学案23 函数的单调性-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 课 学案23函数的单调性 记 昆学习任务 1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增（或递减）和增函数、减函数的概念.（数学抽象） 2.理解函数在某区间上具有（严格的）单调性和单调区间的概念.（数学抽象） 3.能运用定义法证明函数的单调性，会求函数的单调区间.（逻辑推理、数学运算） 课堂活动 后新知生成 活动一直观感知、理解函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I ≤D: 阄新知导学 如果 ,那 阅读教材第76一77页，完成下列问题， 么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 问题1函数y=x2,怎样从直观上用符号语言 如图(1) 刻画“在区间（一∞，0）上y随x的增大而 特别地，当函数∫(x) 减小”？ 时，我们就称它是增函数 y=f(x) y=f(x) fx) fx) 问题2只取（一∞，0）内的两个确定的值x1,x2, f(x2) 当x1<x2时，若f(x1)>f(x2),能保证函数 y=f(x)在区间（一∞，0）上，y随x的增大而 (1) (2) 减小吗？ 如果 ,那 么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 如图(2). 特别地，当函数 时， 我们就称它是减函数。 问题3你能说明为什么f(x1)>f(x2)吗？ 如果 ,那 么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格 的)单调性，区间I叫做y=f(x)的 仓新知应用 1.函数f(x)=x|,f(x)=-x2各有怎样的单 问题4你能模仿上述过程，用符号语言描述函 调性？ 数y=x2在[0，十∞)上“y随x的增大而增 大”吗？ 2.定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象 如图所示，则函数的单调递减区间是 在区间 上单调递增. 1166 函数的单调性学案23 问题6从教材例2可看出，是利用了数学中的 听 -3 哪个函数的单调性？结论如何？ 课 -2 记 y=f(x) 3.画出函数y=一x2+2x|+3的图象，并指出 函数的单调区间. 今新知应用 1,根据定义证明函数y=工十1在区间（1，十0) 上单调递增。 「方法总结」求函数单调区间的方法 (1)若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反 比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调 区间. (2)若所给函数不是上述函数但函数图象容易作 出，可先作出其图象，然后根据图象写出其单调 区间. 母题变式：证明函数f(x)=x+上在区间(0,1) 活动二利用定义证明函数的单调性 上单调递减. 新知导学 阅读教材第78一79页，完成下列问题 问题5从教材例1中可看出一次函数f(x) kx十b(k≠0)有什么样的单调性？如何证明？ 6710 人教A版数学必修第一册 听 2.利用单调性定义证明函数f(x)=√x-1在其 定义域内是增函数， 3.已知函数fx)=x-兰+号在1，+∞)上单 调递增，求实数a的取值范围. 记 「方法总结」由函数单调性求参数，可利用常见 「方法总结」利用定义证明函数单调性的步骤 函数的单调性，如： (1)取值：设x1,x2是该区间内的任意两个值，且 函数 单调性 x1<x2 (2)作差变形：作差f(x1)一f(x2),并通过因式 一次函数 a>0时，在R上单调递增； y=ax+b(a≠0) 分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正 a<0时，在R上单调递减 负的式子 a>0时，单调递减区间是 (3)定号：确定f(x1)一f(x2)的符号. 反比例函数 (-∞，0)和(0，十∞)； (4)结论：根据f(x1)一f(x2)的符号及定义判断 y-”(a≠0) a<0时，单调递增区间是 函数的单调性. (一∞，0)和(0，+∞) 活动三利用函数的单调性确定参数的 值或取值范围 a>0时，单调递减区间是（一∞， 二次函数 今新知应用 m],单调递增区间是[m,十o); y=a (x-m)2 a<0时，单调递减区间是[m, -x2-ax-9,x≤1， +n(a≠0) 十∞)，单调递增区间是（一∞，m] 1.已知函数f(x)= 在R上 ,x>1 x 或利用单调性的定义.对于分段函数的单调性，要 单调递增，则实数a的取值范围为 ( 求每一段的单调性，且注意在分界点处函数值的 A.[-5,0) B.（-∞，-2) 大小关系 C.[-5,-2 D.(-∞，0) 2.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2, 课堂小结 (1)若函数f(x)的单调递减区间是（一∞，4]， 增减函数的定义 则实数a的值是 函数的单调性 函数的单调区间 (2)若函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减， 则实数a的取值范围是 函数单调性证明及应用 ■168 函数的单调性学案23 课堂达标 5.若函数y=f(x)的图象如图所示，则函数 听 f(x)的单调递增区间是 课 1.函数y=f(x),x∈[-4,4]的图象如图所示， 则f(x)的单调递增区间是 ( 记 -4-301 6.已知函数f(x)=x十a|在(-∞，-1)上是单 调函数，则a的取值范围是 A.[-4,4] B.[-4,-3]U[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 7求证：晒数f)-在(0，十∞)上单调递波 2.函数y=(2k十1)x十5在R上是减函数，则 Ak>号 Bk号 c专 D,kK司 3.下列函数在区间(0，十∞)上不单调递增的是 () A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y=3-x D.y=x2+2x+1 4.(多选)下列说法正确的是 ( A.函数f(x)的定义域为(a,b),若Hx1,x2∈ (a,b),当x1<x2时，f(x2)<f(x1),则函 数f(x)是(a,b)上的减函数 B.函数f(x)的定义域为(a,b),若了x1,x2∈ (a,b),当x1<x2时，f(x2)<f(x1),则函 数f(x)不是(a,b)上的增函数 C.若函数f(x)在[a,b]上单调递增，在(b,c] 上也单调递增，则函数f(x)在[a,c]上单调 递增 D.若函数f(x)在[a,b]上单调递增，在[b,c] 上单调递增，则函数f(x)在[a,c]上单调 递增 课后反思 :I 69115 M(x) 2 -5-4-3-2-1012345x -2 (2) 由(x+1)2=x+1,得x(x+1)=0. 解得x=-1或x=0. 结合图(2)，得出函数M(x)的解析式为 (x+1)2,x≤-1， M(x)={x+1,-1<x≤0， (x+1)2,x>0. 活动二求分段函数的函数值 新知应用 解：(1)一2<-1， .f(-2)=2×(-2)+3=-1. ∴.f(f(-2)=f(-1)=(-1)2+1=2. 即f(ff(-2)=f(2)=1+2=2 13 (2)当a>1时，fa)=1+1=3, a=2a=2>1. 当-1Ka≤1时，fo)=a2+1=2, a-t号e[-1山 当a<-1时，f(a)=2a+3= 2 a=及≥-1（舍去） 上=2减a=士号 活动三用分段函数解决实际问题 新知应用 解：(1)根据题表可得函数y=f(t)的解析式为 0.03t,0t36000, 0.1t-2520,36000<t≤144000， 0.2t-16920,144000<t≤300000， y=0.25t-31920,300000<t≤420000，③ 0.3t-52920,420000<t≤660000， 0.35t-85920,660000<t≤960000， 0.45t-181920,t>960000. 函数图象如图所示」 y 250080 145080 73080 43080 11880 036000300000 660000 96000017 144000 420000 (2)根据②，小王全年应纳税所得额为 t=117600-60000-117600×(8%+2%+1%+9%) 9600-560 =0.8×117600-70160 =23920. 将t的值代入③，得 y=0.03×23920=717.6. 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元. 课堂达标 1.A[f(3)=3-2=1.故选A.] 2.D[函数y=xx=-x2,x<0. x2,x≥0， 结合选项知D正确.] 3.A[由题意知，f(5)=f(f(10),而f(10)=f(f(15)), 计算可知f(15)=15+3=18, 所以f(10)=f(18)=18+3=21, 从而f(5)=f(21)=21+3=24, 故选A.] 4.BD[对于A固为fx)=r+2,x≤-1， x2,-1<x<2, 所以f(x)的定义域为(-∞，-1]U(-1,2)=(-∞，2)， 所以A错误； 对于B,当x≤-1时，x+2≤1.当一1<x<2时，0≤x2<4. 所以f(x)的值域为(-∞，1]U[0,4)=(一∞，4)，所以B 正确； 对于C,周为f(x)=,-1<r<2, x十2，x≤-1， 所以f(1)=12=1,所以C错误； 对于D,当x≤一1时，由f(x)=3,得x十2=3， 解得x=1(舍去). 当一1<x<2时，由f(x)=3,得x2=3,解得x=√3或x= 一√（舍去），综上，x=√3，所以D正确.故选BD.] 5.解：(1)当0≤x≤2时，f(x)=1+。2=1； 2 当-2K<0时，fx)=1+2=1-x 所以f(x)= 1,0≤x≤2， 1-x,-2<x<0 (2)函数f(x)的图象如图所示， -20 (3)由(2)知，f(x)在（一2,2]上的值战为[1,3） 学案23函数的单调性 课堂活动 活动一直观感知、理解函数的单调性 新知导学 问题1提示：直观上看图象在y轴左侧部分从左至右是下降 的，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小.用符号语言 描述，就是任意取x1,x2∈（一∞，0)，得到f(x1)=x, f(x2)=x,那么当x1<x2时，有f(x1)>f(x2). 251 问题2提示：不能保证函数y=f(x)在区间（一∞，0）上，y随 x的增大而减小. 问题3提示：作差法比较f(x1)与f(x2)的大小. 问题4提示：图象在y轴右侧部分从左至右是上升的，也就是 说，当x≥0时，y随x的增大而增大.用符号语言描述，就是 任意取x1,x2∈[0，十∞)，得到f(x1)=x1,f(x2)=x,那 么当x1<x2时，有f(x1)<f(x2). 新知生成 Hx1,x2∈I,当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)在它的定 义域上单调递增Vx1,x2∈I,当x<x2时，都有f(x1)> f(x2)f(x)在它的定义域上单调递减函数y=f(x)在 区间I上单调递增或单调递减单调区间 新知应用 1.解：作图象（图略）可得，函数f(x)=|x在（一∞，0）单调递 减；在[0，十∞)单调递增.f(x)=一x2在（一∞，0）单调递 增；在[0，十∞)单调递减. 2.[一2,1]和[3,5][-5，-2]和[1,3][根据图象得出函数 y=f(x)的单调递减区间是[-2,1]，[3,5]；单调递增区间是 [-5,-2],[1,3].] 3.解：y=-x2+2|x|+3 -(x-1)2+4,x≥0， 函数图象如图所示， -(x+1)2+4,x<0, -3-101 3 由图可知，函数在（一∞，一1]，[0,1]上单调递增，函数在 [一1,0]，[1，十∞)上单调递减，所以函数的单调递增区间是 (一∞，一1]和[0,1]，单调递减区间是[一1,0]和[1，+∞). 活动二利用定义证明函数的单调性 新知导学 问题5提示：根据函数单调性的定义，需要考察当x1<x2时， f(x1)<f(x2)还是f(x1)>f(x2).根据实数大小关系的基 本事实，只要考察f(x1)一f(x2)与0的大小关系. 证明如下：函数f(x)=kx十b(≠0)的定义域是R.Hx1,x2 ∈R,且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(kx1十b)-(kx2十b) =k(x1-x2). 由x1<x2,得x1一x2<0.所以 ①当k>0时，k(x1-x2)<0.于是f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2). 这时，f(x)=kx十b是增函数 ②当k<0时，k(x1-x2)>0.于是f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 这时，f(x)=kx十b是减函数 问题6提示：反比例画数y=是(a≠0)的单调性.a>0时，单 调递减区间是(-∞，0)和(0，十∞)；a<0时，单调递增区间 是（一∞，0）和(0，十∞). 26 新知应用 1.证明：Hx1,x2∈(1，+∞)，且x1<x2,有 %-(+)-(+2)-a-)+(层) c-)+4-4.(-1. T1T2 I1I2 由x1,x2∈(1，+∞)，得x1>1,x2>1. 所以x1x2>1,x1x2-1>0. 又由x1<x2,得x1一x2<0. 于是(x1x2-1)<0, x1T2 即y1<y2 所以，画数y=x十子在区间1，十四)上单调递增。 母题变式：证明：Vx1,x2∈(0,1)，且x1<x2, 有f)-f)=(a+）-(+)=(1-)+ (2)--+-a-） =（x1-x2)(-1十x1x2) x1T2 0<x1<x2<1, .x1-x2<0,0<x1x2<1,则-1十x1x2<0, :x-)-1+x1)>0,即f0x,)>f(x), x122 “f(x)=x十上在区间(0,1)上单调递减。 2.证明：函数f(x)=√x一1的定义域是x∈[1，十∞)， Hx1,x2∈[1，+∞)，且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=√1-I-√x2-I =（1-I-√2I)(1-1+2-1) √x1-I+√x2-I x1一x2 W1-I+√x2-I 因为x1,x2∈[1，+∞)，且x1<x2, 所以√x1-I+√x2-I>0,x1-x2<0. 所以f(x1)<f(x2). 故函数f(x)=√/x一I在定义域上是增函数. 活动三利用函数的单调性确定参数的 值或取值范围 新知应用 1.C[由题意知，x∈R, -x2-ax-9,x≤1， 在f(x)=a x>1, 中，函数单调递增， 2x2万21， ∴.a<0, 解得-5≤a≤-2.故选C.] a -1-a-9≤1， 2.(1)一3(2)（一∞，一3][(1）因为函数f(x)的单调递减 区间是（一∞，4]，且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1 a,所以有1一a=4,即a=一3. (2)因为函数f(x)在区间（一∞，4]上单调递减，且函数 f(x)图象的对称轴为直线x=1一a,所以1一a≥4， 即a-3.] 3.解：Hx1,x2∈(1，十)，且x1<x2,所以x1x2>1. 因为函数f(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以f)-f,)=4-号+号一-(：-号+号】 =(x1-x2)(1+a）<0. T1T2/ 因为x1-2<0,所以1+a>0,即a>-x1x 因为1<x1<x2,x1x2>1, 所以-x1x2<-1,所以a≥-1. 所以实数a的取值范围是[一1，十∞). 课堂达标 1.C[由图象知单调递增区间为[一3,1].] 2.D[因为函数y=(2k+1)x+5在R上是减函数， 所以2+1<0>k<-7.故选D.] 3.C[函数y=3一x在区间(0，十∞)上单调递减.] 4.ABD[由减函数的定义，知A说法正确； 对于B,3x1,x2∈(a,b),当x1<x2时，f(x1)>f(x2),所 以f(x)不是(a,b)上的增函数，B说法正确； 时于c.fe)-0i周e.i 上均单调递增，但f(x)在[0,2]上不单调递增，C说法错误； 对比C选项，D选项两区间有重合部分，D正确.故选ABD.] 5.(一∞，1]和(1，十∞)[由题图可知函数f(x)的单调递增 区间是(-∞，1]和(1，十∞).] 6.(-,1][因为函数f(x)在（一∞，一a]上是单调函数，所 以-a≥-1，解得a≤1.] 7.证明：Hx1,x2∈(0，十∞)，且x1<x2, 有f(x)-f(x2)=-1)(x十x1) xix; 0<x1<x2, .x2-x1>0,x2十x1>0,xix2>0. .f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 画数fx)=子在(0，十0)上单调递减。 学案24函数单调性的综合应用及 函数的最值 课堂活动 活动一直观感知函数的最大值与最小值 新知导学 问题1提示：Hx∈R,都有f(x)≥f(0),最小值是f(0),函 数f(x)=x2的最小值的几何意义是二次函数f(x)=x2的 图象上最低点(0,0)的纵坐标0. 问题2提示：f(x)=一x2的最大值是图象上的最高，点(0,0) 的纵坐标0. 问题3提示：不一定.如函数f(x)=一x2≤1恒成立，但1不 是函数的最大值： 新知生成 ≤≥f(x)=M纵坐标纵坐标 新知应用 1 解：如图所示，当-2≤x≤1时，由f(x)=x,得画数f(x) 最大值为f(1)=1,最小值为f(0)=0; -1212 当1Kx≤2时，由fx)-是得f2)≤fe)Kf1, 即<f)1. 综上，f(x)max=1,f(x)min=0. 活动二利用单调性求函数的最值 新知导学 问题4提示：用函数的单调性求最值 问题5提示：①若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减，则 f(x)在[a,b]上的最大值为f(a),最小值为f(b). ②若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b] 上的最大值为f(b),最小值为f(a). ③若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递增（减），在区间 [b,c]上单调递减（增），则f(x)在区间[a,c]上的最大（小） 值是f(b),最小（大）值是f(a)与f(c)中较小（大）的一个. 新知应用 解：(1)由x一1≠0得x≠1， .函数f(x)的定义域为(-∞，1)U(1,+∞). (2)证明：Hx1,x2∈[2,6]，且x1<x2,则 2x1-32x2-3 f(x)-f(x)=1-1-2-1 x1-x2 =(x1-1)(x2-1’ x1-x2<0,x2-1>x1-1>0, ∴.f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), .函数f(x)在[2,6]上单调递增. (3)由(2)知f(x)在[2,6]上单调递增， 9 f(x)m=f(6)=5f(x)m=f(2)=1. 活动三函数最值的实际应用 新知应用 1.解：画出函数h(t)=一4.9t2十14.7t十18的图象.显然，函数 图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶，点的横坐标就是烟花 爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度 h 30 25 20 15 10 00.511.522.533.54t 由二次函数的知识，对于函数h(t)=一4.9t2+14.7t十18， 271