专题01 数据分析（期中复习讲义）（知识必备+7大核心题型+分层验收）九年级数学上学期冀教版

专题01 数据分析（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平均数 能算算术平均数，解实际问题 小题必考，易错总和计算或忽略极端值 加权平均数 能识权、算加权平均数 高频小题/中档题，易错混淆权的含义 中位数 能排序、定中位数 小题常考，易错未排序或数错位置 众数 能找众数 小题必考，易错误将次数当众数 方差 能算方差，判数据波动 重难点，易错漏求平均数或忘除以n 知识点01 反映数据集中趋势的统计量 1．平均数（算术平均数） 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数。 2．加权平均数 定义：当个数的权分别为时，加权平均数。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 3．中位数 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于中间位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 ·易错点：求数据的中位数。 ①先将数据按从小到大排序：； ②数据个数为偶数（个），取中间两个数（第个和第个）的平均数：； ③故中位数为。 易错点：未排序直接取中间两个数（如和）计算，导致结果错误； 4．众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。 特性： 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且均为最大）； 众数一定在这组数据中； 若所有数据出现次数相同，则这组数据没有众数。 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．极差 定义：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差，反映数据的变化范围。 公式：极差=最大值最小值。 2．方差 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 ·示例：求数据的方差。 ①先求平均数：； ②计算各数据与平均数的差的平方：； ③求平方和的平均数，即方差为。 ④标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即，同样用于反映数据的波动大小。 题型一 算术平均数 【例1】某同学参加歌唱比赛，7名评委给这位同学打分如下： 86分   80分   92分   86分   96分   98分   90分 去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是 分． 【例2】五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生 人． 【变式1-1】设的平均数为，和的平均数为，和的平均数为，若，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【变式1-3】有6位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，平均分为该运动员的得分．若取一位小数，经四舍五入后得9.2分，若取两位小数，经四舍五入后为 ． 题型二 加权平均数 易｜错｜点｜拨 若权重是份数（如4:3:2），直接用份数当权重计算（无需额外换算） 【例3】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【例4】某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 若某班这四项得分（单位：分）依次为，，，，则该班四项综合得分为 分． 【变式2-2】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【变式2-3】某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 ． 题型三 中位数 【例5】劳动课已经成为中小学一门独立的课程，要求我们应主动承担一定的家庭清洁、烹饪、居家美化等日常生活劳动．经抽样调查，某班7名学生每周主动参与日常生活劳动的时间（单位：小时）依次为：，，，，，，，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例6】一组数据从小到大排列为，且这组数据的中位数为9，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．15 【变式3-1】某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-2】有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是 ． 【变式3-3】如果a，b为给定的实数，且，那么1，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． 题型四 众数 【例7】如图为某市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（　　） A． B． C． D． 【例8】已知一组数据3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的平均数为 ． 【变式4-1】已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式4-2】数据1，3，5，12，，其中整数是这组数据中的中位数和众数，则该组数据的平均数是 ． 题型五 极差、方差与标准差 【例9】某校运动会中，八年级各班得分情况如下：一班80分，二班85分，三班90分，四班75分，则这组数据的极差为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【例10】样本数据、、0、1、2的方差是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式5-1】某小组位学生一次数学测试的分数为，，，，，，，，那么这个小组测试分数的标准差是 ． 【变式5-2】如果一组数据的方差是9，则另一组数据的方差是 ． 【变式5-3】数据，，，，的方差计算公式为，则这组数据，，，⋯，的和是 ． 题型六 统计量的选择 解｜题｜技｜巧 结合数据特征和问题需求选对应统计量： 求“平均水平”（如平均身高、平均分），且数据无极端值（如过大/过小数），选平均数； 数据有极端值（如少数极高分拉偏平均），或求“中间水平”（如中间名次成绩），选中位数（不受极端值影响）； 找“最常见/出现次数最多”的量（如最畅销鞋码、最受欢迎活动），选众数。 【例11】在一次数学测试中，小明成绩110分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【例12】甲、乙两名队员在相同的条件下各射击次，他们的射击成绩（单位：环）如图所示．  (1)分别求甲、乙两名队员射击成绩的平均数． (2)直接写出甲队员射击成绩的众数及乙队员射击成绩的中位数． (3)若在甲、乙两名队员中派一名成绩相对稳定的队员参赛，你会选择哪名队员参赛？说明理由． 【变式6-1】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/cm 22 23 24 25 销售量（双） 2 3 12 17 9 5 2 若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（   ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 【变式6-2】甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 88 90 方差 3.5 3.5 4 4.2 若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选 ． 【变式6-3】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲：85  88  84  85  83 乙：83  87  84  86  90 (1)分别计算这两组数据的平均数． (2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？ 题型七 统计的综合问题 【例13】如果将一组数据中的每一个数都减去5，那么所得的新一组数据与原组数据比较必有（   ） A．众数改变，方差不变 B．众数不变，平均数改变 C．中位数改变，方差改变 D．中位数不变，平均数不变 【例14】某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92； 八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100； 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 23.6 八年级 92 100 21.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中____________；____________；____________； (2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定； (3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有多少人？ 【变式7-1】一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 【变式7-2】求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差 ． 【变式7-3】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5次，他们的成绩（单位：环）统计表如下： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 甲/环 9 4 7 4 6 6 乙/环 7 5 7 7 6 (1)求的值和甲、乙的方差； (2)请你从平均数和方差的角度分析，社区将会选择谁参加集训． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．一组数据6，3，2，a，11的平均数是5，则这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．3，3 B．2，3 C．3，2 D．3，11 2．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．一组数据的方差计算公式如下：，则这组数据的平均数是 ． 5．两组数据：3、a、b、5与a、4、的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为 ，中位数是 ． 6．某中学（一）班共名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． (1)这组数据的众数是______，中位数是______． (2)求这名同学捐款的平均数； (3)该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 7．小青在九年级上学期的数学成绩如下表所示： 测验类别 平时 期中 考试 期末 考试 测验1 测验2 测验3 课题学习 成绩 88 72 98 86 90 85 (1)计算该学期的平时平均成绩； (2)如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩． 8．某射击俱乐部对甲、乙两位选手的射击成绩进行测试，并选拔一位选手参加比赛，对每位选手打靶10次的环数进行了统计，数据如下． 甲：6、6、6、7、7、9、9、10、10、10 乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10 请结合以上信息完成下列问题： (1)补全统计表； 平均数（环） 众数（环） 中位数（环） 甲 6和10 乙 8 8 (2)利用方差比较哪位选手的成绩更稳定． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024·25九年级下·四川广安·期中）若一组数据1，3，2，2，5，3，2，4，6的中位数是，众数是，实数，满足方程组，则 ． 2．高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有 个． 3．定义：一组数据，，…，的平均数为，那么称这个数据与平均数的差的平方和叫做这个数据的离差平方和，记作．那么， ，，，的离差平方和是 ． 4．（ 2024·25九年级下·福建漳州·期中）近期，中国在科研领域的人工智能项目取得了重大突破，在自然语言处理、图像识别等多个关键领域展现出卓越的性能，其创新的算法和广泛的应用前景引发了全球科研界和社会的关注．某初中学校为了解学生对这一前沿科技成果的关注情况以及学生上网习惯，开展了一次关于学生对人工智能项目关注情况及上网时间的问卷调查，结果如下表所示：基于上述数据，回答以下问题： 调查对象 参与调查人数（人） 对的关注度 日人均上网时间（分） 七年级学生 八年级学生 九年级学生 (1)全校学生对研发成果这个热点话题的关注度大约是多少？ (2)全校学生的日人均上网时间大约是多少分钟？ (3)从各年级对的关注度和上网时间，你能发现什么趋势？并分析可能的原因． 5．某校艺术节文艺演出中，10位评委给各个节目打分如下（单位：分）：72.0，72.5，70.0，71.0，95.0，73.0，72.0，72.0，61.0，72.5． (1)求该节目得分的平均数、中位数和众数． (2)小明认为平均数可以恰当地反映该节目的水平，你同意他的说法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请说明理由并设计一个能较好反映节目水平的统计方案． 6．国庆节前，我校举办了一次成语知识竞赛，满分分，学生得分均为整数，成绩达到分及分以上的为合格，达到分或分为优秀．这次比赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计分析如下图．甲、乙两组各有 名成员． 组别 平均分 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 (1)直接写出，，的值． (2)求的值． (3)小宇同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中排名属中游略上”．小宇是哪个组的学生?说一说你的判定理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据分析（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 算术平均数 能算算术平均数，解实际问题 小题必考，易错总和计算或忽略极端值 加权平均数 能识权、算加权平均数 高频小题/中档题，易错混淆权的含义 中位数 能排序、定中位数 小题常考，易错未排序或数错位置 众数 能找众数 小题必考，易错误将次数当众数 方差 能算方差，判数据波动 重难点，易错漏求平均数或忘除以n 知识点01 反映数据集中趋势的统计量 1．平均数（算术平均数） 定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数。 2．加权平均数 定义：当个数的权分别为时，加权平均数。 特殊情况：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 关联：当所有数据的权相等时，加权平均数等于算术平均数（算术平均数是加权平均数的特例）。 3．中位数 定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后： 若数据个数为奇数，则处于中间位置的数是中位数； 若数据个数为偶数，则中间两个数据的平均数是中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 ·易错点：求数据的中位数。 ①先将数据按从小到大排序：； ②数据个数为偶数（个），取中间两个数（第个和第个）的平均数：； ③故中位数为。 易错点：未排序直接取中间两个数（如和）计算，导致结果错误； 4．众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为众数。 特性： 众数可能不止一个（若多个数据出现次数相同且均为最大）； 众数一定在这组数据中； 若所有数据出现次数相同，则这组数据没有众数。 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．极差 定义：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差，反映数据的变化范围。 公式：极差=最大值最小值。 2．方差 定义：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 ·示例：求数据的方差。 ①先求平均数：； ②计算各数据与平均数的差的平方：； ③求平方和的平均数，即方差为。 ④标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即，同样用于反映数据的波动大小。 题型一 算术平均数 【例1】某同学参加歌唱比赛，7名评委给这位同学打分如下： 86分   80分   92分   86分   96分   98分   90分 去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是 分． 【答案】90 【详解】解：去掉一个最高分和最低分，剩下的是：86分， 92分，86分，96分，90分， 平均数为：（分）， 故答案为：90． 【例2】五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了，经重新计算，全班平均分是91.7分，五一班有学生 人． 【答案】 【详解】解： (人)， 故答案为：． 【变式1-1】设的平均数为，和的平均数为，和的平均数为，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的平均数为，和的平均数为，和的平均数为 ，，， ， ， 整理得：， 故选：A． 【变式1-2】数，，的平均值是333，则数，，的平均值是（    ） A．444 B．333 C．555 D．111 【答案】A 【详解】解：∵，，的平均值是333， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式1-3】有6位裁判给一位跳水运动员打分，每人给的分数都是整数，平均分为该运动员的得分．若取一位小数，经四舍五入后得9.2分，若取两位小数，经四舍五入后为 ． 【答案】9.17 【详解】解：取一位小数，经四舍五入后得9.2分， 平均分最高为9.24分，最低为9.15分， ，， 总分在54.9和55.44之间， 6位裁判给的分数都是整数， 总分也是整数， 总分是55， 平均分为：， 若取两位小数，经四舍五入后为9.17． 故答案为：9.17． 题型二 加权平均数 易｜错｜点｜拨 若权重是份数（如4:3:2），直接用份数当权重计算（无需额外换算） 【例3】某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 【例4】某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 【变式2-1】某校评选先进班集体，从“学习”“卫生”“纪律”“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为分，所占比例如表： 项目 学习 卫生 纪律 活动参与 所占比例 若某班这四项得分（单位：分）依次为，，，，则该班四项综合得分为 分． 【答案】 【详解】解：该班四项综合得分为：（分）， 故答案为：． 【变式2-2】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【答案】85分 【详解】设小王的期末考试成绩为x， ∴ 解得． ∴他的期末考试最低成绩是85分． 故答案为：85分． 【变式2-3】某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度 软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得： 甲软件的评分为：， 乙软件的评分为：， 因为甲软件的评分更高， 所以， 解得：， 所以表中k（k为整数）的最小值为， 故答案为：． 题型三 中位数 【例5】劳动课已经成为中小学一门独立的课程，要求我们应主动承担一定的家庭清洁、烹饪、居家美化等日常生活劳动．经抽样调查，某班7名学生每周主动参与日常生活劳动的时间（单位：小时）依次为：，，，，，，，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：依次排列题中数列为：，，，，，，， ∴中位数为， 故选：B． 【例6】一组数据从小到大排列为，且这组数据的中位数为9，则的值为（　　） A．7 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【详解】解：一组数据从小到大排列为，且这组数据的中位数为9， 则， 解得， 故选：C 【变式3-1】某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：当时，这组数据按从小到大顺序排列为x，8，10，10 由题意得， 则； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，x，10，10 由题意得， 则（不合题意，舍）； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，10，10，x 由题意得， 则； 综上所述：或12，符合的只有选项C． 故选：C． 【变式3-2】有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是 ． 【答案】6 【详解】解：∵有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数， ∴将一组数据按照从小到大为2，5，a，7，8， ∵a为整数， ∴， 故答案为：6． 【变式3-3】如果a，b为给定的实数，且，那么1，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， 把这些数从小到大排列为：1，，，， 则中位数， 平均数为：， ∴这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是： . 故答案为：． 题型四 众数 【例7】如图为某市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：这七天气温从高到低排列为：， ∴排在中间一位的是，出现次数最多的是 ∴中位数是：，众数是：． 故选：C． 【例8】已知一组数据3，4，5，6，的众数为5，则这组数据的平均数为 ． 【答案】 【详解】解：∵一组数据3，4，5，6，的众数为5， ∴ ∴平均数为， 故答案为：． 【变式4-1】已知一组正整数，5，，，8有唯一众数1，中位数是3，则这一组数据的平均数为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：∵一组正整数，5，，，8有唯一众数1， ∴1出现次数至少两次， ∵中位数是3， ∴排序后第三个数为3， ∴将数据从小到大排列为1，1，3，5，8， ∴总和为，平均数为， 故选：B． 【变式4-2】数据1，3，5，12，，其中整数是这组数据中的中位数和众数，则该组数据的平均数是 ． 【答案】或 【详解】∵数据1，3，5，12，的中位数和众数是整数， ∴或， 当时，这组数据的平均数为， 当时，这组数据的平均数为， 故答案为：或． 题型五 极差、方差与标准差 【例9】某校运动会中，八年级各班得分情况如下：一班80分，二班85分，三班90分，四班75分，则这组数据的极差为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】A 【详解】解：四个班级中最高分为90分，最低分为75分， 则极差为：． 故选：A． 【例10】样本数据、、0、1、2的方差是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得，这组数据的平均数是：， 这组数据的方差是：． 故选：A． 【变式5-1】某小组位学生一次数学测试的分数为，，，，，，，，那么这个小组测试分数的标准差是 ． 【答案】 【详解】解：这组数据的平均数为， 所以这个小组测试分数的方差是， 则这个小组测试分数的标准差是， 故答案为：． 【变式5-2】如果一组数据的方差是9，则另一组数据的方差是 ． 【答案】9 【详解】解：∵ 的平均数为：；则 数据的平均数为： 由题意得：     ∴数据的方差为： ∴ 数据的方差是9， 故答案为：9． 【变式5-3】数据，，，，的方差计算公式为，则这组数据，，，⋯，的和是 ． 【答案】24 【详解】解：根据题意得这组数据有8个数，平均数为3， 所以这组数据的和为 故答案为： 题型六 统计量的选择 解｜题｜技｜巧 结合数据特征和问题需求选对应统计量： 求“平均水平”（如平均身高、平均分），且数据无极端值（如过大/过小数），选平均数； 数据有极端值（如少数极高分拉偏平均），或求“中间水平”（如中间名次成绩），选中位数（不受极端值影响）； 找“最常见/出现次数最多”的量（如最畅销鞋码、最受欢迎活动），选众数。 【例11】在一次数学测试中，小明成绩110分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【详解】解：根据题意可得：小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数， 故选：A． 【例12】甲、乙两名队员在相同的条件下各射击次，他们的射击成绩（单位：环）如图所示．  (1)分别求甲、乙两名队员射击成绩的平均数． (2)直接写出甲队员射击成绩的众数及乙队员射击成绩的中位数． (3)若在甲、乙两名队员中派一名成绩相对稳定的队员参赛，你会选择哪名队员参赛？说明理由． 【答案】(1)8环，环 (2)甲队员射击成绩的众数为8环、9环；乙队员射击成绩的中位数为8环 (3)乙队员，见解析 【详解】（1）解：（环），  （环）； （2）解：甲队员射击成绩的众数为8环、9环； 乙队员射击成绩的中位数为（环）； （3）解：，  ，  因为，  所以乙的平均数高，成绩相对稳定，应该选择乙队员参赛． 【变式6-1】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示： 鞋的尺码/cm 22 23 24 25 销售量（双） 2 3 12 17 9 5 2 若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（   ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 【答案】A 【详解】解：根据题意得，销售最多的是尺码为的鞋，即众数为， 故选：A． 【变式6-2】甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 88 90 方差 3.5 3.5 4 4.2 若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选 ． 【答案】乙 【详解】解：乙和丁的平均分都是，高于甲的和丙的． 乙的方差小于丁的方差． 所以要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选乙， 故答案为：乙． 【变式6-3】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲：85  88  84  85  83 乙：83  87  84  86  90 (1)分别计算这两组数据的平均数． (2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？ 【答案】(1)甲85，乙86 (2)乙 【详解】（1）解：，． （2）解：因为， 所以选派乙参加合适． 题型七 统计的综合问题 【例13】如果将一组数据中的每一个数都减去5，那么所得的新一组数据与原组数据比较必有（   ） A．众数改变，方差不变 B．众数不变，平均数改变 C．中位数改变，方差改变 D．中位数不变，平均数不变 【答案】A 【详解】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5， 根据方差公式，每个数与平均数的差不变，所以方差不变． 故选：． 【例14】某校七、八年级进行了数学期末检测，并从七、八年级中分别随机抽取了10名学生的检测成绩，整理如下： 七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，92； 八年级10名学生的成绩：94，90，93，88，98，91，89，100，87，100； 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 b 23.6 八年级 92 100 21.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中____________；____________；____________； (2)这次检测中，____________年级的成绩更稳定； (3)我校八年级共有800人参加了此次数学检测，估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有多少人？ 【答案】(1)93，94，96 (2)八 (3)560人 【详解】（1）解：， 将七年级抽样成绩重新排列为：86，86，89，90，92，96，96，96，99，100， 中位数为， 七年级的成绩出现次数最多是96分，共出现3次， ∴众数（分）， 故答案为：93，94，96； （2）解：∵七年级的方差是23.6，八年级的方差是21.4， ∴八年级的成绩更稳定． 故答案为：八； （3）解：由题意得：人 答：估计八年级学生参加此次检测成绩为优秀（）的有560人． 【变式7-1】一组数据由五个正整数组成，中位数是4，且唯一的众数是7，则这五个正整数的平均数等于（　　） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【详解】∵一组数据由五个正整数组成，中位数是4， ∴4左边有两个数，4右边有两个数， ∵唯一的众数是7， ∴4左边有两个数不相等，4右边有两个数均为7 即这五个正整数为1，2，4，7，7或1，3，4，7，7或2，3，4，7，7 ，， 故选：D． 【变式7-2】求一组数据方差的算式为：，由算式提供的信息，则该组数据的方差 ． 【答案】 【详解】解：由方差计算公式可得，这组数据为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-3】某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5次，他们的成绩（单位：环）统计表如下： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 平均数 甲/环 9 4 7 4 6 6 乙/环 7 5 7 7 6 (1)求的值和甲、乙的方差； (2)请你从平均数和方差的角度分析，社区将会选择谁参加集训． 【答案】(1)，， (2)选乙参加更好，理由见解析 【详解】（1）解：∵ 甲、乙两人的平均数相同； ∴ （2）解：选乙参加更好；理由如下： 由（1）可知：环，即甲、乙两人射箭成绩的平均数相等； ∵ ∴乙的成绩比较稳定 故选乙参加更好． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．一组数据6，3，2，a，11的平均数是5，则这组数据的中位数、众数分别是（　　） A．3，3 B．2，3 C．3，2 D．3，11 【答案】A 【详解】∵平均数为5 ∴， 解得， 将这组数从小到大排列为：2，3，3，6，11， ∴中位数为3， ∵3出现的次数最多， ∴众数为3． 故选：A． 2．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：∵数据的平均数为 18， ∴数据的平均数为， ∵数据的方差为3， ∴数据的方差不变，还是3； 故选：D． 4．一组数据的方差计算公式如下：，则这组数据的平均数是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，这组数据为， 平均数为：； 故答案为：． 5．两组数据：3、a、b、5与a、4、的平均数都是3．若将这两组数据合并为一组新数据，则这组新数据的众数为 ，中位数是 ． 【答案】 3 3 【详解】解：由题意得， ， 解得， 这两组数据为：3、3、1、5和3、4、2， 这两组数合并成一组新数据为：1、2、3、3、3、4、5， 出现次数最多的是3，因此众数是3， 处在最中间的数是3，因此中位数是3， 故答案为：3，3． 6．某中学（一）班共名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动，活动结束后，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成下面的统计图． (1)这组数据的众数是______，中位数是______． (2)求这名同学捐款的平均数； (3)该校共有学生名，请根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数大约是多少元？ 【答案】(1)元，元 (2)元 (3)元 【详解】（1）解：观察统计图可知，捐款元的人数最多，为人，所以众数是元， ∵一共有个数据，将捐款金额从小到大排列后，第个数据的平均数就是中位数， 从图中可知，捐款元的有人，捐款元的有人， 那么前人捐款金额小于元，第到人捐款元， ∴第个和第个数据都是元，中位数为元， 故：这组数据的众数是元，中位数是元； （2）捐款总数为 平均数为元， （3）已知该校共有学生名，该班同学捐款平均数为元， 则中学捐款总数大约为元； 7．小青在九年级上学期的数学成绩如下表所示： 测验类别 平时 期中 考试 期末 考试 测验1 测验2 测验3 课题学习 成绩 88 72 98 86 90 85 (1)计算该学期的平时平均成绩； (2)如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，请计算出小青该学期的总评成绩． 