学案30 函数的应用(一)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

(1) .不可能找到一个点使它为中心对称图形，故C不满足 题意； 对于D,f(x)=x一的图象知图(2)所示. (2) 点(1,0)为其图象的对称中心，故D满足题意.门 学案30函数的应用（一） 课堂活动 活动一应用一（二）次函数模型 新知应用 解：(1)观察表格中x,y的变化情况，设y=x十b(k,b为常 数且k≠0)， 则60=40k+b,解得180， (0=60k+b, 则y=一3x+180,40≤x≤60. (2)结合(1)中结论可得日销售利润为L(x)=(x一40)（一3x +180)=一3x2+300x-7200=-3(x-50)2+300,40≤x ≤60， 所以当x=50时，L(x)取得最大值300， 即当销售单价为50元时，所获日销售利润最大值为300元. 活动二应用分段函数模型 新知导学 问题1提示：不同. 问题2提示：首先求个人应纳税所得额t关于综合所得收入 额x的函数解析式t=g(x). 问题3提示：结合3.1.2例8的解析式③y=f(),转化为y 关于x的函数，根据表3.1-5，令t=0.8x一70160.对于属 于表中的每个区间，分别解出x的范围. 问题4提示：当x=153600时对应y的值 新知应用 解：(1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360 阴影部分的面积表示汽车在这5h内行驶的路程为360km. (2)根据题意有 50t+2004,0≤t<1, 80(t-1)+2054,1≤t<2, s=90(t-2)+2134,2≤t<3, 75(t-3)+2224,3≤t<4, 65(t-4)+2299,4≤t≤5. 136 这个函数的图象如图所示. 2400 2300 2200 2100 2000 0123457 活动三应用幂函数模型 新知应用 解：(I)设稳健型产品和风险型产品的收益与投资额x的函 数解析式分别为f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2√反(x≥0)， 结合已知得f1=1=gg1)=:= 1 所以f）gx(e≥0，ge)=2F≥0. 1 (2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20一x)万 元，依题意得获得收益为y=f(x)十g(20-x)=吾十 1 20-z(0≤x≤20)，令t=V20-x(0<≤25)， 则x-20-,所以y-20g2+号-言-2+3， 所以当t=2,即x=16时，y取得最大值，ymx=3. 故当投资稳健型产品16万元，投资风险型产品4万元时，可 使投资获得最大收益，最大收益为3万元 课堂达标 1.C[由题图可得，t=2时，汽车行驶的路程为s=50×0.5十 75×1+100×0.5=25+75+50=150(km).故选C.] 2.A[第一次降价后价格为m(1一x),第二次降价后价格变为 y=m(1-x)(1-x)=m(1-x)2.] 3.A[设峰期电量为x度，则平期电量为(520一170一x)度，从 而有1.02x+0.63×(520-170-x)+0.32×170=333.12, 解得x≈149. 故选A.] 4.125[因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以27=3→a=3,即y=x3, 当今年投入广告费用为5万元时，预计今年药品利涧为53= 125(万元).] 5.50[设获得利润为f(x)万元，则f(x)=25x一y=一x2+ 100x=一(x一50)2+2500，故当x=50时，获得最大利润.] 60t(0≤t≤2.5)， 6.解：根据题意得x=150(2.5<t≤3.5)， 函数图象如 325-50t(3.5<t≤6.5)， 图1. 60 x 50 150 100 1234567t 50 01234567i 图1 图2 60(0t≤2.5)， 由题意可得，v=0(2.5<t≤3.5)，函数图象如图2. 50(3.5<t≤6.5)， 7.解：(1)根据题图(1)可得，点A的实际意义为当乘客量为0 时，公司亏损1（单位）；点B的实际意义为当乘客量为1.5 (单位)时，公司收支持平；射线AB上的点的实际意义为当乘 客量小于1.5（单位）时公司将亏损，当乘客量大于1.5（单位） 时公司将赢利。 (2)题图(2)的建议是降低成本且保持票价不变；题图(3)的建 议是提高票价且保持成本不变 学案31复习课函数的概念与性质 课堂活动 活动二利用数与形表示函数 新知应用 1.C[由于x一1≠0，即x≠1，所以f(x)的定义域是{x|x≠1}， 由此排除选项ABD,所以正确的选项为C 故选C.] 2.C[把题图①中y轴右侧的图象去掉，保留y轴左侧的图 象，并把y轴左侧的图象翻折到y轴右侧，然后将此图象沿x 轴翻折，即得到图②.所以图②对应的函数为y=一f(一|x). 故选C.] 3.解：(1)依题意，f(W反+1)=2(V()-3=2[(W元+1)-1]2 -3=2(元+1)2-4（元+1）-1， 所以f(x)=2x2-4x-1,x≥1. (2)由2f(x)-f(2-x)=x2+2x,得2f(2-x)-f(x)= (2-x)2+2(2-x), 于是2fx)-f2-x)=x2+2x, 消去f(2一x)得 2f(2-x)-f(x)=x2-6x+8, 8 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-名x 8 -3x+3 4.解：（1)设x>0,则一x<0, 因为当x≤0时，f(x)=一x2十2x, 所以f(一x)=一x2一2x, 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(x)=-f(-x)=x2十2x(x>0) (2)函数g(x)=f(x)-2ax+2=x2+(2-2a)x+2, 其图象的对称轴为直线x=a一1， 当a-1≤1，即a≤2时，g(x)mim=g(1)=5-2a=2, 解得a=子，成立 当a-1≥2，即a≥3时，g(x)min=g(2)=10-4a=2, 解得a=2,不成立； 当1<a-1<2,即2<a<3时，g(x)mim=g(a-1)= -(a-1)2+2=2,解得a=1,不成立。 综上，实数a的值为号 活动三综合应用函数性质 新知应用 1.[4,5][函数f(x)=√-2的定义域满足x-2≥0， 故x∈[2，十∞)， 2 (侣)+f()的定义域满足0≥ 2⊙2，解得4≤x≤5，故定 x≠0， 义域为[4,5].] 2.2[令t=1十x,t≥1，则原函数化为y=3(t-1)十 函数y=3十兰-3(4≥1）的图象知图所示. Y 01 t 由对勾函数性质得y在，十∞)上单调递增， 所以当t=1时，函数取最小值2.] 3.C[①a=0时，f(x)=x+1,值域为[0，十∞)，满足 题意； ②a≠0时，若f(x)=√/ax2十x十1的值域为[0，+∞)， 则/a>0, △=12-4a≥0， 解得0a≤子 1 综上，0≤a≤41 故选C.] 2a-3<0, 3 4.C[由条件可知， a>0, 0<a<2, 32a-3)+2>号 28 a>23 3 故选C.] 5.A[因为对任意的x1,x2∈[0，十∞)，且x1≠x2,都有 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0, 所以由函数单调性的定义可知f(x)在[0，十∞)上单调递 减，所以f(3)<f(2)<f(1), 又f(x)是偶函数，所以f(2)=f(一2)， 所以f(3)<f(-2)<f(1). 