学案18 复习课一元二次函数，方程和不等式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

5.解：x2十ax十b<0的解集为{x|1<x<2}, .方程x2+ax十b=0的两根为1,2. 由根与系数的关系得 a1+2解得a=-3, b=1×2, 16=2, 代入所求不等式，得2x-3z十1>0，解得<合或>1 1 6r2+ax+1>0的解集为{zz<2或x>1: 6.解：设每件售价x元， 则02z-15)7≥40，麻释1520， 所以销售价格最高是20元. 学案18复习课一元二次函数、 方程和不等式 课堂活动 活动二理解不等关系与不等式的性质 新知应用 1.A[因为a<b<0,所以a<0<-b<4-b.当a=-2,b= 一1时不满足选项B,C,D.故选A.] 2.D[因为M=a2+4a+1,N=2a-z,所以M-N=a2+ 4a+1-(a-号）=a2+2a+号=a+12+2>0,所以 M>N.故选D.] 3.{ab|-6<ab<一2}[因为-2<b<一1，所以1<一b<2, 又因为2<a<3,所以2<一ab<6, 所以-6<ab<-2.] 活动三认识基本不等式及其简单应用 新知应用 1.BC[对于A,B,由x2+y2-xy=1,可得(x+y)2-3xy= 1,而xy≤十y) 4 即1≥(x+y)2-3x十y)2_(z+y）2 4 4 所以(x十y)2≤4，所以一2≤x十y≤2，故A错误，B正确； 对于C,D,由x2十y2-xy=1,得 +y-1=w 所以x2十y2≤2，故C正确，D错误.故选BC.] 2.BD[对于A,知米z<0,那么y=z十<0，最小值是2不 成立，故A错误； 对于B,如果x>0,y>0,x十3y十xy=9,则9=x十3y十xy ≥2W3√xy十xy,整理得（√xy)2+2√3√xy-9≤0， 解得0<√cy≤5，当且仅当y=1,x=3时取等号，所以xy 的最大值为3，故B正确； 对于C画数y=+点=中十】 ≥2，当且仅 √x2+4 W√/x+4 当x2十4=1时取等号，此时x无解，故不能取到最小值2，故 C错误； 对于D,如果a>0,b>0,且1 a十1十1+6=1，那么a+b=(a+ 1 D+6+)-2=[a+1D+6+1×(+6)-2= (+1++開》-22+2需-2=2当且收当 /b+1a+1 a=1,b=1时取等号，故D正确.] 3.:≤-弓或≥1[依题毫x>0,y>0,x+2y十y-7 =0,y(x十2)=7-x,y= +含0 解得0<工<7，则xy-x=2·十x=二2十5x x+2 =-2x(x+2)+9(x+2)-18 x+2 =-2x-18 z+2+9=-2(x+2)-18。 2+2+13 =[+8+]+2x2a+0 +2+13=1, 当且收多2+2早2即1时学专成主 所以3t2-2≥1,3t2-2-1=(t-1)(3t+1)≥0， 解得≤-子或≥1.] 活动四求解一元二次不等式及参数问题 新知应用 1.A[解不等式日>可得0<a<4, 对于命题q,当a=0时，命题显然成立； 当a≠0时，有8=0-<0，形 。解得0<a<4, 即命题q为真时0≤a<4, 故力成立是q成立的充分不必要条件. 故选A.门 2.{k|-6<k<6}[:关于x的不等式x2+kx十9>0的解集 为R,∴△=k2-4X9<0,解得-6<k<6,.实数k的取值 范围为{k|一6<<6}.] 3.解：(1)由不等式解集为{x|x≠b}得方程ax2-4x+2=0仅 有一解，由△=0得a=2, 从而b=1. （2)原不等式可以变形为≥0，所以 ①当=时，原不等支的解条为：子号引： 四当6>2时，原不等式的解集为<号或≥小： @当<号时，原不等式的解臭为：<成>号} 活动五用不等式解决实际问题 新知应用 解：(1)依题意可得(20+2a)(30+4a)≤1000， 即2a2+35a-100≤0， 解得-20≤a≤2.5. 又.a>0, .0<a≤2.5， 故a的取值范围为{a|0<a≤2.5}. (2)记宣传海报的面积为S,设AB=xcm,则BC=800。 -cm, ∴5=(+4(820+8）=8x+3200+832≥2√8r32 191 +832=1152. 当且仅当8z=3200,即工=20时，等号成立， ∴.当AB长为20cm时，纸的用量最少，最少为1152cm2 课堂达标 1.A[由题意得，不等式2x2+x一1>0，解得x<-1或x> 所以“x>号”是“2x十红-1>0”的充分不必要条件，故 1 选A.] x=九二m 3 2.B[令m=x-y,n=4x-y,则 n-4m y= 3 则=9zy=骨号m-4m<-1 5 520 8840 85 又：-1≤n≤5，-号≤含n<写，图此-1区3”-号m≤ 20.故选B.] 3A[x>1-10汉20温+号=1 +2y-1=K-1》+2(号+号）=5+兴十 x-1 +2岛·=，s且仅当兴 y x-1 2(x-1),即x=4,y=3时等号成立，故x十2y-1的最小值 y 为9. 故选A.] 4.C[由2x2y+xy2-y-8x=0知，xy(2x+y)=y+8x,又 x>0,y>0, y+2x=2+8,则y+2x2=0+2x)(日+9）-￥ y 十+-0学2层·—+10=18，s里s兰-色网 y.16x y 2y=22时等号成立， y+2x≥3V2. 故选C.] 5.BC[正实数a,6满足a+26=1a=1-2b(0<6<分）， b a b 2=4,当且仅当a=6=了时取等号，A错误： 对于B动2a+6)(必+2a+)广=a+26)r=1,当且收 当a=6=弓时取等子，B正确： 对于Ca2+262-1-2b)+26-6-40+1-66-号)月 十宁>行，当且仅当6=子时取等号，C正确： 对于D,(a+1)(b+1)=(2-2b)(1+b)=2(1-b2)∈ {21-6g<21-6)<2D错溪 故选BC.] 120 6{女-合<<-宁或号<红<4)[关于x的不学或车。 +2<0的部集为1-2K<-1或8<4<8 用一是替换工，不等式可以化为 k 十o… x 所以E号<-吉位<<小 1.1 即不等式气十经0的部集为 日<<-日g<<1门 7.解：(1)由不等式y>1的解集为{xx<-2或x>3},得x2 +(2a-2)x+b-1>0的解集为{x|x<-2或x>3}, 因此方程x2十(2a一2)x十b-1=0的两根为-2和3，则 23=2-20解得a=号6=-5， 1-2×3=b-1, 所以a=号6=一5， (2)当b=-4a时，由y≤0得x2十(2a-2)x-4a≤0， 即(x-2)(x十2a)≤0， 当a>一1时，一2a<2,解得-2a≤x≤2； 当a=一1时，一2a=2,解得x=2; 当a<-1时，一2a>2,解得2≤x≤-2a, 所以当a>-1时，原不等式的解集为{x|-2a≤x≤2}； 当a=一1时，原不等式的解集为{x|x=2}； 当a<-1时，原不等式的解集为{x2≤x≤-2a). 第三章函数的概念与性质 学案19函数的概念（一） 课堂活动 活动一用集合的语言刻画函数概念 新知导学 问题1提示：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变 量：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称 y是x的函数. 问题2提示：它们有相同的解析式，也就是对应关系.但它们 有不同的实际背景，变量的取值范围也不同. 问题3提示：是函数，由图象和表格呈现出来的变量间的对应 关系比解析式更直观、形象. 问题4提示：不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个 变量之间的对应关系；问题3是用图象刻画两个变量之间的 对应关系；问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系.共 同点：①都包含两个非空数集，分别用A,B来表示；②都有 一个对应关系；③对于数集A中的任意一个数x,按照对应 关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 新知生成 实数集任意一个数x确定唯一确定xy 新知应用 1.A[对于选项B,集合A中的元素1对应集合B中的元素 士1，不符合函数的定义；对于选项C,集合A中的元素0取学案18 复习课 一刀 昆学习任务 1.查阅教材，建构单元知识体系 2.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价 3.掌握求解一元二次不等式的方法，并解决一些 4.认识基本不等式及其简单应用， 5.体会不等式、方程及函数之间的关系 课堂活动 话动一查阅教材，建构单元知识体系 用不等式表 示不等关系 相等关 系与不 等关系 不等式 证明不等式 的基本 性质 比较]作差法 次 大小作商法 数 基本不 瓜≤些 比较大小 等式 求最值 (a>0,b>0) 方 证明不等式 程 二次函 元二次函数及其零点 不 数与 元二次不 三个“二次” 元二次 等式的解法 的关系 方程、 不等式 元二次不等式的应用 活动二理解不等关系与不等式的性质 今新知应用 1.已知a<b<0,下列不等式中成立的是() A.a<4-6 88、 C.a2<62 11 D.< 2已知M=a+a+1,N=2a-号，则M与N 的大小关系是 A.M≤N B.M<N C.M≥N D.M>N 3.已知2<a<3,-2<b<-1,则ab的取值范围 为 「方法总结」应用不等式的基本性质时，不能忽 视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关 不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提 高解题的效率. 复习课一元二次函数、方程和不等式学案18 二次函数、方程和不等式 听 课 记 值. 实际问题. 活动三认识基本不等式及其简单应用 今新知应用 1.(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+ y2-xy=1,则 ( A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y≥1 2.(多选)下列结论中正确的是 ( A+的最小值是2 B.如果x>0,y>0,x+3y十xy=9,那么xy 的最大值为3 C.函数y= +5的最小值为2 x2+4 1,1 D.如果a>0,b>0,且。十十6千=1，那么a 十b的最小值为2 3.已知正实数x,y满足x十2y十xy一7=0，且 3t2-2t≥xy-x恒成立，则t的取值范围 是 「方法总结」利用基本不等式求最值时，要注意 其必须满足的三个条件 (1)“一正”即各项必须为正数. (2)“二定”即要求和的最小值，必须把构成和的二 项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构 成积的因式的和转化成定值. (3)“三相等”即利用基本不等式求最值时，必须验！ 证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就 不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方， 5110 人教A版数学必修第一册 听 活动四求解一元二次不等式及参数问题 课 今新知应用 记 1L已知命题p:>命题g:Vx∈Kar十at +1>0,则p成立是q成立的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.关于x的不等式x2+kx+9>0的解集是R, 则实数的取值范围是 3.已知关于x的不等式ax2一4x+2>0的解集 为{x|x≠b}. (1)求实数a,b的值； (2②)解关于x的不等式，6≥0.c为常数) !「方法总结」一元二次不等式的解法充分体现 !了三个“二次”之间的内在联系，解此相关问题应 !把握三个关键点：一是图象的开口方向，二是是否 有根，三是根的大小关系.把握好以上三点，由数 :形结合给出相应解集即可，对于由此知识点派生 !出的恒成立问题，数形结合求解便可. 1152 活动五用不等式解决实际问题 新知应用 为更好地开展高一社团活动，某校学生会各部 门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制 作了各式各样的宣传海报供各个部门使用.如 图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形 ABCD)为P(单位：cm),根据设计要求，它的 两边都留有宽为a(单位：cm)的空白，顶部和底 部都留有宽为2a(单位：cm)的空白. D 2a C 2a B (1)若AB=20cm,BC=30cm,且该海报的面 积不超过1000cm2,求a的取值范围： (2)若a=2cm,P=800cm2,则当AB长多少 时，才能使纸的用量最少？ 「方法总结」利用不等式解决实际问题的一般 步骤 (1)理解题意，设出变量，注意变量范围. (2)建立不等关系式，将实际问题抽象为数学 问题。 (3)在变量范围内利用基本不等式求最值或解不 等式。 (4)还原为实际问题，写出正确答案. 七课堂达标 1设x∈R,则>2”是2计-10的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知实数x,y满足-4≤x一y≤-1，一1≤ 4x一y≤5，则9x一y的取值范围是() A.{9x-y|-7≤9x-y≤26} B.{9x-y|-1≤9x-y≤20} C.{9x-y|4≤9x-y≤15)} D.{9x-y|1≤9x-y≤15} 3.已知x>1y>0,且1 十1，则x+2y 的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.7+2√6 4.已知x>0,y>0满足2x2y十xy2-y-8x= 0,则y十2x的最小值为 A.22B.4 C.32 D.√2 5.(多选)若正实数a,b满足a十2b=1,则() A经+方的故个佰为1+22 B.3b(2a+b)的最大值为1 Ca+20的最小值为号 D.(a+1)(b十1)的取值范围为1<(a十1)(b +1)<2 课后反思 复习课一元二次函数、方程和不等式学案18 6.研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx十c听 >0的解集为{x|1<x<2},解关于x的不等课 式cx2一bx十a>0”,有如下解法：由ax2一bx 记 +>0>a-6）十（日）>0.令)2则得 到y3<y<1,所以不等式cx2-x十a>0 的解集为女2<x<1.类比上述解法，已知 关于x的不等式十c十b x十a x十c <0的解集为{x! 一2<x<一1或2<x<3},则关于x的不等式 kx bx-1 ax-1+c2-1<0的解集为 7.已知函数y=x2+(2a-2)x十b. (1)若不等式y>1的解集为{x|x<-2或x> 3},求a,b的值； (2)若b=一4a,求不等式y≤0的解集. 1 提示〉请完成《章未综合测评（二）》 5310