【答案】(1)86分 (2)分 【详解】（1）解：平时平均成绩（分）． 答：该学期的平时平均成绩为86分． （2）解：小青该学期的总评成绩（分）． 答：小青该学期的总评成绩为分． 8．某射击俱乐部对甲、乙两位选手的射击成绩进行测试，并选拔一位选手参加比赛，对每位选手打靶10次的环数进行了统计，数据如下． 甲：6、6、6、7、7、9、9、10、10、10 乙：6、7、7、8、8、8、8、9、9、10 请结合以上信息完成下列问题： (1)补全统计表； 平均数（环） 众数（环） 中位数（环） 甲 6和10 乙 8 8 (2)利用方差比较哪位选手的成绩更稳定． 【答案】(1)见解析 (2)乙 【详解】（1）解：甲的成绩的平均数为， 把甲的成绩从小到大排列后位于正中间的两个数分别为7和9， ∴甲的成绩的中位数为； ∵乙的成绩中8出现的次数最多， ∴乙的成绩的众数为8， 补全统计表，如下： 平均数（环） 众数（环） 中位数（环） 甲 8 6和10 8 乙 8 8 8 （2）解：甲的成绩的方差为， ， ∴， ∴乙选手的成绩更稳定． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024·25九年级下·四川广安·期中）若一组数据1，3，2，2，5，3，2，4，6的中位数是，众数是，实数，满足方程组，则 ． 【答案】 【详解】解：∵数字2出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2，即， 把这组数据按照从小到大的顺序排列为：1，2，2，2，3，3，4，5，6，处在最中间的数为3， ∴这组数据的中位数为3，即， ∴方程组即为方程组， 解方程组得， ∴， 故答案为：． 2．高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有 个． 【答案】3 【详解】解：∵数据4，5，6，6，6，7，8中， 平均数为， 中位数为6， 众数为6， 方差为； 去掉一个6后， 平均数为， 中位数为， 众数为6， 方差为， ∴不发生变化的量有平均数、中位数、众数，一共3个． 故答案为：3． 3．定义：一组数据，，…，的平均数为，那么称这个数据与平均数的差的平方和叫做这个数据的离差平方和，记作．那么， ，，，的离差平方和是 ． 【答案】 【详解】解：， ∴离差平方和是， 故答案为：． 4．（ 2024·25九年级下·福建漳州·期中）近期，中国在科研领域的人工智能项目取得了重大突破，在自然语言处理、图像识别等多个关键领域展现出卓越的性能，其创新的算法和广泛的应用前景引发了全球科研界和社会的关注．某初中学校为了解学生对这一前沿科技成果的关注情况以及学生上网习惯，开展了一次关于学生对人工智能项目关注情况及上网时间的问卷调查，结果如下表所示：基于上述数据，回答以下问题： 调查对象 参与调查人数（人） 对的关注度 日人均上网时间（分） 七年级学生 八年级学生 九年级学生 (1)全校学生对研发成果这个热点话题的关注度大约是多少？ (2)全校学生的日人均上网时间大约是多少分钟？ (3)从各年级对的关注度和上网时间，你能发现什么趋势？并分析可能的原因． 【答案】(1)71.5% (2)68.5分钟 (3)见解析 【详解】（1）解：   答：全校学生对这一热点话题关注度为71.5%． （2）解： （分） 答：全校学生日人均上网时间为68.5分钟． （3）解：关注度呈下降趋势，原因可能是学业负担加重；上网时间先上升后下降，原因 可能与对网络依赖程度和升学压力有关． 5．某校艺术节文艺演出中，10位评委给各个节目打分如下（单位：分）：72.0，72.5，70.0，71.0，95.0，73.0，72.0，72.0，61.0，72.5． (1)求该节目得分的平均数、中位数和众数． (2)小明认为平均数可以恰当地反映该节目的水平，你同意他的说法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请说明理由并设计一个能较好反映节目水平的统计方案． 【答案】(1)平均数73.1，中位数72.0，众数72.0 (2)不同意，理由见解析 【详解】（1）解：平均数为 ； 从小到大排列为：， ∵排序后位于中间的两数为72.0和72.0， ∴中位数为72.0： ∵数据72.0出现的次数最多， ∴众数为；72.0． （2）解：不同意，理由： ∵平均数受数据的离散程度影响， ∴为了能较好的反映该节目的水平，在评分时可以去掉一个最高分和一个最低分，再求平均数． 6．国庆节前，我校举办了一次成语知识竞赛，满分分，学生得分均为整数，成绩达到分及分以上的为合格，达到分或分为优秀．这次比赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计分析如下图．甲、乙两组各有 名成员． 组别 平均分 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 (1)直接写出，，的值． (2)求的值． (3)小宇同学说：“这次竞赛我得了分，在我们小组中排名属中游略上”．小宇是哪个组的学生?说一说你的判定理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)小宇同学是甲组的，见解析． 【详解】（1）解：， 由折线统计图可知甲组中达到合格的有名同学， ， 由折线统计图可知乙组中达到优秀的有人， ， 故答案为：，，； （2）解：； （3）解：甲组的数据按照从小到大的顺序排列，第和第个数都是分， 甲组的中位数是分， 乙组的数据按照从小到大的顺序排列，第和第个数分别是和， 乙组的中位数是分， 小宇得了分，在小组中排名属中游略上， 小宇同学是甲组的． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $