精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高一上学期分班考试数学试卷

2025年上海中学高一分班考数学试卷 一、填空题 1. 已知、分别为的两根，，则的值为_____. 2 已知，，，则_____. 3. 已知，则_____. 4. 实数x，y，z满足，，则z最大值是__________. 5. 已知关于的方程至少有一个整数根，则正整数的值为_____. 6. 已知内接于，劣弧沿弦翻折后经过圆心，则_____. 7. 已知三角形三边，，上高，，分别为3，5，6，点P为外一点，满足，则P到三边的距离之和为_____. 二、选择题 8. 已知抛物线开口向上，与轴有一正一负两个交点，其顶点坐标为，则，，中符号为正的是（ ） A. 仅 B. 仅 C. 仅c D. ， 9. 已知、为抛物线上的两点，O为原点，满足，于C，则点C与y轴距离最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 有1ml、2 ml、5 ml、10 ml四种量筒和一个足够大容器，若每次至多允许用两个量筒，问最多能盛出（ ）种不同体积的水. A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 三、解答题 11. 解方程组. 12 （1）运用几何方法推导平方差公式和立方差公式； （2）根据平方差公式和立方差公式求 13. 已知开口向上的抛物线与直线，中的每一条都至多有一个公共点. （1）求的最大值； （2）当取到最大值时，设抛物线的顶点为C，直线和抛物线交于、两点，三角形内切圆半径为1，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上海中学高一分班考数学试卷 一、填空题 1. 已知、分别为的两根，，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及所给条件列方程求出即可得解. 【详解】因为、分别为的两根， 所以， 所以， 解得， 由，解得， 所以， 故答案为： 2. 已知，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用，再代入计算即可. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为：. 3. 已知，则_____. 【答案】1865 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次根式运算化简可得，再结合因式分解法求解. 【详解】由， 得， ，两式相加整理得， 所以. 故答案为：1865 4. 实数x，y，z满足，，则z的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式，结合基本不等式构造关于的二次不等式，解二次不等式可得的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 又，所以， 又， 因为. 所以， 整理得：. 所以的最大值为：. 故答案为： 5. 已知关于的方程至少有一个整数根，则正整数的值为_____. 【答案】7 【解析】 【分析】化简关于的方程，并用表示,再根据方程至少有一个整数根判断取值情况，从而得到的值.最后需将的值代回化简后的方程进行检验. 【详解】，得：, 所以,所以， 当时，0=3，显然不成立.所以，所以， 所以. 因为关于的方程至少有一个整数根，且为正整数, 所以为整数，所以3能被整除，所以的可能取值为. 当时，,,不符合题意. 当时，,不符合题意. 当时，,,符合题意. 当时，,,符合题意. 所以正整数的值为7. 检验：当时，原方程等价于 整理得：,解得：.满足题意. 故答案为：7. 6. 已知内接于，劣弧沿弦翻折后经过圆心，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】作，延长交弧于点，结合已知得出，计算，得出，最后根据圆周角和圆心角得出关系即可求角． 【详解】如图：作，延长交弧于点，连接． ∵将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心， ∴ ∴， ∴在中， ， ∴， 因为，所以 ∴ 故答案为：． 7. 已知三角形三边，，上高，，分别为3，5，6，点P为外一点，满足，则P到三边的距离之和为_____. 【答案】8或或 【解析】 【分析】设P到三边的距离为，，，，分点在内，点在内与点在内三种情况分别求得，，，可求得结论. 【详解】设P到三边的距离为，，， 因为，所以设， 当点在内时，作出示意图如图所示： 则， 所以，所以， 同理可得，， 所以. 当点在内时， 则， 所以，所以， 同理可得，， 所以. 当点在内时， 则， 所以，所以， 同理可得，， 所以 故答案为：或或. 二、选择题 8. 已知抛物线开口向上，与轴有一正一负两个交点，其顶点坐标为，则，，中符号为正的是（ ） A. 仅 B. 仅 C. 仅c D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由开口、两根之积、顶点坐标构造不等式即可判断. 【详解】由抛物线开口向上，可得， 与轴有一正一负两个交点，可得两根之积小于0，所以，即， 又顶点坐标为，可得，所以， 故选：A 9. 已知、为抛物线上的两点，O为原点，满足，于C，则点C与y轴距离最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先说明直线恒过点，推理得到点的轨迹为以为直径的动圆，从而得到结果. 【详解】如图，过点作轴于，过点作轴于， 设点在抛物线在第二象限的图象上，直线的解析式为，则， 设交轴于，设点为点在轴上的投影， 联立方程组，解得，即， ，， ，易得，则得，则可设，且， 点在上，，，， 设经过、两点的直线解析式为，则， 解得，直线的解析式为， 令，则，，， 又，点在以为直径的上， 当点与点重合时，最大，此时的最大值为. 故选：D. 10. 有1ml、2 ml、5 ml、10 ml四种量筒和一个足够大容器，若每次至多允许用两个量筒，问最多能盛出（ ）种不同体积的水. A 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出所有情况判断即可求解. 【详解】由题知，使用一个量筒的情形有：1 ml、2 ml、5 ml、10 ml， 使用2个量筒相加的情形有：， ， 使用2个量筒相减情形有： ， 综上，可以盛出1 ml、2 ml、3 ml、4 ml、5 ml、6 ml、7 ml、8 ml、9 ml、 10 ml、11 ml、12 ml、15 ml、20 ml共14种. 故选：D. 三、解答题 11. 解方程组. 【答案】 【解析】 【分析】由可得代入，配方后即可得解. 【详解】由可得， 所以， 配方可得：， 所以且， 解得， 故方程组的解为. 12. （1）运用几何方法推导平方差公式和立方差公式； （2）根据平方差公式和立方差公式求. 【答案】（1）证明见解析；（2）128 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式和立方差公式，构造图形，分别用面积与体积相等证明； （2）利用平方差和立方差公式计算 【详解】（1）证明平方差公式： 如图一，在一个边长为的大正方形右上角减去一个边长为的小正方形，剩余部分面积为，其中. 如图二，将剩余的图形沿如图所示见下一个小矩形. 如图三，将小矩形拼在原图形的右侧变成一个新矩形，此时该矩形长为，宽为，面积为. 故. 证明立方差公式： 将棱长为的立方体裁去一棱长为的小立方体，再沿如图虚线切开，剩余部分体积为. 切开后如右图，分为三个棱柱，各部分的棱长如图所示. 体积为. 故. （2）根据立方差公式得 再用完全平方和平方差公式化简，原式. 故答案为：128 13. 已知开口向上的抛物线与直线，中的每一条都至多有一个公共点. （1）求的最大值； （2）当取到最大值时，设抛物线的顶点为C，直线和抛物线交于、两点，三角形内切圆半径为1，求的值. 【答案】（1）5； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立方程组，结合判别式求得关于的一元二次不等式求解. （2）由（1）的结论求出点的坐标，进而判断的形状并求出值. 【小问1详解】 由消去得，而，解得或， 而抛物线与直线至多有一个公共点，得， 由消去得， 由抛物线与至多有一个公共点， 得，而，则，解得， 所以的最大值为5. 【小问2详解】 由（1）知，取到最大值时，，其顶点， 由解得或， 即，， 令中点为，为的内心，则，，连接， 由，得，则， 因此是正三角形，，则，解得， 所以的值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $