学案20 函数的概念(二)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

函数的概念（二）学案20 学案20函数的概念（二） 听 课笔记 昆学习任务 1.能正确使用区间表示数集.（数学运算） 2.会求一些简单函数的定义域与函数值.（数学运算） 3.会判断两个函数是否为同一个函数.（数学抽象） 课堂活动 「方法总结」用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值。 活动一。掌握用区间来表示数集 (2)区间两端点之间用“，”隔开. 厅新知生成 (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端！ 用小括号， (1)一般区间的表示 (4)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数.以 设a,b∈R,且a<b,规定如下： “一o∞”，“十o∞”为区间的一端时，这端必须用小 定义 名称 符号 数轴表示 括号 (5)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就 {x|a≤xb} 闭区间 不能用区间表示 活动二会求函数的定义域与函数值 x a<x<b 开区间 b 阄新知导学 问题1 当函数 ix asx<b 半开半闭区间 ①上出现时，要求 {x|a<x≤b}半开半闭区间 b ②√无出现时，要求 ③x°出现时，要求 (2)特殊区间的表示 今新知应用 定义 {x|x≥a}{xlx>aKx|x≤a}{x|x<a} 符号 2x-1 1.求函数y= 1 的定义域。 今新知应用 (x+3)°x-z 把下列数集用区间表示： (1){x|x≥-1}； (2){xx<0}; (3){x|-1<x<1}; (4){x|-2<x≤2且x≠0}. 5710 人教A版数学必修第一册 听 1 活动三会判断两个函数是否为同一个函数 2.已知函数f(x)=√+3+x+2 (1)求函数的定义域； 阄新知导学 记 2求f-31(号)的值： 阅读教材第66页，完成下列问题. (3)当a>0时，求f(a),f(a-1)的值. 问题2y=工与y=工的定义域、对应关系、值 域是否分别相同？是同一个函数吗？ 问题3函数y=x(x∈R)与y=x是否为同 一个函数. 问题4函数y=x与y=|x|是同一个函数吗？ 母题变式：如果本题函数不变，求f(f(一3)的值. 问题5成为同一个函数，两个函数要具备什么 条件？怎么判断？ 厅新知生成 如果两个函数的定义域 ,并且对应关 系 ,即相同的自变量对应的函数值也 !「方法总结」1.求函数定义域的注意事项 相同，那么这两个函数是同一个函数. (1)如果函数f(x)是整式，那么函数的定义域是 新知应用 实数集R 下列各组式子是否表示同一个函数？为什么？ (2)如果函数f(x)是分式，那么函数的定义域是 使分母不等于零的实数组成的集合 (1)y=x2,y=(元)2； (3)如果函数f(x)是二次根式，那么函数的定义 (2)y=√1十x·√1-x,u=√/1-2； 域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的 (3)y=√3-x),y=x-3; 集合 (4)汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系 :(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式 f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x 的和、差、积、商的形式构成的，那么函数的定义域 (0x5). 是使各式子都有意义的自变量的取值集合（即求 !各式子的自变量取值集合的交集) 2.函数求值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式 中的x,即得f(a)的值. (2)已知f(x)与g(x),求f(g(a))的值应遵循 由里往外的原则 1158 函数的概念（二）学案20 「方法总结」判断两个函数是否相同的方法 两个函数相同，一般要求它们的定义域、值域和对 3巴知函数1x)=x+则了2)+/(-2)的 应关系都要相同，具体步骤为 值是 笔 A.-1 B.0 一看定义域 看定义域是否相同 C.1 D.2 二看 看对应关系是否完全 4已知函数fx)=,则f日) 对应关系 一致 A.0 三下结论 根据”一看”“二看” 下结论 C.a D.3a 5.下列函数中，对于定义域内的任意x,f(x十1) 注意：(1)在化简解析式时，必须是等价变形。 =f(x)+1恒成立的为 ( ) (2)函数是两个非空数集之间的对应关系，所以用 A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x2 什么字母表示自变量、因变量是没有限制的 C.f(x)=1 D.f(x)=x 七课堂小结 6.(多选)下列各组函数中，是同一个函数的有 ( ) 区间表示 A.f(x)=x十3，g(x)=x+2 分式型 B.f(x)=|x|,g(x)=√x 定义域求法 偶次根式型 函数的概 念（二） 复合型 C.f()=x,g(x)= 定义域相同 D.f(x)=x2,g(t)=t2 7.(多选)下列函数中，值域为(0，十∞)的是 相同函数 对应关系一致 值域相同 A.y=√元 B.y=1 x 课堂达标 1 C.y=- D.y=x2+1 1.区间[5,8)表示的集合是 A.{x|x≤5，或x>8}B.{x|5<x≤8} 8.函数f(x)=十2 x-2 的定义域是 .(用 C.{x|5≤x<8} D.{x|5≤x≤8} 区间表示) 2.若f(x)=√x十1，则f(3)= ( 9.设函数f(x)=1一 4 一，若f(a)=2,则实数a= A.2 B.4 C.2√2 D.10 课后反思 591倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数 的定义；对于选项D,A集合不是数集，故不符合函数的定义， 故选A.] 2.B[对于A,图象中定义域范围有误，不符合； 对于B,满足从集合M到集合N的函数关系，符合； 对于C,图象中值域不为集合N的子集，不符合； 对于D,由函数定义域内任意一个数x有且仅有唯一函数值 与之对应，图象存在一个x对应两个y值的情况，不符合.故 选B.] 3.解：不是A到B的函数，A中的3无对应元素，2有两个对应 元素. 活动二理解函数的三要素 新知导学 问题5提示： 函数对应关系 定义域 值域 一次y=ax十b R 函数 (a≠0) 二次 y=ax2 a>0 yby≥4ae-62 4a +bx+c R 函数 (a≠0) a<0 反比例y= x {x|x≠0} 函数 {yy≠0} (k≠0) 新知应用 1.{x|一2≤x≤4或5≤x≤8}{y|一4≤y≤3}[根据y= f(x)的函数图象可以看出，f(x)的定义域为{x|一2≤x≤4 或5≤x≤8}，值域为{y|一4≤y≤3}.] 2.{1,2}[将x∈{-1,0,1}代入f(x)=x2+1,解得f(-1) =2,f(0)=1,f(1)=2,根据集合中元素的互异性，可知函数 的值域为{1,2}.] 3.解：f(x)=x2一4x十6=(x一2)2十2，因为x∈R,所以函数 f(x)的值域为{y|y≥2}. 活动三构建函数问题情境 新知应用 1.解：把y=x(10一x)看成二次函数，那么它的定义域是R,值 域是B={y|y≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x,对 应到B中唯一确定的数x(10一x). 如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0<x<10},那 么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设一边长为x,面积为y,那么y=x(10 -x). 其中，x的取值范围是A={x|0<x<10》,y的取值范围是B ={y|0<y≤25).对应关系f把每一个长方形的边长x,对 应到唯一确定的面积x(10一x). 母题变式：解：直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x,另 一条直角边长为)，那么y=9共中，江的取值范国是A {xx>0},y的取值范围是B=(y|y>0).对应关系∫把每 一个直角三角形的一条直角边长x,对应到唯一确定的另一 条直角边长10 2.解：y=π· (赁)°-，这是一个二次画教，共定义为 R,值域为{y|y≥0}. 对应关系f是把R中的任意一个实数x,对应到唯一确定的 如果对变量x的取值范围作出限制，令x>0,那么可构建如 下情境： 如果一个圆的周长为x,它的面积为y, 事么·（层 其中x的取值范围是A={x|x>0},y的取值范围是B={y y>0}. 对应关系f是把每一个圆的周长x,对应到唯一确定的面积 课堂达标 1.BCD[A选项的图象中至少存在一处，如x=0,对应两个y 值，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元 素不唯一，故A不是函数图象，选项B,C,D均符合函数 定义.] 2.C[对选项A,对于集合A中的数0，在集合B中没有数与 它对应，所以此对应不是从A到B的函数；对选项B,对于集 合A中的数4，因为4的平方根为士2，所以在集合B中有两 个数与它对应，因此此对应不是从A到B的函数；对选项C, 符合函数概念；对选项D,对于集合A中的数0，在集合B中 没有数与它对应，所以此对应不是从A到B的函数.综上 选C.] 3.B[对于A,D,由于同学姓名非数字，故A,D错误；对于B, 任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩 也是唯一确定的，故B正确；对于C,假设班级中有两位身高 相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成 绩，故C错误.故选B.门 4.AC[由函数的定义知，y是x的函数，故A正确；对于不同 的x值，y值可以相同，例如y=|x|,当x值为1和一1时，y 值均是1，故B错误；由函数的定义知，函数是一种对应，是多 对一或一对一，不是一对多，故C正确，D错误.门 5.{-2,0,4}[将x∈{一1,0,2,3}代入y=x2-3x中，解得 函数的值域是{一2,0,4}.] 6.解：由图知，对于A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数 与之对应， 所以∫：A→B是从集合A到集合B的函数. 定义域是A={1,2,3,4,5},值域为C={2,3,4,5},对应关系 f为题图 7.解：设面积为x的正方形的边长为y,则y=√x,定义域为{x x>0},值域为{y|y>0). 学案20函数的概念（二） 课堂活动 活动一掌握用区间来表示数集 新知生成 (1)[a,b](a,b)[a,b)(a,b](2)(-∞，+∞)[a,+∞) (a,+∞)(-∞，a](-∞，a) 新知应用 解：(1){x|x≥-1}=[-1，十∞). (2){xx<0}=（-∞，0). (3){x|-1<x<1}=(-1,1). (4){x|-2<x≤2且x≠0}=(-2,0)U(0,2]. 21 活动二会求函数的定义域与函数值 新知导学 问题1提示：①x≠0.②x≥0.③x≠0. 新知应用 1.解：要使函数式有意义，必须使 +3≠0，即r≠-3， |x-x>0, x<0, 因此通数y=2x三 (x+3)0+ 1 的定义域为{xx<0且 Tx-x x≠一3}. 2.解：(1)使根式√x十3有意义的实数x的集合是{xx≥一3}， 使分式z十2有意义的实数x的集合是{xx≠-2》.所以，这 个函数的定义域是 {x|x≥-3}∩{x|x≠一2}={x|x≥-3，且x≠-2}， 即[-3，-2)U(-2,+∞). (2②)将-3与号代入解折式，有 1 f(-3)=√3+3+-3+2-1： 3 (3)因为a>0,所以f(a),f(a一1)有意义. f(a)=va+3+ a+2 fa-=va1F+。-+短a2+。 母题变式：解：因为f(一3)=-1，所以f(f(一3))=f(一1) √2+1. 活动三会判断两个函数是否为同一个函数 新知导学 问题2提示：定义域、值域分别不同，对应关系相同，不是同一 个函数. 问题3提示：是同一个函数.理由如下： (1)y=x(x∈R)与y=,定义域相同都是R (2)y==x(x∈R),以此可以发现二者的对应关系一 致，所以二者是同一个函数. 问题4提示：不是同一个函数，对应关系不同 问题5提示：(1)两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 一致. (2)两个注意点： ①在观察定义域时，应观察所给函数的原型；观察对应关系 时，应观察等价化简后的函数形式 ②与用哪个字母表示无关. 新知生成 相同完全一致 新知应用 解：(1)y=√x2的定义域为R,y=(√x)2的定义域为{x x≥0}，两者定义战不同，∴y=√与y=(丘)2不是同一 个函数. (2)"y=√1十x·√1一x的定义域为{x|一1≤x≤1}，u= √J1一v的定义域为{v|一1≤v≤1}，即两者定义域相同.又 122 ”y=√十x·√一x=√一x,两函数的对应关系也 相同.故y=√1十x·√1一x与u=√1一v2是同一个函数 (3),y=√(3-x)严=|x-3与y=x-3的定义域相同，但 对应关系不同， ∴y=√/(3-x)7与y=x-3不是同一个函数. (4)是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 课堂达标 1.C 2.A[因为f(x)=√x十I,所以f(3)=√3+I=2.] 3.B[/2)+f(-2)=2+号+(-2)+2=0.故选B] 4.D[因为画数了)=2，所以f(日）=是=3a,故选D] 3 a 5.A[对于A选项，f(x+1)=(x+1)十1=f(x)+1,成立. 对于B选项，f(x十1)=-(x十1)2，f(x)+1=-x2+1,不 1 成立.对于C选项，fx+1)=中fx)+1= +1，不成 立.对于D选项，f(x十1)=|x+1,f(x)+1=x|+1,不 成立.故选A.] 6.BD[对于A,两函数的对应关系不同，所以不是同一个函 数；对于B,两函数的定义域相同都为R,其次√=x,所 以是同一个函数；对于C,函数f(x)=x2的定义域为R,而 函数g(x)=的定义找为(-0,0)U(0,十0)，定义战不 同，所以不是同一个函数；对于D,两函数的定义域相同都为 R,且对应关系相同，所以是同一个函数.故选BD.] 7.BC[y=√x的值域为[0，+o∞)，y=x2+1的值域为[1，+o∞). 故选BC.] 8.[-2,2)U(2,+∞)[x应满足r+2≥0， x-2≠0， 即≥-2具2所以画发了)=受号的定义成足 [-2,2)U(2,+o∞).] 0.-1[由fa)=。=2,得a-1门 学案21函数的表示法 课堂活动 活动一了解函数的三种表示方法 新知导学 问题1提示：问题1,2用解析式；问题3用图象；问题4用 表格. 问题2提示：解析法、列表法和图象法。 问题3提示： 优点 缺点 一是简明、全面地概括 了变量间的关系；二是 不够形象、直观，而且 解析法 可以通过解析式求出 并不是所有的西数都 任意一个自变量所对 可以用解析法表示 应的函数值