2.2基本不等式应用的易错问题 微专题难点训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2.5基本不等式应用的易错问题 难点训练微专题(学生版） 突破通法： 基本不等式（均值不等式）的核心是，此公式的适用范围是均为正数；当且仅当时等号成立.易错点集中在 “一正、二定、三相等” 三个条件的忽 略或误用，具体如下: 1.忽略“一正”，未保证变量为正数. 2.忽略“二定”，未保证“和”或“积”为定值. 3.忽略“三相等”，取等号时，条件不满足 4.多次使用时等号条件不一致. 补充几个常用结论： （1），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 微专题训练 一、单选题 1．下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 3．设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 5．《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A．≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥ (a>0，b>0) 6．设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 8．现有以下结论： ①函数的最小值是； ②若、且，则； ③的最小值是； ④函数的最小值为. 其中，正确的有（    ）个 A． B． C． D． 二、多选题 9．已知非零实数满足，则（   ） A．的最大值为 B． C． D．的最小值为2 10．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 11．以下说法正确的有（    ） A．实数是成立的充要条件 B．对恒成立 C．命题“，使得”的否定是“，使得” D．若，则的最小值是8 三、填空题 12．下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 13．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 14．下列条件中能使成立的条件是 ①；   ②    ③，    ④， 四、解答题 15．（1）已知a，b是实数，求证：．并说明等号成立的条件． （2）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 16．对于问题“已知正实数x、y满足，求的最小值”，申辉中学的小刚给出了一个解答： 因为，所以的最小值为． 问：他的解答过程是否正确？判断并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.5基本不等式应用的易错问题 难点训练微专题(解析版） 突破通法： 基本不等式（均值不等式）的核心是，此公式的适用范围是均为正数；当且仅当时等号成立.易错点集中在 “一正、二定、三相等” 三个条件的忽 略或误用，具体如下: 1.忽略“一正”，未保证变量为正数. 2.忽略“二定”，未保证“和”或“积”为定值. 3.忽略“三相等”，取等号时，条件不满足 4.多次使用时等号条件不一致. 补充几个常用结论： （1），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． （4），当且仅当时取等号． 微专题训练 一、单选题 1．下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式使用的条件判断即可. 【详解】对于A：当时，，故A错误； 对于B：取，，故B错误； 对于C：当时，无意义，故C错误； 对于D：，取等条件为，即，故D正确. 故选：D 2．已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【分析】根据基本不等式及求最值的条件，逐一分析判断，即可求解. 【详解】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. 3．设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可 【详解】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C 4．如图，是半圆的直径，点C在上，点F在半圆上，且，设，，请你利用写出一个关于a，b的不等式为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先表示出，，进而结合勾股定理可得，进而判断即可. 【详解】， ， 而， 则由，可得，当且仅当时等号成立. 故选：A. 5．《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A．≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥ (a>0，b>0) 【答案】C 【分析】先明确的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断选项. 【详解】由题意可知， 由 可知 ，即， 所以；在中，，即 当时，点重合， ，此时，所以错误； 在中，可得即， 所以， 由于，所以， 当时，,此时，所以正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故中的不等式无法通过这种几何方法来证明， 故选：C. 6．设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解. 【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，，则， 即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 7．下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 8．现有以下结论： ①函数的最小值是； ②若、且，则； ③的最小值是； ④函数的最小值为. 其中，正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】对于①，当时，，①错误； 对于②，若，且，说明，，则，当且仅当时取等号，显然成立，②正确； 对于③，， 当且仅时取等号，即，显然这样的不存在，所以结论不正确，③错误； 对于④，因为，所以， 函数的最大值为，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 二、多选题 9．已知非零实数满足，则（   ） A．的最大值为 B． C． D．的最小值为2 【答案】ABC 【分析】A：配方法结合二次函数性质直接判断；B：利用基本不等式直接判断；C：结合“1”的代换判断；D：先根据确定取等条件，由此可判断. 【详解】A：因为，当时取等号，所以的最大值为，故正确； B：因为为非零实数，所以， 当且仅当时，等号同时成立，所以成立，故正确； C：因为， 当且仅当，即时取等号，故正确； D：因为，当且仅当，即时取等号， 当时，此时，不符合题意，所以等号取不到，故错误； 故选：ABC. 10．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据.根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，是半圆的直径，点是上一点（不同于，，），点在半圆上，且，于点.设，，则该图形可以完成的“无字证明”为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据圆中弦长关系，可得不等式，成立.. 【详解】，可得半径 在中，由射影定理可知：，   ， ， （），故B正确， 同理，在中，由射影定理可知：， 即， ，即， ，C正确， 对于A、D选项，图中的线段无法判断. 故选：BC. 11．以下说法正确的有（    ） A．实数是成立的充要条件 B．对恒成立 C．命题“，使得”的否定是“，使得” D．若，则的最小值是8 【答案】BC 【分析】举出反例可得A、D，比较大小可得B，根据否定的定义可得C. 【详解】对A：，当，时符合要求，但此时，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：命题“，使得”的否定是“，使得”， 故C正确； 对D：，若、符合要求，但此时， 故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 【答案】② 【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可. 【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当，即时，等号成立， 因为，所以，故①错误； ②因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故②正确； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件， 当时，，故③错误． 故答案为： ②. 13．若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】由基本不等式判断①；由结合基本不等式判断②；由结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④. 【详解】因为，，， 对于①，，当且仅当时等号成立，，故①正确； 对于②，，当且仅当时等号成立，，故②错误； 对于③，，当且仅当时等号成立，故③正确； 对于④，，当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①③④ 14．下列条件中能使成立的条件是 ①；   ②    ③，    ④， 【答案】①③④ 【分析】根据基本不等式成立的条件可得同号即可判断. 【详解】要使成立，只需即可，此时，当且仅当等号成立，若，则不等式不成立，即只需同号即可，故选项①③④满足. 故答案为：①③④. 四、解答题 15．（1）已知a，b是实数，求证：．并说明等号成立的条件． （2）不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 【答案】（1）证明见解析，取等条件；（2）答案见解析 【分析】运用基本不等式知识解析即可. 【详解】（1）因为，所以，即． 等号成立时，当且仅当，即． （2）不等式对任意实数a，b都成立；中要求a，b都是非负实数． 16．对于问题“已知正实数x、y满足，求的最小值”，申辉中学的小刚给出了一个解答： 因为，所以的最小值为． 问：他的解答过程是否正确？判断并说明理由． 【答案】不正确；理由见解析． 【分析】利用基本不等式等号成立条件可知小刚的解答不正确，利用 “乘1法”即解. 【详解】小刚的解答不正确理由如下：小刚解答过程中运用了两次平均值不等式，等号成立的条件分别为以及．而当时，，不可能同时满足，故无法取到． 下面是正确的解答过程： ． 因为x、y均为正实数，所以由平均值不等式，得． 所以，即． 当即时，取到最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $