15.4 第4课时 直角三角形中30°角的性质定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（沪科版2024）

第 15 章 轴对称图形与 等腰三角形 15.3 等腰三角形 第4课时 直角三角形中30°角的性质定理 八年级上册数学（沪科版） 1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点） 2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点） 学习目标 问题1 如图，将两个含 30° 角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图 形，找到 Rt△ABC 的直 角边 BC 与斜边 AB 之间 的数量关系吗？(提示：请点击拼接和分离) 分离 拼接 A B C D A' C' 问题2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD，∠BAD = 2×30° = 60°， 从而△ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD = BD = AB. 含 30° 角的直角三角形的性质 你还能用其他方法证明吗？ 新知探究 证明：在△ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠A = 30°，∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接AD，则△ABD 是等边三角形． 又∵AC⊥BD， A B C D ∴ BC = AB．　　 ∴ BC = BD．　　 已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB． 证明方法：倍长法 证法1 E A B C 证明2： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60°，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形. ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA =∠BEC -∠A = 60° - 30° = 30°. ∴ AE = EC. ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC. ∴BC = AB．　　 证明方法：截半法 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： ∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　 A B C ∴ BC = AB．　　 要点归纳 判断下列说法是否正确： 1）直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半. 3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半. 4）直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍． √ 练一练 解析：在 Rt△ABC 中，∵ CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm. 在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. 例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则AB的长度是 (　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 注意：运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 典例精析 例2 如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA 交 OB 于 C，PD⊥OA 于 D，若 PC＝3，则 PD 等于 (　　) A．3 B．2 C．1.5 D．1 解析：如图，过点 P 作 PE⊥OB 于 E. ∵ PC∥OA， ∴∠PCE＝∠AOB＝∠AOP＋∠BOP＝30°. 又∵ PC＝3，∴ PE＝1.5. ∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA， ∴ PD＝PE＝1.5. E C 方法总结：当题图中含 30° 角，与角平分线、垂直平分线的性质综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造出含 30° 角的直角三角形． 例3 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，过点 D 作 DE⊥AB，DE 恰好是∠ADB 的平分线．CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下：∵ DE⊥AB， ∴∠AED＝∠BED＝90°. ∵ DE 是∠ADB 的平分线， ∴∠ADE＝∠BDE. 在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝30°， ∴ AD＝BD，∠DAE＝∠B. ∴∠BAD＝∠CAD＝∠B. ∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°， ∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°. ∴ CD＝ AD＝ BD，即 CD＝ DB. ∵ AD 是∠BAC 的平分线， 又∵ DE＝DE， ∴△AED≌△BED (ASA). 方法总结：含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，可联想到此性质． 想一想：图中 BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例4 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 cm，∠A = 30° ，立柱 BC、DE 要多长？ A B C D E A B C D E 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A = 30°， ∴ BC = AB，DE = AD. ∴ BC = AB = ×7.4 = 3.7 m . 又 AD = AB = 3.7 m， ∴ DE = AD = ×3.7 = 1.85 m. 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m. ∴ CD = AC = ×20 = 10. 例5 如图，等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20，求 腰上的高. A C B D 15° 15° 20 解：过 C 作 CD⊥BA，交 BA 的延长线于点 D. ∵∠B =∠ACB = 15° (已知)， ∴∠DAC =∠B +∠ACB = 15° + 15° = 30°. ) ) 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30° 角，利用含 30° 角的直角三角形的性质解决问题. 例6 如图，一艘船从 A 处出发，以每小时 10 海里的速度向正北航行，从 A 处测得一礁石 C 在北偏西 30° 的方向上.如果这艘轮船上午 8∶00 从 A 处出发，10∶00 到达 B 处，从 B 处测得礁石 C 在北偏西 60° 的方向上. （1）画出礁石 C 的位置； （2）求出 B 处到礁石 C 的距离. B C 30° 60° A D 解：(1)如图，以 B 为顶点，向北偏西 60° 作角， 这角一边与 AM 交于点 C，则 C 为礁石所在地. M (2)∵ ∠DBC =∠BAC +∠ACB， ∠BAC = 30°， ∠DBC = 60°， ∴ ∠ACB = 30°，即∠BAC =∠ACB， ∴ BC = AB ( 等角对等边)， 即 BC = AB = 10×(10 - 8) = 20 (海里). 答：B 处到礁石 C 的距离为 20 海里. B C 30° 60° A D M 1. 如图，一棵树在一次强台风中，于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为 ( ) A．6 米 B．9 米 C．12 米 D．15 米 B 课后练习 2. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮需要 ( ) A．300a 元 B．150a 元 C．450a 元 D．225a 元 B 3. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是高， ∠A = 30°，AB = 4．则 BD 的长为 . A B C D 1 4. 在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 15°，DE 是 AB 的垂直平分线，BE = 5，求 AC 的长． 解：连接 AE. ∵ DE 是 AB 的垂直平分线， ∴ BE = AE. ∴∠B = ∠EAB = 15°. ∴∠AEC = 30°. ∵∠C = 90°， ∴ AC = AE = BE = 2.5． 5. 在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E 点，求证：BE = 3AE. 证明：∵ AB = AC，∠BAC = 120°， ∴∠B =∠C = 30°. ∵ D 是 BC 的中点，∴ AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°，∠BAD =∠DAC = 60°. ∴ AB = 2AD. ∵ DE⊥AB，∴∠AED = 90°. ∴∠ADE = 30°，∴ AD = 2AE. ∴ AB = 4AE. ∴ BE = 3AE. 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含 30°角的直角三角形的性质 找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中 课堂小结 $