 4、不得在答卷上做任何标记． 5、考生超出答题区域答题将不得分． 6、考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 无理数既不是整数也不是分数 B. 有理数是指整数、分数、正数、0、负数这五类数 C. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 D. 能化成分数的小数都是有理数 2. 如图所示，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等腰三角形，其中两条边长度分别为和，这个三角形周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都有可能 5. 已知是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 12 B. 6 C. ±12 D. ±6 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列结论中，正确的是（ ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 8. 一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 9. 已知，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 10. 满足等式成立的所有的值的和是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如果，那么的值为_____． 12. 如图所示，，将一个含有角的直角三角板如图放置，已知，则____． 13. 如果的乘积中不含二次项，那么的值为____． 14. 已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为____． 15. 如图所示，在中，为底边上的中线，点E为中点，连接并延长，与相交于点，的面积为2，若，则的面积为____． 16. 的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为___． 17. 如图所示，________． 18. 在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为______． 19. 方程的整数解有_____个． 20. 一个凸多边形中，除了两个内角外，其余内角和为，这个多边形的边数为____． 三、解答题（每题8分，共40分） 21. 已知，求代数式的值． 22. 如图所示，，试说明之间的数量关系． 23. 阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． （1）请写出图②所代表的恒等式； （2）请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 24. 如图，的角平分线交于点，求之间的关系． 25. 已知满足，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2023年第二十九届YMO数学思维研学初赛七年级试题 注意事项： 1、考生按要求用黑色、蓝色圆珠笔或钢笔在密封线内填好考生的相关信息． 2、考试时间60分钟． 3、本试卷共6页，满分100分． 4、不得在答卷上做任何标记． 5、考生超出答题区域答题将不得分． 6、考生在考试期间不得作弊，否则试卷记零分处理． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列说法错误的是（ ） A. 无理数既不是整数也不是分数 B. 有理数是指整数、分数、正数、0、负数这五类数 C. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 D. 能化成分数的小数都是有理数 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义、有理数的定义及分类、平行线的判定，解题时熟练掌握无理数的定义、平行线的判定、有理数的定义及不同的分类标准即可解决问题． 【详解】解：A、无理数既不是整数也不是分数，正确，故本选项不符合题意； B、有理数分为整数和分数或正有理数、0、负有理数，错误，故本选项符合题意； C、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，正确，故本选项不符合题意； D、能化成分数的小数都是有理数，正确，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 如图所示，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确解答的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行． 依据平行线的判定定理即可判断． 【详解】解：A、因为，所以，故该选项正确，不合题意； B、因为，所以，所以，故该选项正确； C、该选项不能判断，故该选项错误，符合题意； D、因为，所以，故该选项正确． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，积的乘方，幂的乘方法则进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选B． 4. 已知是等腰三角形，其中两条边长度分别为和，这个三角形周长是（ ） A. B. C. 或 D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是检验三边长能否组成三角形．先确定等腰三角形的腰与底的长，分腰长为和腰长为两种情况进行讨论，根据三角形的三边关系验证能否组成三角形，进而求解三角形的周长． 【详解】解：若腰长为，底边长为， 由于，两边之和不大于第三边，则三角形不存在； 若腰长为，底边长为， 则符合三角形的两边之和大于第三边， 所以这个三角形的周长为． 故选：A． 5. 已知是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 12 B. 6 C. ±12 D. ±6 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可得． 【详解】由题意得： 即 则 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题关键．需注意的是，完全平方公式有两个，即完全平方和公式、完全平方差公式． 6. 已知，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，幂的乘方的逆用，把原式化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 7. 下列结论中，正确的是（ ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，根据绝对值的意义逐项判断得出a，b的关系，从而做出判断即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，则，正确，符合题意； ③若，则或，则原说法错误，不符合题意； ④若，则或，则或，则原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 8. 一个多边形截去一个角后，形成一个新的多边形内角和为，原来的多边形是几边形？（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和．先根据新多边形内角和求出其边数，再分情况讨论原多边形截去一个角后边数的变化，从而确定原多边形可能的边数． 【详解】解：第一种情况： 当按照顶点的连线剪，此时得到的多边形的边数比原来的边数少， ， 解得：； 第二种情况： 当只过一个顶点剪，此时得到的多边形的边数和原来的边数相等， 解得：， 第三种情况： 当不经过顶点剪时，此时得到的多边形的边数比原来的边数多， 解得：， ∴原来多边形的边数为或者或者． 故选：D． 9. 已知，，，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，求出，，的值，利用完全平方公式解答． 根据，，，可以得到，，的值，然后将所求式子变形，再将，，的值代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ， ， ， ， 故选：A． 10. 满足等式成立的所有的值的和是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的乘方及零次幂，熟练掌握有理数的乘方运算及零次幂是解题的关键，根据的偶次幂为1，1的任何次方都为1和进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，即，符合题意； 当时，即， ∴，符合题意； 当时，且， 解得：，符合题意； ∴所有m的值的和为． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 如果，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法运算，负整数指数幂，根据已知可得，同底数幂的乘法运算法则得出，代入即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 12. 如图所示，，将一个含有角的直角三角板如图放置，已知，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、补角的性质以及平行线的性质，掌握相关知识点是解题的关键．通过作辅助线，结合三角形内角和定理、补角的性质可求得的度数，再利用平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：由题意可知，为直角三角形，， 如图所示，延长交直线于点， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如果的乘积中不含二次项，那么的值为____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，同时考查多项式的概念中的项的次数，及不含某项的条件，掌握以上知识是解题的关键．先计算，根据乘积中不含二次项，得出，即可求解． 【详解】解： 而上式不含的二次项， ， ， 故答案为：1． 14. 已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系的应用是解题的关键．第三边的取值范围是再根据不等式性质即可得出答案． 【详解】解：设三角形第三边为，则三角形的周长， ∵， ∴， 即：， 故答案为：． 15. 如图所示，在中，为底边上的中线，点E为中点，连接并延长，与相交于点，的面积为2，若，则的面积为____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积．根据等高的两个三角形面积的比等于底边长的比结合已知求得，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴， ∵为底边上的中线， ∴， 故答案为：24． 16. 的三边长a、b、c均为整数，且满足，那么的周长为___． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了非负性，三角形三边关系，根据非负性可以求出，熟练掌握是解题关键 【详解】解：，，， ，， ． 又a，b，c均为三角形的三边， ． 为整数， ． 的周长为， 故答案为：11． 17. 如图所示，________． 【答案】540 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等、多边形内角和、三角形内角和等知识，正确作出辅助线是解题关键．设交于点，连接，结合四边形内角和为，可得，再证明，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设交于点，连接， ∵四边形和四边形的内角和均为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：540． 18. 在等腰中，一条腰上的中线将的周长分成了和两部分，这个等腰三角形的底边长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线性质，三角形三边的关系，根据中线的性质结合题意，可设，则，分两种情况讨论，当时，当时，解出的值即可求解，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵腰上的中线，可设，则， 由题意得：当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， 当时，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴能构成三角形， ∴这个三角形的底边长为或， 故答案为：或． 19. 方程的整数解有_____个． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、绝对值方程等知识，分情况讨论是解题关键．分，和三种情况，结合绝对值的性质分别求解，然后根据题意即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 当时，可有， 此时可有， 解得，不合题意，舍去； 当时，可有， 此时可有， 解得，是整数解，符合题意； 当时，可有， 此时可有， 解得，不是整数解，不符合题意． 综上所述，方程的整数解有1个． 故答案为：1． 20. 一个凸多边形中，除了两个内角外，其余内角和为，这个多边形的边数为____． 【答案】14或15 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解两个内角的和满足，把求的值的问题转化为求不等式组的整数解问题，是解题的关键． 设除去的角为，多边形的边数为，且，可得到关于的不等式．注意为自然数的隐含条件． 【详解】解：设除去的角为，多边形的边数为， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得一元一次不等式组：， 解得：， 又因为是自然数， 所以这个多边形的边数是14或15． 故答案为：14或15． 三、解答题（每题8分，共40分） 21. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，整式的混合运算，解题关键是熟练化简整式． 先利用整式的混合运算法则化简，再整体代入求值． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴， ∴原式． 22. 如图所示，，试说明之间的数量关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，根据平行线的性质、平行公理推论可得，，再根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，两个等式相加即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∴，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， 在题干图中，即为． 23. 阅读材料，并回答问题：我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图①的平面图形面积表示． （1）请写出图②所代表的恒等式； （2）请你自己画出一个平面图形，使它的面积表示：． 【答案】（1） （2） 如图所示，即为所求： 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据大长方形的面积等于长乘以宽或者两个边长为的正方形的面积两个边长为的正方形的面积个 长与宽分别为的长方形的面积，即可写出等式． （2）根据题目的要求和恒等式的意义即可画出图形． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 略 24. 如图，的角平分线交于点，求之间的关系． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义．延长交于，设交于，根据三角形的内角和定理得到推出，根据三角形的外角性质得到，推出，根据是角平分线得到，推出． 【详解】解：延长交于，设交于， ，， ， ， ， ， 是角平分线， ， ， 即． 25. 已知满足，求的值． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，代数式求值．先将变形为，将其代入整理得，再根据偶次方的非负性求出，的值，再求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解: ， ， ∴， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $