学案26 奇偶性的概念-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

奇偶性的概念 学案26 学案26 奇偶性的概念 听 昆学习任务 记 1.理解奇函数、偶函数的定义.（数学抽象） 2.了解奇函数、偶函数图象的特征.（直观想象） 3.掌握判断函数奇偶性的方法.（逻辑推理） 课堂活动 问题4我们取一些特殊值，观察一下相应的函 数值 话动一理解奇、偶函数图象特征及概念 x -3-2-1 0123 阄新知导学 f(x)=x -3-2-10123 阅读教材第82一84页，完成下列问题 8(x)= 11 … 问题1观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x 32-1/123 的图象，这两个函数图象有什么共同特征？ 你能用符号语言精确地描述这两个函数图象特 征吗？ 问题2根据下表，观察问题1中两个函数的自 变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关 系，如何利用符号语言精确地描述这种关系？ 2 -2 01 23 。 f(x)=z2 9 0 9 g(x)=2- 2 0 后新知生成 问题3观察函数f(x)=x和g(x)=上的图象， 1.偶函数 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D, 你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 如果 那么函数f(x)就叫做偶函数， (2)图象特征：图象关于 对称. 2.奇函数 (1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D, 如果 那么函数f(x)就叫做奇函数， (2)图象特征：图象关于 对称. 7710 人教A版数学必修第一册 新知应用 一f(x),f(x)是奇函数；③f(-x)≠士f(x), f(x)既不是奇函数也不是偶函数；④f(一x)= 笔 1.判断下列函数的奇偶性： 士f(x),f(x)既是偶函数也是奇函数. (1)f(x)=x4;(2)f(x)=x5; (2)图象法： (3)f(x)=x+(4)fx) x2 f 关于原点对称 x)为奇函数 |1+x,x>0, 的 (5)f(x)= 图 1-x,x<0; 象 关于，轴对称 为偶函数 (6)f(x)=√1-x2+√x2-1; 活动二 简单应用奇、偶函数的图象 (7)f(x)=(x-1)2. 司新知导学 阅读教材第85页，完成下列问题. 问题5(1)判断函数f(x)=x3+x的奇偶性. (2)函数f(x)=x3+x的部分图象如图所示， 你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左侧的 图象吗？ (3)一般的，如果知道函数是奇（偶）函数，那么 我们可以怎样简化对它的研究？ 2.(多选)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇 函数，则下列函数中为偶函数的是 () A.y=f(x) B.y=f(x2) C.y=x·f(x) D.y=f(x)十x :「方法总结」判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法： 确定 定义域是否关 否 既不是奇函 定义域 于原点对称 数也不是偶 函数 是 计算-) 确认)与趴-x)的关系 结论 今新知应用 、 不关于原点对称：f(x)既不是奇函数也不是偶函 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且 数；关于原点对称：判断f(一x)与f(x)的关系 当x≤0时，f(x)=x2十2x.现已画出函数 ①f(一x)=f(x),f(x)是偶函数；②f(一x)= f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. 1178 奇偶性的概念学案26 活动三。利用函数的奇偶性求参数值 听 询新知导学 问题6函数奇偶性的定义的逆命题成立吗？ 记 (1)请补出完整函数y=f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增 区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值 集合； (4)比较f(1)与f(3)的大小. 问题7如果函数f(x)在定义域D上为奇函数， 且0∈D,则f(0)是多少？ 新知应用 1.若函数f(x)=x2-|x十a|为偶函数，则实数 母题变式：若将本题中的“偶函数”改为“奇函数”， a= 其他条件不变，如何解答本题？ 2.已知函数f(x)是奇函数，当x∈（一∞，0）时， f(x)=x2十mx,若f(2)=一3，则m的 值为 3已知函数f)是定义在红一1，上的奇面： 数，且f(1)=1则m= ,n= 「方法总结」利用函数奇偶性求参数值的思路 (1)定义域含参数：若表示定义域的区间含有参 数，则可利用对称性列出关于参数的方程求解. (2)解析式含参数：对x取定义域内的任一个值， 利用f(一x)与f(x)的关系式恒成立来确定参 数的值. 「方法总结」巧用奇、偶函数的图象求解问题 (3)计算f(x)与f(一x),再根据两者相等或者 (1)依据：奇函数台图象关于原点对称，偶函数台 相反的关系，建立等式来求出其余的参数 图象关于y轴对称. (4)有时候还可以利用特殊点来计算参数，如对于！ (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决 奇函数f(x)而言，若f(x)在x=0处有定义，则 诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题. f(0)=0. 7910 人教A版数学必修第一册 听 课堂小结 4.(多选)下列命题正确的是 课 A.偶函数的图象一定与y轴相交 记 奇偶性 B.奇函数的图象一定过原点 定义域：关于原点对称 C.若奇函数f(x)在x=0处有定义，则恒有 奇函数 f(0)=0 偶函数 D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)=f(一x) 定义：)=树 图象关于 定义：-= 图像关于 =f(|x|) →-)-x 轴对称 →-)+x) (0,0)对称 =0 =0 5.(多选)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 g(x)≠0，则 () 性质 A.f(x)十g(x)是奇函数 奇±奇=奇，偶±偶=偶 奇×奇=偶，偶×偶-偶 B.f(x)一g(x)是奇函数 奇×偶奇 C.f(x)g(x)是奇函数 匕课堂达标 化侣是奇函数 1.下列函数中，是奇函数的是 ( 6.已知函数fc)+1)(x+a为奇函数，则 A.f(x)=x B.f(x)=x a= C.f(x)=x2 D.f(x)=x2-1 7.已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)= 2.函数y= x2+1 的图象是 ( y2f(x)+x2f(y),则下列结论正确的有 .(填上所有正确的序号) ①f(0)=0; ②f(1)=0; 3-2-10123x -3-2-10123 ③f(x)是偶函数. 8.已知函数f(x)=+(3at1)x+c(a,c∈ x十a A B R).当a=0时，是否存在c,使得f(x)为奇 函数？ -3-2-10123x 3-210123 1 -2 -2 C D 3.已知函数f(x)=x3一x十1，则图象关于 ( A.y轴对称 B.直线x=1对称 C.点(0,1)对称 D.坐标原点对称 课后反思 11803.C[函数f(x)=x十√x在区间[0,4]上单调递增， ∴f(x)∈[f(0),f(4)]=[0,6].] 4A[国为f)=-2:+z=-合-10+号≤号，图 象开口向下，对称轴为直线x=1, 函数f(x)在(-∞，1]上单调递增，在[1，十∞)上单调递减. 依题意3动≤号，所以≤行，所以了x)在区间[a,6]上单调 递增， 所以fa）=3a'即 -2a2+a=3a, 1 f(b)=3b, 厂2b2+6=36, 所以a6为方程分2+2x=0的两根， 所以a十6=一是=-4.故选A] 2 5.3[因为f(x)=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，当x=1时取 等号， 所以若x∈[0，b],f(x)的值域为[一1,3]，则b>1, 因为f(x)的图象是开口向上的抛物线， 所以f(x)在[0,1]上单调递减，在[1，b]上单调递增， 因为f(0)=0≠3， 所以f(b)=b2-2b=3,即b2-2b-3=0, 解得b=3或b=一1（舍去）.] 6.一4[由题意得y=ax2+bx+c的值城为[0,16]， 且ax2+十bx十c≥0的解集为[0,4幻，故函数图象开口向下，所 以a<0,即a.x2十bx十c=0的两根为0和4， b 所以0十4=一 c=0, 即b=一4a, 则y=a.x2-4ax=a(x-2)2-4a, 当x=2时，y=a(x-2)2一4a取得最大值16， 即-4a=16,解得a=-4.] 7.解：f(x)=(x-a)2+a-a2+1,当0<a<4时，f(x)在 [一4，a]上单调递减，在[a,4]上单调递增.又f(一4)=9a十 17,f(4)=17一7a,f(-4)>f(4),所以f(x)的最大值为 f(-4)=9a+17.当a≥4时，f(x)在[-4,4]上单调递减， 所以f(x)的最大值为f(-4)=9a十17.综上，在[一4,4]上 函数的最大值为9a十17. 学案26奇偶性的概念 课堂活动 活动一理解奇、偶函数图象特征及概念 新知导学 问题1提示：两个函数的图象都关于y轴对称 问题2提示：当自变量x任取一对相反数时，相应的两个函数 值相等，即Hx∈R,f(一x)=f(x). 问题3提示：两个函数的图象都关于原点O(0,0)成中心对称 图形. 问题4提示：当自变量x任取一对相反数时，相应的函数值 f(x)也是一对相反数.即Hx∈R,f(-x)=一f(x). 新知生成 1.(1)Vx∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x)(2)y轴 2.(1)Hx∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)(2)原点 130 新知应用 1.解：(1)函数f(x)=x4的定义域为R. 因为Hx∈R,都有一x∈R, 且f(一x)=(-x)4=x4=f(x), 所以，函数f(x)=x4为偶函数. (2)函数f(x)=x5的定义域为R. 因为Hx∈R,都有一x∈R, 且f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x), 所以，函数f(x)=x5为奇函数. (3)画数f(x)=x+是的定义域为红z≠01. 因为Hx∈{x|x≠0}，都有-x∈{x|x≠0}，且 f-)=-x+2=-(+2)=-f0 所以，函教f)=x十上为青画数 (4)函数f(x)=三的定义域为{x|x≠0. 因为Hx∈{x|x≠0}，都有-x∈{xx≠0}， 1 且f-x)=-x)=之=f(x), 所以，函数了)之为妈画数。 (5)作函数的图象（图略），可以看到函数图象关于y轴对称， 所以函数是偶函数. 1-x≥0'得x2=1,即x=士1. (6)由 x2-1≥0， 因此函数的定义域为{一1,1}，因为Hx∈{一1,1}，都有一x ∈{-1,1}，且f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数. (7)函数f(x)=(x一1)2的定义域是R. 因为f(1)=0,f(-1)=4, 所以f(1)≠f(-1),f(1)≠-f(-1). 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f(x)=(x一1)2 既不是奇函数也不是偶函数 2.ABC[因为f(x)的定义域为R,又因为f(|一x|)= f(|x),所以y=f(x)是偶函数，故A是偶函数； 令F(x)=f(x),则F(-x)=f(x2)=F(x),所以F(x) 是偶函数，故B是偶函数； 令M(x)=x·f(x),则M(一x)=一x·f(一x)=x·f(x) =M(x),所以M(x)是偶函数，故C是偶函数； 令N(x)=f(x)十x,则N(-x)=f(-x)-x=一f(x) 一x=一[f(x)十x]=一N(x),所以N(x)是奇函数，故D 是奇函数. 故选ABC.] 活动二简单应用奇、偶函数的图象 新知导学 问题5提示：(1)是奇函数.(2)作这一部分关于原点对称的图 象.(3)先研究函数在y轴一侧的性质，再利用奇偶函数的对 称性研究在y轴另一侧的性质. 新知应用 解：(1)由题意作出函数图象，如图」 10 (2)据图可知，单调递增区间为[一1,0]，[1，十∞). (3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|一2<x< 2,且x≠0}. (4)据图可知，f(1)<f(3) 母题变式：解：(1)由题意作出函数图象，如图所示 -2 X (2)由图可知，单调递增区间为[一1,1] (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|一2<x<0 或x>2}. (4)由图可知，f(3)<f(1). 活动三利用函数的奇偶性求参数值 新知导学 问题6提示：逆命题成立，设函数f(x)在定义域D上为偶 (奇)函数，则Hx∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x) (f(-x)=-f(x)). 问题7提示：f(0)=0. 新知应用 1.0[法一：显然x∈R, 由已知得f(-x)=(-x)2-|一x+a|=x2-|x一a|. 又f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x),即x2-|x十a|= x2-|x-a|, 即|x+a|=|x-al. 又x∈R,所以a=0. 法二：由题意知f(一1)=f(1),则|a一1|=|a十1|，解得a= 0.经检验，a=0符合题意.] 27[f-2)=-f2)=3,f-2》=(-2》-2m=8 3.20[由f(0)=0得n=0,由f(1)=1得m=2.] 课堂达标 1.A[对于A,f(x)=x的定义域为R,f(一x)=一x=一f(x), 函数f(x)是奇函数，A正确；对于B,f(x)=|x|的定义域为 R,f(一x)=|一x|=f(x),函数f(x)是偶函数，B错误；对 于C,f(x)=x2的定义域为R,f(-x)=(-x)2=f(x),函 数f(x)是偶函数，C错误；对于D,f(x)=x2一1的定义域为 R,f(-x)=(-x)2-1=f(x),函数f(x)是偶函数，D错 误.故选A.] 2.D[令函数f(x)=y=十1其定义线为R,满足f(一x) 一x x2+1=-f(x), 即y=十为奇函数，故排除A,C 当x>0时y=希>0，当1<0时，y=41<0, f(0)=0, 可知D中图象符合题意，故选D.] 3.C[令h(x)=x3一x,该函数的定义域为R,h(一x)= (-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x), 则h(x)是奇函数，点(0,0)是h(x)的图象的对称中心，将 h(x)的图象向上平移一个单位长度得到f(x)的图象， 所以，点(0,1)是函数f(x)图象的对称中心.] 4.CD[函数f()是偏函数，但图象与y轴不相交，所以 A错误； 函教∫()=二是奇画教，但图象不过原点，所以B错误； 由奇偶性的定义知C,D正确.] 5.CD[f(x)是奇函数，.f(-x)=-f(x); g(x)是偶函数，g(-x)=g(x)； 对于A,.f(-x)十g(-x)=一f(x)十g(x)≠-[f(x)+ g(x)], f(x)十g(x)不是奇函数，A错误； 对于B,:f(-x)-g（-x)=-f(x)-g(x)≠-[f(x)- g(x)], ∴f(x)一g(x)不是奇函数，B错误； 对于C,,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x), ∴f(x)g(x)是奇函数，C正确； 对十D号-得智是女数D正流 故选CD.] 6.-1[法-：因为f(x)=+1)+@）,fx)为奇函数，所 x 以f(一x)+f(x)=0, 即-x+1)-x+a）+z+1)x+a）=0,所以 x x2+(a+1)x+a-[z2-(a+1)x+al=0, x 所以2(a+1)=0,所以a+1=0,即a=-1. 法二：由题意知f(一1)=0，又f(x)为奇函数，所以f(一1) =-f(1)=0,所以f(1)=0, 即1+1)1+a）=0,所以a=-1.] 1 7.①②③[取x=y=0,则f(0)=0,故①正确；取x=y=1, 则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,故②正确；取x=y= -1,则f(1)=f(-1)十f(-1),所以f(-1)=0,取y= 一1，则f(-x)=f(x)+x2f(-1),所以f(-x)=f(x),所 以函数f(x)为偶函数，③正确.] 311 8.解：当a=0时，f(x)=+z+c,定义战为(-o0,0)U(0, x 十∞)， ∴.f(1)=2+c,f(-1)=-c, 显然f(1)≠-f(-1), .当a=0时，f(x)不可能为奇函数， ∴.当a=0时，不存在c,使得f(x)为奇函数。 学案27函数奇偶性的应用 课堂活动 活动一利用奇偶性求函数值 新知应用 1.一26[令h(x)=x5十ax3十bx,易知h(x)为奇函数. 因为f(x)=h(x)-8,h(x)=f(x)+8, 所以h(-2)=f(-2)+8=18. h(2)=-h(-2)=-18, 所以f(2)=h(2)-8=-18-8=-26.] 2.B[因为f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),代入条件等式再 相加，得g(1)=3. 故选B.] 3.B[因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0, 又函数f(x十1)是偶函数，则f(-x十1)=f(x十1)， 令x=1, .f(2)=f(0)=0.] 4.B[设F(x)=f(2x十1)，f(x+2)是偶函数，则f(-x+ 2)=f(x十2)， .f(2x+1)是奇函数，则f(一2x十1)=一f(2x十1)， 且由F(x)=f(2x十1)是奇函数，可得F(0)=f(1)=0, ∴.f(-1)=-f(3)=一f(1)=0,其他几个不一定为0，B 正确.] 活动二根据函数的奇偶性求函数的解析式 新知导学 问题1提示：(1)f(x)=-f(-x)=-x-1. (2)f(x)=f(-x)=x+1. 新知应用 1.解：当x<0时，一x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1, 因为函数f(x)是奇函数，所以f(x)=一f(一x), 所以x<0时，f(x)=-x2一2.x十1， |x2-2x-1(x>0), 故f(x)=0(x=0), -x2-2x+1(x<0). 母题变式：解：当x<0时，一x>0, f(-x)=(-x)2-2(-x)-1=x2+2x-1, 因为函数f(x)是偶函数， 所以f(x)=f(-x),所以f(x)=x2十2x-1, 即x<0时，f(x)=x2+2x-1. 2.解：f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴.f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), f(x)+g(x)= 1@ 用一工代替上式中的x,得f(-)十g(一x)=-x: f(x)-g(x)=1 1② 132 (0+@)÷2,得fx)=x= (①-②)÷2，得g(x)=2-1 x 活动三结合函数的奇偶性比较大小、 解不等式 新知导学 问题2提示：奇函数在（一2，一1）上单调递减，则在(1,2)上单 调递减；偶函数在（一2，一1）上单调递减，则在(1,2)上单调 递增. 一般地，若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上单调递 增，则f(x)在[一b,一a]上单调递增，即在对称区间上单调 性一致（相同）. 若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上单调递增，则 f(x)在[一b,一a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反. 问题3提示：若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a<b)上有最 大值为M,则f(x)在[一b,一a]上有最小值为一M. 若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a<b)上有最大值为N,则 f(x)在[-b,一a]上有最大值为N. 新知应用 角度1 1.A[由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，十∞)时，f(x) 单调递增，则x∈（一∞，0）时，f(x)单调递减，故其图象的几 何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小， .|-2<|-3|<π， .f(π)>f(-3)>f(-2),故选A.] 母题变式：(1)解：因为f(x)在[0，十∞)上单调递减，所以有 f(2)>f(3)>f(π).又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(一2) =f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)>f(-3)>f(π). (2)解：因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，十∞)上单调 递增，所以函数在R上是增函数， 因为-3<-2<π，所以f(一3)<f(-2)<f(π). 角度2 2.解：(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在[-2,2]上单调递减， 11-m>m, 由f(1-m)<f(m)得{-2≤1-m≤2， -2≤m≤2， 解得m∈[-1，），故m的取位范周为[1，号）： (2)若∫(x)是偶函数，因为f(x)在[0,2]上单调递减，故在 [一2,0)上单调递增， 由f(1-m)<f(m)得f(11-ml)<f(m|), 11-m>m, 故仁21-m≤2，解得m∈[-1，）， |-2≤m≤2， 故m的取值范国为[-1，) 3.解：f(x)为奇函数，f(1)=一1， .f(-1)=-f(1)=1. -1≤f(x-2)≤1， ∴.f(1)≤f(x-2)≤f(-1) f(x)在（一∞，十∞）上单调递减， .-1≤x-2≤1， 1≤x≤3，即x的取值范围为[1,3].