学案55 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

描点连线，画图如下： y 3- 3▣2红π 1-2- -- -2 活动二用图象变换法作函数图象 新知应用 解：作y=sinx,x∈[0,4π]的图象，并将x轴下方的部分翻 转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得y=|sinx,x∈[0,4π]的图象，如图所示： 0 3 43 -1 活动三正弦（余弦）函数图象的应用 新知应用 1.解：在同一平面直角坐标系下，作出函数y=sinx,x∈[0， 2]以及直线y=子的因象，和周。 y 11 27 2π 2 y=sin x 由函数的图象知，sin 6=sin 5π1 6=2 根搭图象可知，如x≥2的解集为[否] 1 2.解：f(x)=sinx+2sinx|= 3 sin∈[0，)，画出函数的图象，如图. l-sinx,x∈[π，2π]， y=k 2T 由图象可知，当1<k<3时，函数f(x)的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，故实数k的取值范围为(1,3) 课堂达标 1.ABC 2.A[y=cosx一2的图象为y=cosx的图象向下平移2个 单位长度所得.故选A.] 3.ABC[画数y=1十cosx,x∈（行，2x)的图象知图所示，当 t<0或t≥2时，无交点；当t=0或 <<2时，只有1个交 点；当0<1<号时，有2个交点，故选ABC y 3 21 0 T 3π2π 32 4.D[作出函数y=sinx与y=cosx,x∈[-2π，2π]的图象 (图略)，观察困象可知共有4个交点，交点横坐标分别为不， 5_3x,-7.] 4’-4’-4 5.(传罗》）[令-管释y=经-(-）-咖专 N 2 所以画数y一s血工的园象与直线工-行的交点坐标 为》门 6.o,)u(竖2m] [画出函数y=cosx,x∈[0,2x]的图 象如图所示： 3π2T 由图象可知在[0,2π]上，满足cosx>0的x的取值范围为 [0,)u(,2]J 学案55正弦函数、余弦函数的周期性 与奇偶性 课堂活动 活动一探究正弦函数、余弦函数的周期 新知导学 问题1提示：sin(a+2kπ)=sina,其中k∈Z. 新知生成 1.非零常数Tf(x十T)=f(x)非零常数T 2.最小的正数 3.周期函数 4.周期函数 问题2提示：等式sm(后+）-s如晋成主，但不能说受是 y=sinx,x∈R的一个周期.因为不满足周期函数的定义，对 定义诚内任意xm(+）不一定等于如x,加血（行+）于 sin，故号 名不是亚弦函数y=sinx,x∈R的-一个周期 新知应用 解：(1)Vx∈R,有 3sin(x+2π)=3sinx. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π. (2)令之=2x,由x∈R得之∈R,且y=cos之的周期为2π，即 cos(x十2π)=cosx, 于是cos(2x十2x)=cos2x, 所以cos2(x十π)=cos2x,x∈R. 由周期函数的定义可知，原函数的周期为π (3)令2=合x-否，由x∈R得2∈R,且y=2sin的月期 1 为2π， 691 即2sin(z+2π)=2sinz, 于是2sm(分-吾+2)-2sn(分-） 所以2sin[}(z+4x）-]=2sm(合x-吾） 1 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4元 (4)法一（定义法）：.f(x)=|sinx|, ∴f(x+π)=|sin(x+π)l=|sinx|=f(x), ∴.f(x)的周期为π 法二（图象法）： 作出函数f(x)=|sinx的图象如图所示： y个 -π0 由图象可知T=π. 母题变式：(1)D[因为f(x)的最小正周期为π，所以 2π π，解得ω=土2.门 (2)π[y=|cosx的图象如图（实线部分）所示： 2 2-1 由图象可知，y=|cosx|的周期为元.] 活动二探究正弦函数、余弦函数的奇偶性 新知导学 问题3提示：正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线关于y轴对 称.这个事实，也可由诱导公式sin(一x)=一sinx,cos(-x) =cosx表示】 新知生成 原点ykπ，k∈Z 新知应用 1.D[因为函数f(x)=cos(2x十P)(p为常数)为奇函数， 所以9=受+kx,k∈Z。 所以sin9=sin(经+kx),k∈Z 当及为偶数时，sin9=sin(受+ex)=sin瓷=1， 当及为奇数时，sinp=sm(经十kx)=sin(g十x)=一sin牙 =-1, 即sinp=士1. 故选D.] 2.解：(1)显然x∈R,f(x)=cos2x, f-x)=o(←)=os2=fx) 所以函数f(x)是偶函数. (2)f(z)=xc0s(+2)--'sinx 因为Hx∈R,都有一x∈R, f(-x)=-(-x)2sin(-x)=x2sin x=-f(x), 170 所以函数f)=xco(x+）是奇函数。 (3)1+sinx≠0，.sinx≠-1， 六x∈R且x≠2张x-受k∈Z 定义域不关于原点对称， ·该函数既不是奇函数也不是偶函数 活动三三角函数奇偶性与周期性的 综合应用 新知应用 1.D[f(）=f(-)=f() =1(管-=（吾）=（餐）=如号-] 母题变式：-（爱）=（质-）-(）》 =f(5-) -(）=-(传)=-m音-] 2解：当ze[竖]时，3x-ze0,】, 图为xe[0,]时，fx)=1-nx, 所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sinx. 又∫(x)是以π为周期的偶函数， 所以f(3π-x)=f(一x)=f(x), 所以函数f(x)的解析式为f(x)=l-sinx,x [3 课堂达标 1.D[函数fx)=sm(分-合)的最小正月朔T=经=x 1 2 故选D.] 2.A [''f ()=sin(-x)=-sin z,..f(-)=sin z. .f(一x)=一f(x),∴.f(x)为奇函数.故选A.] 3.A[由f(-x)=-x-sinx=-(x十sinx)=-f(x)可知 f(x)是奇函数.故选A.] 4C[画数y=Sm号的最小正用期为T=红-4，放A不符 2 合；函数y=sin2x,其最小正周期为T=2=元，故B不符 2 合；国为函教y=sn乏的最小正周期为T=4红，所以函数y =sin受的最小正月期为2x,故C将合 因为函数y=血2红的最小三同期为T=否=，所以画教y =sn2z的最小正月期为否，故D不符合.故选C] 5AD[f)-sm(2z-号）-cos2,装小正月期T-受 =π，排除B,故A正确； f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x), 可知函数f(x)=sim(2x-)为偶函数，排除C,故D正确。 故选AD.] 6.sinπx(答案不唯一)[因为基本初等函数中既为周期函数 又为奇函数的函数为y=sinx,所以此题可考虑在此基础上 调整周期使其满足题意.由此可知f(x)=sinx且T=。 2π →f(x)=sin元x.] 2.(-1）=f(受×(-3)+) =(）-血”要」 学案56正弦函数、余弦函数的 单调性与最值 课堂活动 活动一探究正弦函数、余弦函数的 单调性与最值 新知导学 问题1提示：当x由-受增大到受时，曲线遂渐上升，smx 的值由-1增大到1；当x由增大到时，曲线逐渐下降， sinx的值由1减小到-1. sinx的值的变化情况如表所示： 0 3π 2 2 2 sin x 0 1 0 问题2提示：当x由一π增大到0时，曲线逐渐上升，c0sx的 值由一1增大到1；当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，c0sx的 值由1减小到一1. 余弦函数在一个周期区间（如[一π，π]）上函数值的变化规律 如表所示： x 2 cos z-1 0 1 0 新知生成 [-1,1][-1,1] [2+2,+2x] [登+2x,3经+2k不 [-π+2kx,2kπ][2kπ，π十2kπ] 受+2k-登+2张x2kxx+2x 新知应用 解：容易知道，这三个函数都有最大值、最小值. (1)使函数y=cosx十1，x∈R取得最大值的x的集合，就是 使函数y=cosx,x∈R取得最大值的x的集合 {x|x=2kπ，k∈Z}; 使函数y=c0sx十1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使 函数y=cosx,x∈R取得最小值的x的集合 {x|x=(2k+1)π，k∈Z}. 函数y=cosx十1，x∈R的最大值是1+1=2，最小值是一1 +1=0. (2)令z=2x,使蓝数y=一3sinz,z∈R取得最大值的z的 集合，就是使y=sinz,z∈R取得最小值的z的集合 {ee=-登+2xeez 由2红==-受十2张，k∈Z,得x=-十kx,k∈乙 所以，使函数y=一3sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是 {=-晋+k,kez. 同理，使函数y=一3sin2x,x∈R取得最小值的x的集合是 {女|k=至+x,ke. 函数y=-3sin2x,x∈R的最大值是3，最小值是-3. (3)令t=sinx,则cos2x=1-sin2x=1-t2, 所以y=-t2-t+2,t∈[-1,1]. 所以y=-4+2=-(+号）广+是4[-11 当=分中油=日=云+长刀成=晋 +2kx(k∈ZD时，函数y=cos2x-sinx十1取得最小值，x的集合 是女=晋+2张或x=-誓+2吸e2到y=号： 9 当1=1，即sinx=1,x=受+2x(k∈Z)时，函数y=c0s2x 一smx+1取得最小值，x的集合是{2x=受+2x,∈Z, ymin-0. 活动二求正弦函数、余弦函数的单调区间 新知应用 1解：令号+管e[-2,2,则∈[号音] 因为y=曲[智剖的华满适增层同无 所以画数y=sm(分十子）x∈[-2,2]的单调通增区同 [] 2.解：令z=x-分，则)y=2inz ”2=x一写是增函数， ∴y=2sin之单调递增时， 函数y=2sin(x-哥）也单调递增. 由：∈[2-受，2x+]∈D, 得-∈[2xx+]∈D, 即x[2kx-吾，2kx+]∈, 71正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案55 学案55 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性 听 昆学习任务 记 1.理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期.（数学抽象、逻辑推理） 2.会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶 性.（直观想象) 3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心.（逻辑推理） 课堂活动 4.余弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是 它的周期，最小正周期是2π. 活动一探究正弦函数、余弦函数的周期 问题2 等式sm(后+）=sn看是香否成立？如 阄新知导学 阅读教材第201一202页，完成下列问题. 果这个等式成立，能否说是正弦函数y 问题1观察下面正弦函数的图象，可以发现横 sinx,x∈R的一个周期？为什么？ 坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相 同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变 化规律.如何用数学语言描述这一现象？ -3π -4π -2m y=sinx(x∈R) 新知应用 求下列函数的周期： (1)y=3sinx,x∈R; 厅新知生成 (2)y=cos2x,x∈R; 1.函数的周期性 (3y=2 2sin-君}z∈R: 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在 (4)f(x)=|sin x,x∈R. 一个 ,使得对每一个x∈D 都有x+T∈D,且 ,那么函 数f(x)就叫做周期函数， 叫做 这个函数的周期 2.最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.正弦函数是 ,2kπ(k∈Z且k≠0)都是 它的周期，最小正周期是2π. 16910 人教A版数学必修第一册 听 母题变式：(1)若本题(3)变为：若函数f(x)= 2.判断下列函数的奇偶性： 1 cos(ox十君)的最小正周期为元，则a=（ (1)f(r)-sin) 记 A.1 B.±1 C.2 D.±2 (2)fx)=zcos(+》: (2)若本题(4)变为函数y=|cosx|的最小正 (3)f(x)= 1+sin x-cos2x 周期为 1+sin x 「方法总结」求三角函数周期的方法 (1)定义法：利用周期函数的定义求解. (2)图象法：画出函数图象，通过图象直接观察 即可， (3)公式法：对形如y=Asin(ar十p)或y=Acos(ar十p) (A,0,9是常数，A≠0，≠0)的函数，T= 2π 活动二探究正弦函数、余弦函数的奇偶性 「方法总结」1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面 阄新知导学 一看函数的定义域是否关于原点对称 问题3观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到有 二看f(x)与f(-x)的关系. 什么样的对称性？用数学语言怎么表示？ 2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导 公式先将函数式化简后再判断. 3.与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使y=Asin(wx十p)(Aw≠0)为奇函数， 则9=kπ(k∈Z). (2)要使y=Asin(wzx十p)(Aw≠0)为偶函数， 则9=x十2h∈). 后新知生成 (3)要使y=Acos(wx十p)(Aw≠0)为奇函数， 则p=x十受∈2。 函数 y=sin x y=cos x 图象 关于 对称 关于 轴对称 (4)要使y=Acos(wz十p)(Aw≠0)为偶函数， 则9=kπ(k∈Z). 奇偶性 奇函数 偶函数 活动三三角函数奇偶性与周期性 (1)对称中心为 (1)对称中心为 的综合应用 (kπ，0)(k∈Z)； 对称性 (2)对称轴x=π kx+0∈z: 新知应用 (2)对称轴x= 十2k∈Z 1.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周 期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈ 新知应用 时，fx)=sinx,则f(）= 0,2 () 1.已知函数f(x)=cos(2x十p)(p为常数)为奇 1 1 函数，那么sinp= ( A.- 2 .2 A.-1 B.0 3 C.1 D.±1 2 D.2 11170 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性学案55 母题变式：在本题条件中，把“偶函数”变成“奇函 课堂达标 听 数，其他不变则f(）)的值为 1.设函数f(x)=sin 分-》，则f(x)的最小 课笔记 2.已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈ ,引时f=1-求当r∈时， 正周期为 ( A受 B.π C.2π D.4π f(x)的解析式 2.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是 A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 3.函数f(x)=x十sinx,x∈R A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 4.下列函数最小正周期为2π的是 A.y=sin音 B.y=sin 2x C.y= x sin 2 D.y=sin 2x 5.(多选)设函数fx)=sim2x-》x∈k,则 关于f(x)的说法正确的是 ( 「方法总结」处理三角函数奇偶性和周期性的 A.最小正周期为π B,最小正周期为受 综合应用问题立足一点：把待求向已知转化. (1)周期性的作用在于大化小， C.奇函数 D.偶函数 (2)奇偶性的作用在于负化正.两者相互作用，便 6.写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)= 可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值. 课堂小结 7.设f(x)是定义域为R,最小正周期为 的函 周期性 正弦、余弦函数的 数，若f(x) 则) 周期性、奇偶性 奇偶性 应用引 sin x,0 对称性 课后反思 1710