初中常考知识点速记彩卡-【追梦之旅·铺路卷】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

追梦之旅 八年级数学上 册2BB 初中常考知识点速记彩卡 第一章勾股定理 ①勾股定理：直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。 LC=90°+a2+b2=c 2勾股定理的逆定理：如果三角形三条边的长度a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三 角形。（边c所对的角为直角) 3勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。 ④常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④6、8、10；⑤n2-1、2m、n2+1。(n为 大于1的整数) ⑤判断一个三角形是否为直角三角形的步骤： (1)找：先找三角形的最长边；（2)算：计算最长边的平方及另外两边的平方和；(3)判：若两 者相等，则该三角形为直角三角形，否则，不是直角三角形。 ⑥判断勾股数的一般步骤： (1)确定三个数都是正整数；（2)确定其中的最大数；(3)分别计算最大数的平方与其 他两个数的平方和；(4)进行比较，若相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组 勾股数。 勾股定理常见的变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2。 ⑦解决最短路径问题的方法： 类型 示例 方法 圆柱侧面两点间 B 点A,C间 （1）将圆柱侧面展开，使得两点 最短路径问题 最短路径 在同一个平面上；（2)构造直角 三角形，通过勾股定理求解。 G B B 9 长方体两顶点间 A 120 A5F 12 D A12 最短路径问题 （1)将长方体沿不同的侧面展开，使得两点 点A,B间最短路径 在同一个平面上；(2)构造直角三角形，利 用勾股定理，求出不同情况下两点间距离； (3)通过比较，得到最短路径。 (1)将圆柱部分侧面展开，使得 D 圆柱与轴对 蚂蚁B蜜蜂 两点在同一个平面上；(2)利用 G 称相结合 轴对称的性质找出最短路径；（3) 蚂蚁在外侧，蜜蜂 构造直角三角形，通过勾股定理 在内侧 求解。 ⑧解决“翻折”问题的方法： 解决“翻折”问题时，要先弄清楚前后边角的对应情况，将待求的线段或角与已知线段 或角联系起来，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长或通过 勾股定理列方程解决。 第二章实数 ①无理数：无限不循环小数称为无理数。 ②算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x=a,那么这个正数x就叫作a的算术 平方根，记作a,读作“根号a”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即√0=0。 ③平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根，记 作±Va,读作“正、负根号a”。 ④立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根，记作 a,读作“三次根号a”。 ⑤二次根式：一般地，形如wa(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。 ⑥最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次 根式，叫作最简二次根式。 ⑦二次根式的运算法则： √ab=a·b(a≥0，b≥0) (a≥0，b>0) a·√b=ab(a≥0，b≥0) 浯-（≥0,6>0） ⑧算术平方根的双重非负性：①算术平方根是一个非负数，即a≥0；②a中，a是非负数，即a≥0。 ⑨立方根：①正数的立方根是正数；②0的立方根是0；③负数的立方根是负数。 0平方根：①一个正数有两个平方根（它们互为相反数)；②0只有一个平方根，它是0本身； a(a≥0) ③负数没有平方根。a=la= (a)2=a(a≥0) -a(a<0) 比较两个无理数的大小： (1)估算法：用估算法比较两个数的大小，通常先进行分析，估算出无理数的大小，再做具体的比较。 (2)作差法：若ā-6>0则ā>b;若ā-b<0,则ā<b。 (3)平方法：把含根号的两个同号无理数同时平方，比较平方后的数的大小。 ①比较两个实数的大小： (1)比较被开方数：如果两个数的根号相同，可以通过比较根号下面的被开方数来比较两个实 数的大小，被开方数大的数大。 (2)数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 (3)法则比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 (4)平方比较法：a,b为正数，若a2>b2,则a>b;a,b为负数，若a2>b,则a<b。 第三章位置与坐标 ①特殊位置的点的坐标特征： ②关于坐标轴对称的点的坐标变化： 点的位置 坐标特征 4 (+,0)或(-，0) 坐标轴 x轴 A(m,n) A"(-m,n) ·A(m,n) 上的点 y轴 (0,+)或(0，-) 坐标原点 (0,0) A'(m,-n) 平行于坐标轴 与x轴平行 直线上各点的纵坐标都相同 的直线上的点 与y轴平行 直线上各，点的横坐标都相同 关于x轴对称 关于y轴对称 第四章一次函数 ①一次函数的图象与性质： 一次函数 y=kx+b(k,b为常数，k≠0) k,b的符号 k>0 k<0 b>0 b<0 b=0 b>0 b<0 b=0 y1/ yt ty 图象 0 性质 y的值随着x值的增大而增大 y的值随着x值的增大而减小 2两直线（ly=k1x+b1,l2y=k2x+b2)的位置关系： k,2,b1,b2的关系 11,1,的关系 k≠k2 1,与l,相交 k1≠k2,b1=b2 l1与l,相交于y轴上的同一点(0，b1)或(0，b2) k1=k2,b1≠b2 1,与l,平行 k1=k2,b1=b2 1与l,重合 ③一次函数的平移规律： （1)上、下平移：直线y=kx+b向上平移n（n>0)个单位得到直线y=kx+b+n;直线y=kx+b向 下平移n(n>0)个单位得到直线y=kx+b-n。简记为：上加下减（只改变b)。 (2)左、右平移：直线y=kx+b向左平移m（m>0)个单位得到直线y=k(x+m)+b;直线y=kx+b 向右平移m(m>0)个单位得到直线y=k(x-m)+b。简记为：左加右减（只改变x)。 第五章二元一次方程组 ①二元一次方程组的解法： (1)代入消元法 三求 3x-8y=14① 解得x=2 x-y=3② ↓四回代 ★一变 把x=2代入③ 解：由②得，y=x-3③ 五再求 所以原方程 ↓二代 解得y=-1 x=2 把③代入①，得3x-8（x-3)=14 组的解是： y=- 六写解 (2)加减消元法 系数相等，考 把x=3代入②，得2×3-4y=14 代入方程求 「5x-4y=23① 虑加减消元法 解另一个未 2x-4y=14② 解得y=-2‘ 知数 x=3 解：①-②，得3x=9 加减消元法得 所以原方程组的解是 y=-2 两个未知数 一元一次方程 的值用大括 解得x=3 并求解 》 号括起来 ②二元一次方程与一次函数：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与 相应的一次函数的图象相同，是一条直线。 ③二元一次方程组与一次函数： (1)每个二元一次方程组都对应两个一次函 （2)二元一次方程组的解与对应两个一次函数图 数，一般地，从图形的角度看，确定两条直 象的关系： 线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方 二元一次方程组 两个一次函数的图象 无解 程组的解，解一个二元一次方程组相当于确 图象平行（无交点） 有一个解 图象相交（有一个交点） 定相应两条直线交点的坐标； 有无数个解 图象重合（有无数个交点） ④三元一次方程组的解法： 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 元一次方程 第六章 数据的分析 ①加权平均数：在求n个数的平均数时，如果x,出现次，，出现次，…，x出现f次（这里f+f+ f=n),那么这n个数的平均数x=xf+x,f++x:f也叫作，，…，x这个数的加权平 n 均数，其中f,,…,f分别叫作x1,,…,的权。 2中位数：一般地，个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据 的平均数)叫作这组数据的中位数。 ③众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫作这组数据的众数。 ④方差：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，即s2=壳[x,-}+(x2+…+x。-x]。 标准差是方差的算术平方根。一般而言，一组数据的方差或标准差越小，这组数据就越稳定。 ⑤离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和。 6四分位数：在百分位数中，25%分位数、50%分位数、75%分位数是三个常用的百分位数，m25,m0, m它们把一组数据分为个数相等的四部分，因此分别称为下四分位数、中位数和上四分位数， 统称四分位数。 ⑦如图所示的统计图是箱线图。 箱线图中包含了最小值、最大值和四分位数信息，可以 用来反映一组数据的整体分布情况，特别适用于多组数 最小值下四分 中位数上四分最大值 据整体分布情况的比较。 位数 位数 第七章证明 ①命题：判断一件事情的句子，叫作命题，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 ②平行线的判定与性质： 平行线的判定 平行线的性质 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 (如果∠1=∠2，那么a∥b) (如果a∥b,那么∠1=∠2) 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 (如果∠2=∠3，那么a∥b) (如果a∥b,那么∠2=∠3) 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 (如果∠2+∠4=180°，那么a∥b)(如果a∥b,那么∠2+∠4=180°