学案19 函数的概念(一)-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 第三章 函数的概念与性质 课 学案19函数的概念（一） 记 学习任务 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的 函数概念.（数学抽象） 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.（数学抽象) 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.（数学运算） 上课堂活动 厅新知生成 活动一用集合的语言刻画函数概念 一般地，设A,B是非空的 阄新知导学 如果对于集合A中的 ,按照某种 的对应 阅读教材第60一62页，完成下列问题 概念 关系f,在集合B中都有 问题1回忆一下初中阶段我们对函数是如何定 的数y和它对应，那么就称f:A→ 义的？ B为从集合A到集合B的一个 函数 对应关系 y=f(x),x∈A 三 定义域 的取值范围A 要 问题2针对课本本节的问题1和问题2，你认为 素 与x的值相对应的 值的 值域 它们有什么异同点？ 集合为{f(x)|x∈A》 今新知应用 1.下列从集合A到集合B的对应关系f是函数 的是 () 问题3课本上的问题3和问题4，它们是函数 A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数 吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中 平方 的函数的区别. B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方 C.A-Z,B=Q,f:A中的数取倒数 D.A={平行四边形}，B=R,f:求A中平行四 边形的面积 2.设M={x0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出 问题4通过对课本中的4个问题的分析，你能 下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N 说出它们有什么不同点和共同点吗？ 的函数关系的是 ( 012x 12 B C D 1154 函数的概念（一）学案19 3.A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图，是 新知应用 听 A到B的函数吗？ 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则该函数 的定义域为 ,值域为 记 「方法总结」判断一个对应关系是否为函数的 2.若已知函数f(x)=x2+1,x∈{一1,0,1}，则 方法 函数f(x)的值域为 (1)根据函数的概念判断 3.求函数f(x)=x2-4x十6，x∈R的值域. 非空实数集A,B 函数的 作出 一对一或多对一 概念 判断 A中不能有剩余元素 (2)根据图形判断 ①任取一条垂直于x轴的直线l. 「方法总结」关于函数的三要素 ②在定义域内平行移动直线1. (1)函数的定义域即集合A,在坐标系中是横坐标 ③若直线L与图形有且只有一个交点，则是函数； x的取值范围. 若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交 (2)函数的值域并不是集合B,是函数值的集合 点，则不是函数 {f(x)x∈A),在坐标系中是纵坐标的取值范围. 活动二理解函数的三要素 (3)函数的对应关系“f”反映了自变量x的运算、 对应方法，通过这种运算，对应得到唯一的函数 阄新知导学 值y 阅读教材第62一63页，完成下列问题， 活动三构建函数问题情境 问题5一次函数y=ax十b(a≠0)，二次函数y 新知应用 =az2+bx十c(a≠0)，反比例函数y=6≠ 1.函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来： 0)的对应关系、定义域、值域分别是什么？ 的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广 泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 例如，正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画： 匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物 体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关 系等.试构建一个问题情境，使其中的变量关系 可以用解析式y=x(10一x)来描述. 551 人教A版数学必修第一册 听 母题变式：试构建一个问题情境，使其中的变量关 2.已知集合A={xx≥0}，B=R,则下列函数中 课 系可以用解析式y=10(z∈{x|x>0》来 是从A到B的为 () 记 描述。 Af9-日 B.f:开平方 1 C.f:y=x2 D.f:y-- 3.某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名， 2.构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用 变量y是该班同学的学号，变量之是该班同学 解析式y=π· 的身高，变量心是该班同学的数学考试成绩， 2元 来描述 则下列选项中正确的是 () A.y是x的函数 B.w是y的函数 C.w是之的函数 D.w是x的函数 4.（多选)对于函数y=f(x),以下说法正确的有 () 「方法总结」构建函数问题情境的步骤 (1)综合考虑构建具体的实际问题 A.y是x的函数 (2)赋予每个变量具体的实际意义， B.对于不同的x值，y值也不同 (3)根据变量关系，设计出所求的实际问题. C.函数是一种对应，是多对一或一对一 D.函数可以是一对多 课堂小结 5.若函数y=x2-3x的定义域为{-1,0,2,3}， 理解函数的概念，注意以下几点： 则其值域为 (1)A,B是非空的实数集， 6.集合A,B与对应关系f如图所示： (2)定义域是非空的实数集A,但函数的值域不一 B 定是非空实数集B,而是集合B的子集， (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯 一性. 4 (4)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一，不表示 5 y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式， 还可以是图象或表格，或其他的对应关系。 f:A→B是否为从集合A到集合B的函数？ (5)除f(x)外，有时还用g(x),u(x),F(x), 如果是，那么定义域、值域与对应关系各是 G(x)等符号表示函数. 什么？ 凸课堂达标 1.(多选)下列图形中是函数图象的是 7.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解 析式y=√x来描述. A 课后反思 、, 1156+832=1152. 当且仅当8z=3200,即工=20时，等号成立， ∴.当AB长为20cm时，纸的用量最少，最少为1152cm2 课堂达标 1.A[由题意得，不等式2x2+x一1>0，解得x<-1或x> 所以“x>号”是“2x十红-1>0”的充分不必要条件，故 1 选A.] x=九二m 3 2.B[令m=x-y,n=4x-y,则 n-4m y= 3 则=9zy=骨号m-4m<-1 5 520 8840 85 又：-1≤n≤5，-号≤含n<写，图此-1区3”-号m≤ 20.故选B.] 3A[x>1-10汉20温+号=1 +2y-1=K-1》+2(号+号）=5+兴十 x-1 +2岛·=，s且仅当兴 y x-1 2(x-1),即x=4,y=3时等号成立，故x十2y-1的最小值 y 为9. 故选A.] 4.C[由2x2y+xy2-y-8x=0知，xy(2x+y)=y+8x,又 x>0,y>0, y+2x=2+8,则y+2x2=0+2x)(日+9）-￥ y 十+-0学2层·—+10=18，s里s兰-色网 y.16x y 2y=22时等号成立， y+2x≥3V2. 故选C.] 5.BC[正实数a,6满足a+26=1a=1-2b(0<6<分）， b a b 2=4,当且仅当a=6=了时取等号，A错误： 对于B动2a+6)(必+2a+)广=a+26)r=1,当且收 当a=6=弓时取等子，B正确： 对于Ca2+262-1-2b)+26-6-40+1-66-号)月 十宁>行，当且仅当6=子时取等号，C正确： 对于D,(a+1)(b+1)=(2-2b)(1+b)=2(1-b2)∈ {21-6g<21-6)<2D错溪 故选BC.] 120 6{女-合<<-宁或号<红<4)[关于x的不学或车。 +2<0的部集为1-2K<-1或8<4<8 用一是替换工，不等式可以化为 k 十o… x 所以E号<-吉位<<小 1.1 即不等式气十经0的部集为 日<<-日g<<1门 7.解：(1)由不等式y>1的解集为{xx<-2或x>3},得x2 +(2a-2)x+b-1>0的解集为{x|x<-2或x>3}, 因此方程x2十(2a一2)x十b-1=0的两根为-2和3，则 23=2-20解得a=号6=-5， 1-2×3=b-1, 所以a=号6=一5， (2)当b=-4a时，由y≤0得x2十(2a-2)x-4a≤0， 即(x-2)(x十2a)≤0， 当a>一1时，一2a<2,解得-2a≤x≤2； 当a=一1时，一2a=2,解得x=2; 当a<-1时，一2a>2,解得2≤x≤-2a, 所以当a>-1时，原不等式的解集为{x|-2a≤x≤2}； 当a=一1时，原不等式的解集为{x|x=2}； 当a<-1时，原不等式的解集为{x2≤x≤-2a). 第三章函数的概念与性质 学案19函数的概念（一） 课堂活动 活动一用集合的语言刻画函数概念 新知导学 问题1提示：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变 量：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称 y是x的函数. 问题2提示：它们有相同的解析式，也就是对应关系.但它们 有不同的实际背景，变量的取值范围也不同. 问题3提示：是函数，由图象和表格呈现出来的变量间的对应 关系比解析式更直观、形象. 问题4提示：不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个 变量之间的对应关系；问题3是用图象刻画两个变量之间的 对应关系；问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系.共 同点：①都包含两个非空数集，分别用A,B来表示；②都有 一个对应关系；③对于数集A中的任意一个数x,按照对应 关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 新知生成 实数集任意一个数x确定唯一确定xy 新知应用 1.A[对于选项B,集合A中的元素1对应集合B中的元素 士1，不符合函数的定义；对于选项C,集合A中的元素0取 倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数 的定义；对于选项D,A集合不是数集，故不符合函数的定义， 故选A.] 2.B[对于A,图象中定义域范围有误，不符合； 对于B,满足从集合M到集合N的函数关系，符合； 对于C,图象中值域不为集合N的子集，不符合； 对于D,由函数定义域内任意一个数x有且仅有唯一函数值 与之对应，图象存在一个x对应两个y值的情况，不符合.故 选B.] 3.解：不是A到B的函数，A中的3无对应元素，2有两个对应 元素. 活动二理解函数的三要素 新知导学 问题5提示： 函数对应关系 定义域 值域 一次y=ax十b R 函数 (a≠0) 二次 y=ax2 a>0 yby≥4ae-62 4a +bx+c R 函数 (a≠0) a<0 反比例y= x {x|x≠0} 函数 {yy≠0} (k≠0) 新知应用 1.{x|一2≤x≤4或5≤x≤8}{y|一4≤y≤3}[根据y= f(x)的函数图象可以看出，f(x)的定义域为{x|一2≤x≤4 或5≤x≤8}，值域为{y|一4≤y≤3}.] 2.{1,2}[将x∈{-1,0,1}代入f(x)=x2+1,解得f(-1) =2,f(0)=1,f(1)=2,根据集合中元素的互异性，可知函数 的值域为{1,2}.] 3.解：f(x)=x2一4x十6=(x一2)2十2，因为x∈R,所以函数 f(x)的值域为{y|y≥2}. 活动三构建函数问题情境 新知应用 1.解：把y=x(10一x)看成二次函数，那么它的定义域是R,值 域是B={y|y≤25}.对应关系f把R中的任意一个数x,对 应到B中唯一确定的数x(10一x). 如果对x的取值范围作出限制，例如x∈{x|0<x<10},那 么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设一边长为x,面积为y,那么y=x(10 -x). 其中，x的取值范围是A={x|0<x<10》,y的取值范围是B ={y|0<y≤25).对应关系f把每一个长方形的边长x,对 应到唯一确定的面积x(10一x). 母题变式：解：直角三角形的面积为5，设一条直角边长为x,另 一条直角边长为)，那么y=9共中，江的取值范国是A {xx>0},y的取值范围是B=(y|y>0).对应关系∫把每 一个直角三角形的一条直角边长x,对应到唯一确定的另一 条直角边长10 2.解：y=π· (赁)°-，这是一个二次画教，共定义为 R,值域为{y|y≥0}. 对应关系f是把R中的任意一个实数x,对应到唯一确定的 如果对变量x的取值范围作出限制，令x>0,那么可构建如 下情境： 如果一个圆的周长为x,它的面积为y, 事么·（层 其中x的取值范围是A={x|x>0},y的取值范围是B={y y>0}. 对应关系f是把每一个圆的周长x,对应到唯一确定的面积 课堂达标 1.BCD[A选项的图象中至少存在一处，如x=0,对应两个y 值，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元 素不唯一，故A不是函数图象，选项B,C,D均符合函数 定义.] 2.C[对选项A,对于集合A中的数0，在集合B中没有数与 它对应，所以此对应不是从A到B的函数；对选项B,对于集 合A中的数4，因为4的平方根为士2，所以在集合B中有两 个数与它对应，因此此对应不是从A到B的函数；对选项C, 符合函数概念；对选项D,对于集合A中的数0，在集合B中 没有数与它对应，所以此对应不是从A到B的函数.综上 选C.] 3.B[对于A,D,由于同学姓名非数字，故A,D错误；对于B, 任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩 也是唯一确定的，故B正确；对于C,假设班级中有两位身高 相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成 绩，故C错误.故选B.门 4.AC[由函数的定义知，y是x的函数，故A正确；对于不同 的x值，y值可以相同，例如y=|x|,当x值为1和一1时，y 值均是1，故B错误；由函数的定义知，函数是一种对应，是多 对一或一对一，不是一对多，故C正确，D错误.门 5.{-2,0,4}[将x∈{一1,0,2,3}代入y=x2-3x中，解得 函数的值域是{一2,0,4}.] 6.解：由图知，对于A中的任意一个数，B中都有唯一确定的数 与之对应， 所以∫：A→B是从集合A到集合B的函数. 定义域是A={1,2,3,4,5},值域为C={2,3,4,5},对应关系 f为题图 7.解：设面积为x的正方形的边长为y,则y=√x,定义域为{x x>0},值域为{y|y>0). 学案20函数的概念（二） 课堂活动 活动一掌握用区间来表示数集 新知生成 (1)[a,b](a,b)[a,b)(a,b](2)(-∞，+∞)[a,+∞) (a,+∞)(-∞，a](-∞，a) 新知应用 解：(1){x|x≥-1}=[-1，十∞). (2){xx<0}=（-∞，0). (3){x|-1<x<1}=(-1,1). (4){x|-2<x≤2且x≠0}=(-2,0)U(0,2]. 21