故选A.] 6.C[起（兮）代入f)-x可得，（侵）广-舞得a 4,则f(x)=x4, 显然函数f(x)的定义域为R,且f(x)为偶函数， 又f(x)在[0，十∞)上单调递增. 所以由f(m+2)<f(2m)得m+2<2m,将两边平方 整理可得，3m2-4m-4>0, 371函数的应用（一）学案30 学案30函数的应用（一） 听 昆学习任务 记 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用 2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题.（数学建模） 课堂活动 问题1这两个例题中的y与t表示的意义相 同吗？ 活动一应用一（二）次函数模型 今新知应用 某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价 出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价x 问题2例1首先求什么？ (单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下 表所示的关系 x/元 40 50 55 60 y/件 60 30 15 0 (1)根据表中提供的数据，确定y与x的函数 解析式； 问题3怎么求y关于x的函数解析式？如何对 (2)设经营此商品的日销售利润为L(x)(单 x分段？ 位：元)，根据上述关系，写出L(x)关于x的函 数解析式，并求日销售利润的最大值. 问题4例1中的(2)解决了什么问题？ 今新知应用 「方法总结」根据实际问题建立函数模型解析 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单 式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数 位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图所示. 的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的 90 利润最大、用料最省等最值问题， 10 活动二应用分段函数模型 0 阄新知导学 40 阅读教材第70页的例8，第93一94页的例1，完 10 成下列问题. 9110 人教A版数学必修第一册 听 (1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的 (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式， 实际含义； (3)结合幂函数的性质求解，注意换元法的应用， 笔 (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 课堂小结 程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程 时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函 一次函数模型 数解析式，并画出相应的图象. 函数的 应用（一） 二次函数模型 分段函数模型 幂函数模型 课堂达标 1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t 的关系图象如图，则t=2时，汽车已行驶的路 程为 () !「方法总结」本题的解答过程表明，函数图象对 v/(km/h) 分析和理解题意很有帮助.因此，我们要提高读图 125 能力。 100 活动三应用幂函数模型 50 25 00.511.522.533.544.55ti 仓新知应用 A.100 km B.125 km 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预 C.150 km D.225 km 测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成 2.国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次 正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额 降价的百分率为x.已知该药品的原价是m 的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类 元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数 产品的收益分别为0.125万元和0.5万元. 解析式是 () (1)分别写出两类产品的收益与投资额x的函 A.y=m(1-x)2 B.y=m(1+x)2 数解析式； C.y=2m(1-x) D.y=2m(1+x) (2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投 3.某市的电费收费实行峰平谷标准，如下表所示： 资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益？ 时间段 电价 最大收益是多少万元？ 14:00-17:00 峰期 1.02元/度 19:00-22:00 8:00-14:00 平期 17:00-19:00 0.63元/度 22:00-24:00 谷期 0:00-8:00 0.32元/度 该市市民李某收到11月的智能交费账单显示： 电量520度（其中谷期电量170度），电费333.12 元.则李某家的峰期用电量大约为（精确到 「方法总结」幂函数模型应用的求解策略 整数) () (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求 A.149度 B.179度 出参数，明确函数关系式. C.199度 D.219度 1192 函数的应用（一）学案30 4.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广 7.图(1)是某条公共汽车线路收支差额y关于乘 听 告投入x（单位：万元)与药品利润y(单位： 客量x的图象 课 万元)存在的关系为y=x(a为常数)，其中x (1)试说明图(1)上点A,点B以及射线AB上 不超过5万元.已知去年投人广告费用为3万 记 的点的实际意义； 元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费 (2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出 用5万元，预计今年药品利润为 万元. 了两种扭亏为盈的建议，如图(2)(3)所示.你能 5.生产某机器的总成本y(单位：万元)与产量x 根据图象，说明这两种建议是什么吗？ (单位：台)之间的函数关系式是y=x2一75x, y 若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利 润时生产的机器为 交 6.某人开车以60km/h的速率从A地到150km 远处的B地，在B地停留1h后，再以50km/h (1) (2) 的速率返回A地.把汽车与A地的距离x(单 位：km)表示为时间t(单位：h)(从A地出发时 开始)的函数，再把车速v(单位：km/h)表示为 时间t的函数，并分别画出这两个函数的图象. (3) 课后反思 1 9310