学案22 分段函数-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

解得k=3,b=1,或k=一3，b=一2. 所以f(x)=3x+1或f(x)=一3x一2. (2)法一（配凑法）： 因为f(WE+1)=x+2E=(WE+1)2-1(WE+1≥1)， 所以f(x)=x2-1(x≥1). 法二（换元法）： 令√x+1=t(t≥1)， 则x=(t-1)2(t≥1)】 所以f(t)=(t-1)2+2√(t-1)7=t2-1(t≥1). 所以f(x)=x2-1(x≥1). 3)f)+2f(2）=x,令x= x 得f(（）+2r=是 于是得到关于f(x)与f(）的方程组 f(x)+2f(3）=x, 得)=营红≠0. r(）+2fx)= 课堂达标 1.B[由题意可知，f(1)=4,f(4)=2, .f(f(1)=f(4)=2.故选B.] 2.D[设fx)=ax+ba≠0，则有+h=0, b=1, 所以a=-1,b=1,f(x)=-x+1.] 3.B[由函数图象可知g(2)=1,由表格可知f(1)=2, 故f(g(2)=2.] 4.D[由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小， 且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得 比较快，直至为0，只有D选项符合题意.] 5.BD[令1=2x+1,则x=号是，因为了2x+1D=红，所以 f=42）°=-1，所以10e)=-1, 所以f(1)=(1-1)2=0,f(-1)=(-1-1)2=4.故选BD.] 6.f(x)=x2-4(x≥2)[因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+ 2)2-4, 令t=x2+2(t≥2)，则f(t)=t2-4(t≥2)， 所以f(x)=x2-4(x≥2).] 7.解：依题意可得圆的直径为50cm,则该矩形的另一边长为 √502-x2,其中0<x<50,故矩形的面积y=x√502-x2 =x√2500-x2, 故y关于x的函数为y=x√2500-x2(0<x<50). 8.解：用列表法表示如下 x/台 1 2 3 4 5 y/元 3000 6000 9000 12000 15000 x/台 6 > 8 9 10 y/元18000 21000 24000 27000 30000 24 用图象法表示，如图所示 30000l/元 01 0冶 用解析法表示为y=3000x,x∈{1,2,3，…，10}. 学案22分段函数 课堂活动 活动一了解分段函数的概念 新知导学 问题1提示：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相 反数，零的绝对值仍是零， a,a≥0， al= -a,a<0. 一x,x<0, 问题2提示：y= 其图象是由y=一x(x<0)和 x,x≥0， y=x(x≥0)两部分组成. 定义域是两部分的并集，为R,值域是两部分的并集，为[0，十∞). 新知生成 对应关系 新知应用 1.解：当-3x<一1时，设f(x)=ax+b(a≠0)， 将点(-30.(-1，-0代入，可得f)=号子 当-1x<1时，同理，可设f(x)=cx十d(c≠0)， #点（-1-2.1入，可得1)号日 当1≤x<2时，f(x)=1. 37 2x-2,-3≤x<-1, 所以f(x)=3 1 2x-2,-1≤x<1, 1,1≤x<2. 2.解：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象（如 图(1)). gx)=(x+1)2y1 5 fx)=x+1 4 3 2 -5-4-3-2012345x -1 -2 (1) (2)由图(1)中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得 函数M(x)的图象（如图(2）). 5 M(x) 2 -5-4-3-2-1012345x -2 (2) 由(x+1)2=x+1,得x(x+1)=0. 解得x=-1或x=0. 结合图(2)，得出函数M(x)的解析式为 (x+1)2,x≤-1， M(x)={x+1,-1<x≤0， (x+1)2,x>0. 活动二求分段函数的函数值 新知应用 解：(1)一2<-1， .f(-2)=2×(-2)+3=-1. ∴.f(f(-2)=f(-1)=(-1)2+1=2. 即f(ff(-2)=f(2)=1+2=2 13 (2)当a>1时，fa)=1+1=3, a=2a=2>1. 当-1Ka≤1时，fo)=a2+1=2, a-t号e[-1山 当a<-1时，f(a)=2a+3= 2 a=及≥-1（舍去） 上=2减a=士号 活动三用分段函数解决实际问题 新知应用 解：(1)根据题表可得函数y=f(t)的解析式为 0.03t,0t36000, 0.1t-2520,36000<t≤144000， 0.2t-16920,144000<t≤300000， y=0.25t-31920,300000<t≤420000，③ 0.3t-52920,420000<t≤660000， 0.35t-85920,660000<t≤960000， 0.45t-181920,t>960000. 函数图象如图所示」 y 250080 145080 73080 43080 11880 036000300000 660000 96000017 144000 420000 (2)根据②，小王全年应纳税所得额为 t=117600-60000-117600×(8%+2%+1%+9%) 9600-560 =0.8×117600-70160 =23920. 将t的值代入③，得 y=0.03×23920=717.6. 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为717.6元. 课堂达标 1.A[f(3)=3-2=1.故选A.] 2.D[函数y=xx=-x2,x<0. x2,x≥0， 结合选项知D正确.] 3.A[由题意知，f(5)=f(f(10),而f(10)=f(f(15)), 计算可知f(15)=15+3=18, 所以f(10)=f(18)=18+3=21, 从而f(5)=f(21)=21+3=24, 故选A.] 4.BD[对于A固为fx)=r+2,x≤-1， x2,-1<x<2, 所以f(x)的定义域为(-∞，-1]U(-1,2)=(-∞，2)， 所以A错误； 对于B,当x≤-1时，x+2≤1.当一1<x<2时，0≤x2<4. 所以f(x)的值域为(-∞，1]U[0,4)=(一∞，4)，所以B 正确； 对于C,周为f(x)=,-1<r<2, x十2，x≤-1， 所以f(1)=12=1,所以C错误； 对于D,当x≤一1时，由f(x)=3,得x十2=3， 解得x=1(舍去). 当一1<x<2时，由f(x)=3,得x2=3,解得x=√3或x= 一√（舍去），综上，x=√3，所以D正确.故选BD.] 5.解：(1)当0≤x≤2时，f(x)=1+。2=1； 2 当-2K<0时，fx)=1+2=1-x 所以f(x)= 1,0≤x≤2， 1-x,-2<x<0 (2)函数f(x)的图象如图所示， -20 (3)由(2)知，f(x)在（一2,2]上的值战为[1,3） 学案23函数的单调性 课堂活动 活动一直观感知、理解函数的单调性 新知导学 问题1提示：直观上看图象在y轴左侧部分从左至右是下降 的，也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小.用符号语言 描述，就是任意取x1,x2∈（一∞，0)，得到f(x1)=x, f(x2)=x,那么当x1<x2时，有f(x1)>f(x2). 251学案22 昆学习任务 1.会用解析法及图象法表示分段函数.（数学抽象 2.能用分段函数解决生活中的一些简单问题.（数 课堂活动 活动一了解分段函数的概念 阄新知导学 阅读教材第68一69页，完成下列问题， 问题1回想初中学过的绝对值的代数意义，并 给出a|的表述方式. 问题2函数y=x的解析式具体是什么？图 象怎么作？定义域、值域各是什么？ 厅新知生成 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A 中不同的取值范围，有着不同的，则称 这样的函数为分段函数， (1)分段函数的定义域是各段函数定义域的 并集。 (2)分段函数的值域是各段函数值域的并集， 今新知应用 1.根据如图所示的函数f(x) 的图象，写出函数f(x) 的解析式. 分段函数学案22 分段函数 听 课笔 直观想象) 学建模) 2.给定函数f(x)=x十1，g（x)=（x+1)2, x∈R. (1)在同一直角坐标系中画出函数f(x),g(x) 的图象； (2)Hx∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中的最 大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}. 例如，当x=2时，M(2)=max{f(2),g(2)}= max{3,9}=9. 请分别用图象法和解析法表示函数M(x). 「方法总结」1.写分段函数的解析式，先求出定 义域内每一区域的解析式，再把各解析式连同相· 应的自变量的取值范围，从上到下写在大括号内. 2.作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在 作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图！ 象，再保留定义域内的一段图象即可.作图时要特 别注意接点处点的虚实，保证不重不漏 6310 人教A版数学必修第一册 听 活动二求分段函数的函数值 笔 今新知应用 1 1+x>1, 已知函数f(x)= x2+1,-1≤x≤1， 2x+3,x<-1. (1)求f(f(f(-2)); 3 (2)若f(a)=,求a. :「方法总结」1.求分段函数函数值的步骤 、 (1)确定要求值的自变量属于哪一段区间. :(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止.若 题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外” 的顺序，层层处理 :2.已知函数值求自变量的值（范围）的步骤 (1)对自变量的取值范围分类讨论. (2)代入到不同的解析式中. (3)通过解方程（不等式）求出自变量的值（范围）. (4)检验所求的值（范围）是否在所讨论的区间内. :(5)符合题意的所有值（范围的并集）即为所求. 活动三用分段函数解决实际问题 今新知应用 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的 所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向 国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月 1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速 算扣除数确定，计算公式为 1164 个税税额=应纳税所得额X税率一速算扣除 数.① 应纳税所得额的计算公式为 应纳税所得额=综合所得收人额一基本减除费 用一专项扣除一专项附加扣除一依法确定的其 他扣除.② 其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元. 税率与速算扣除数见表。 全年应纳税 税率 速算 级数 所得额所在区间 (%) 扣除数 [0,36000] 3 0 2 (36000,1440007 10 2520 (144000,300000] 20 16920 4 (300000,420000 25 31920 (420000,660000 30 52920 6 (660000,960000 35 85920 1 (960000,+∞) 45 181920 (1)设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额 为y,求y=f(t),并画出图象； (2)小王全年综合所得收入额为117600元，假 定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保 险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入 额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加 扣除是9600元，依法确定其他扣除是560元， 那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 「方法总结」分段函数的建模 (1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时， 往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应 关系，而分段函数的图象也需要分段画， (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分 界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进 行分类讨论，从而写出相应的函数解析式 课堂小结 求值 份段函数 图象一解析式 应用 课堂达标 x+5,x≥4， 1.已知函数f(x)= 则f(3)的值是 x-2,x<4, ( A.1 B.2 C.8 D.9 2.下列图象是函数y=x|x|的图象的是() 平木不 D x+3,x>10, 3.设f(x)= 则f(5)的 f(f(x+5)),x≤10， 值是 () A.24 B.21 C.18 D.16 课后反思 分段函数学案22 4.(多选)已知函数f(x)= x+2,x≤-1，关于 x,-1<x<2, 课 函数f(x)的结论正确的是 ( 记 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为（一∞，4） C.f(1)=3 D.若f(x)=3,则x的值是5 5.已知函数f(r)=1+1x)(-2<≤2. 2 (1)用分段函数的形式表示f(x); (2)画出函数f(x)的图象； (3)写出函数f(x)的值域. 1 6510