5.2函数的表示方法学案-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

5．2　函数的表示方法

1. 掌握函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法).

2. 在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，理解函数图象的作用.

3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单的应用.

活动一  函数的表示方法

语言是人与人之间沟通的桥梁，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文表示为：生日快樂！用英文表示为：Happy Birthday！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？

思考1►►►

在初中学习的函数有哪几种常用的表示方法？

 

 

 

 

思考2►►►

函数的几种常用表示方法是如何定义的？

 

 

 

 

 

思考3►►►

函数的三种表示方法各有什么优点？

 

 

 

例1　购买某种饮料x听，需要y元. 若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数，并指出该函数的值域．

 

 

 

 

本例题的两个变量之间的函数关系用解析法、列表法、图象法都能表示，但并不是所有的函数都能用三种方法表示，能用解析法表示的一般也能用另外两种方法表示，能用列表法或图象法表示的不一定能用解析法表示，也就是说有些函数的关系找不到一个等式来表示．

某种笔记本的单价是5元/本，买x(x∈{1，2，3，4，5})本笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).

 

 

 

活动二　求函数的解析式　

思考4►►►

已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式通常用什么方法？

 

 

思考5►►►

若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方法？

 

 

思考6►►►

用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？

 

 

 

例2　(1) 已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，求f(x)的解析式；

 

 

 

 

(2) 设二次函数f(x)满足f(x＋2)＝f(2－x)，方程f(x)＝0的两个实数根的平方和为10，且函数f(x)的图象过点(0，3)，求f(x)的解析式；

 

 

 

(3) 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)＋2f(－x)＝3x－2，求f(x)的解析式；

 

 

 

(4) 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．

 

 

 

 

 

 

求函数解析式的四种方法：

(1) 换元法：适用于大多数情况．换元时，一定要注意自变量的取值范围的变化情况．

(2) 待定系数法：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果．类似地当f(x)为一次函数时，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)；当f(x)为反比例函数时，可设f(x)＝(k≠0)；当f(x)为二次函数时，根据条件可设：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；③双根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).

(3) 方程组法：这种方法针对特殊题型，如同时出现f(x)和f(或f(－x))时，需要把 f(x)，f(或f(－x))分别看作一个整体，通过解方程组消去不需要的f(或f(－x))，解出f(x)的解析式，这种方法也称消去法．

(4) 配凑法：适用于已知解析式等号两边的形式接近，易于找关系的情况．

(1) 已知f()＝3－x，求函数f(x)的解析式；

 

 

 

 

(2) 已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x)的解析式．