学案17 一元二次不等式的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 课 学案17一元二次不等式的应用 记 昆学习任务 1.熟练掌握分式不等式的解法.（数学运算） 2.理解一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式之间的关系.（数学抽象） 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题.（数学建模） 课堂活动 (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不 等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化 活动一掌握分式不等式的解法 为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法 阄新知导学 求解 活动二理解三个“二次”之间的关系 问题1 十≥0与(x-2)(x+1)>0等价吗2 +≥0与(x-2)(x十1D≥0等价吗？ x2、 阄新知导学 阅读教材第51页的表2.3-1，完成下列问题. 问题3若关于x的一元二次不等式ax2十bx十 c>0的解集为R,则a,b,c满足什么关系？ ax2+bx+c<0呢？ 问题2 如果心二2 十1>0，怎么求解？ 新知应用 解下列不等式： (1)之+1 Vx3≥02)2x3≤1 新知应用 1.(多选)若关于x的一元二次不等式ax2+bx十 c>0(a,b,c∈R)的解集为{x-2<x<3},则 () A.a>0 B.bc>0 C.a+b=0 D.a-b+c>0 2.已知关于x的不等式kx2一6kx十k十8≥0 !「方法总结」分式不等式的解法 对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为 ( 元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注 A.0≤k≤1 B.0<k≤1 !意等价变形，保证分母不为零 C.k<0或>1 D.k≤0或k>1 1148 一元二次不等式的应用学案17 3.已知关于x的不等式ax2+bx十c>0的解集 活动三用一元二次不等式解决实际问题 听 为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx 阄新知导学 笔 十a<0的解集. 阅读教材第53一54页，完成下列问题. 问题4在教材的例4中，变量x和y分别表示 什么含义？解决的数学问题是什么？ 新知应用 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，， 母题变式：本题中的条件不变，求关于x的不等 并每100元纳税10元（又称征税率为10个百分 式cx2-bx+a>0的解集， 点)，计划可收购a万担.政府为了鼓励收购公司 多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0) 个百分点，预测收购量可增加2x个百分点， (1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税 收的83.2%，试确定x的取值范围. 「方法总结」1.从不等式ax2+bx十c>0的解 集中可以获取以下信息： (1)二次项系数的符号. (2)参数a,b,c之间的关系。 2.不等式ax2+bx十c>0的解集是实数集（或恒 成立)的条件是：当a=0时，b=0,c>0;当a≠0 a>0, 时， 「方法总结」利用不等式解应用题的步骤 △<0. 阅读理解，认真审题，把握问 3.不等式ax2+bx十c<0的解集是实数集（或恒 读日 题中的关键量，找准不等关系 成立)的条件是：当a=0时，b=0,c<0;当a≠0 将文字语言转化为符号语言， 用不等式表示不等关系，建 a<0, 立相应的数学模型 时∠0. 解不等式，得到数学结论， 要注意数学模型中元素的实 际意义 注意：不等式是二次型，但不一定是二次，一定要 回归实际问题，将数学结论还 讨论二次项系数为零时是否成立. 原为实际问题的结果 491 人教A版数学必修第一册 3.(多选)下列结论错误的是 课堂小结 ( 课 A.若函数y=ax2+bx+c(a≠0)对应的方程 记 没有根，则不等式ax2+bx十c>0的解集 元二次不等 用一元二次不等 式恒成立问题 式解决实际问题 为R 一元二次不 B.不等式ax2十bx十c≤0(a≠0)在R上恒成 等式的应用 立的条件是a<0且△=b2-4ac≤0 C.若关于x的不等式a.x2+x一1≤0的解集为 简单的分式不 等式的解法 三个二次” R,则a≤- 1 D.不等式1>1的解集为(xx<1》 课堂达标 4.已知函数y=ax2+4x十3，若关于x的不等式 1.若关于x的一元二次方程kx2一x+1=0有实 ax2+4x+3>0的解集为{x|b<x<1},则a= 数根，则的取值范围是 ( ,b= A>号 B长<且60 5.已知关于x的不等式x2十ax十b<0的解集为 C.k<且负+0 D.<司 {x|1<x<2},求关于x的不等式bx2+ax+1 >0的解集。 2.不等式ax2-bx十c>0的解集为 {x|-2<x<1},则函数y=ax2-bx十c的图 象大致为 6.某商店购进一批玩具魔方，若按每个15元的价 格销售，每天能售出30个；若售价每提高1元， 日销售量则减少2个.为了使这批魔方每天的销 售总收入不低于400元，销售价格最高是多少？ 课后反思 1150(3)当△>0，即a>4或a<-4时，方程2x2+ax十2=0的 两个根为 x=(-a-V后6)函=号(-a十v层=6). 此时原不等式等价于(x一x1)(x一x2)>0, .x<x1或x>x2· 综上，当一4<a<4时，原不等式的解集为R; 当a=一4时，原不等式的解集为{x|x≠1〉； 当a>4或a<一4时，原不等式的解集为 {女<(-a-V后5)成x>(-a+v后-i): 当a=4时，原不等式的解集为{x|x≠一1}， 4.解：(1)当a=0时，原不等式为一x十2>0，解得x<2； (2)当a≠0时，原不等式为(ax一1)(x一2)>0， ①当0<a<号时，日>2，解不等式(ax-1Dz-2)>0,可得 x<2或x>1, a ②当a=合时，原不等式即为分（红-2）>0，解得z≠2： ③当a>2时，0<<2，解不等式(ax-1)红-2>0，可得 a ④当a<0时，解不等式(ax-1)(x-2)>0,可得1<x<2. 综上所速，当a<0时，原不等式的解案为口日<<2： 当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}; 当0a<时， 原不等式的解为口x<2成>}： 1 当a=2时，原不等式的解集为{xz≠2： 当。>时原不等式的解条为：<日或> a 课堂达标 1.A[只有③是一元二次不等式，故选A.] 2.C[因为N={xx2-x-6≥0}={xx≥3或x≤-2)，所 以M∩N={一2}，故选C.] 3.A[根据题意，方程2x2-5x-7=0的极为x1=-1,x2= 所以不等或2x-5x-7<0的解条是{女-1K<号引门 7 4.B[因为(1-x)(2十x)>0→(x-1)(x十2)<0，解得-2< x<1,所以不等式的解集为{x|一2<x<1}.故选B.] 6,解：1)不等式x2-x+子<0，即为(-2)广<0，所以原不 等式的解集为⑦」 (2)不等式一2x2十x≤一3，即为2x2一x-3≥0， 则(2x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥之， 3 所以原不等式的部集为一-1或≥引 (3)x2-3x十4>0其相应方程x2-3x十4=0的判别式△= (-3)2-4×4=-7<0, 所以不等式x2一3x十4>0的解集为R. 7.解：由ax(x一1)=0得x1=0,x2=1. (1)若a>0,此时不等式的解集为{xx<0或x>1}; (2)若a=0,此时不等式的解集为⑦； (3)若a<0,此时不等式的解集为{x0<x<1}. 学案17一元二次不等式的应用 课堂活动 活动一掌握分式不等式的解法 新知导学 问题1提示子0与红-2x+1≥0等价： C+≥0与(x-2)(x十1)≥0不等价，前者的解集中没有 x-2 一1，后者的解集中有一1. 问题2提示：可以转化为不等式组或转化为一元二次不等式 (x-2)(x+1)>0. 新知应用 解：(1)不等式≥0可转化成不等或组 1(z十1)x-3)≥0解得x≤-1或x>3. x≠3， 即原不等式的解集为{x|x≤一1或x>3}. 2网为名 所以10， 一x十4≤0， 所以2x一3 则(4一x)(2x一3)≤0且2x≠3. 所以x-0(e-2)≥0且x≠名， 3 从而x<2或x之4. 故原不等式的解桑为{女2<号或≥4 活动二理解三个“二次”之间的关系 新知导学 问题3提示：一个一元二次不等式恒成立，即是解集为R a>0, ax2+bx+c>0恒成立台 '类比得ax2+bx十c<0恒 △<0， a<0, 成立台 △<0. 17 新知应用 1,BCD[对于A,由题意，结合二次函数y=ax2十bx十c的图 象（图略）知，抛物线开口应向下，则Q<0,故A错误； 对于B,依题意，a<0,且一元二次方程ax2+bx+c=0的两 根为一2和3， b -2+3= a 由根与系数的关系，得 故b=一a>0,c= -2X3=￡ a -6a>0,即bc>0,故B正确； 对于C,由B项分析可得a十b=0,故C正确； 对于D,由B项分析可得a一b十c=a一（一a)十（一6a)= 一4a>0,故D正确. 故选BCD.] 2.A[当k=0时，不等式为8≥0恒成立，符合题意； 当k>0时，若不等式kx2一6kx十k十8≥0对任意x∈R恒 成立， 则△=36k2-4k(k十8)≤0，解得0<k≤1； 当k<0时，不等式kx2一6kx十k十8≥0对任意x∈R不恒 成立. 综上，k的取值范围是0≤k≤1.] 3.解：由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},可知a <0,且2和3是方程ax2十bx十c=0的两根，由根与系数的 民系可知=-5,96，由a<0知c<0,6三日，故不 等式cx+b虹+a<0,即x2+名x+2>0,即r2-5z -6x+6 >0,解得x<号或x>日所以不等式d+征+a<0的解集 1 母题变式：解：由根与系数的关系知名=一5 c=6且a<0. a c<0, =-6,故不等式cx2-bx十a>0, 5 即x2、6 名+<0，2+x+日<0， c 解得-<<-日 1 故不式的每袅为<红<-》 活动三用一元二次不等式解决实际问题 新知导学 问题4提示：x表示流水线生产的摩托车数量，y表示生产x 辆摩托车创造的价值.数学问题是解一元二次不等式，并且x 是正整数 新知应用 解：(1)降低税率后的税率为(10一x)%,农产品的收购量为 a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%)万元.依题意 得y-20a1+2x0(10-x)%=0a10+2x)(10 x)(0<x<10). 118 (2)原计划税收为200aX10%=20a(万元). 1 依题意得50a(10+2.x)(10-x)≥20a×83.2%, 化简得x2十40x一84≤0， 解得一42≤x≤2. 又因为0<x<10,所以0<x≤2. 即x的取值范围为{x|0<x≤2}. 课堂达标 1.C[关于x的一元二次方程kx2一x十1=0有实数根，则 k≠0， 解得≤人且k≠0 1-4k≥0， 所以皮的取值范周是≤行且≠0， 故选C.] 2.A[因为ax2-bar十c>0的解集为{x|-2<x<1}, 所以方程a.x2-bx十c=0的两根分别为-2和1，且a<0, -2+1=6, ,b=-a, 则 变形可得 (-2)×1= c=-2a, a’ 故函数y=ax2-bx十c=ax2十ax-2a=a(x+2)(x一1)的图 象开口向下， 且与x轴的交，点坐标为(1,0)和（一2,0），故A选项的图象 符合. 故选A.] 3.AD[对于A,函数y=ax2十bx十c(a≠0)不存在零点，若a >0,则不等式ax2十bx十c>0的解集为R,若a<0,则不等 式a.x2十bx十c>0的解集为空集，A错误； 对于B,由条件得不等式ax2+bx十c≤0(a≠0)对应的二次 函数图象开口向下，所以a<0, 且函数图象与x轴至多有一个交点，故△=b2-4ac≤0，B 正确； 对于C,当a=0时，不等式x一1≤0的解集为{x|x≤1}，显 然不符合题意，当a卡0时，由二次函数的性质知 |a<0, (△=1+4a≤0， 解得a≤-4，C正确； 对于D,化不等式>1为分式不等式1二>0，解得0<< 1,D错误.] 4.-7-弓[由关于x的不等式ax2+4虹十3>0的解集为 {x|b<x<1}, 可得对应方程ax2十4x十3=0的两个根为1和b, 将x=1代入方程可得a十4十3=0，解得a=一7， 所以原不等式可化为一7x2十4x十3>0， 3 即(7x+3)(x-1)<0,解得-7<x<1, 所以6=一] 5.解：x2十ax十b<0的解集为{x|1<x<2}, .方程x2+ax十b=0的两根为1,2. 由根与系数的关系得 a1+2解得a=-3, b=1×2, 16=2, 代入所求不等式，得2x-3z十1>0，解得<合或>1 1 6r2+ax+1>0的解集为{zz<2或x>1: 6.解：设每件售价x元， 则02z-15)7≥40，麻释1520， 所以销售价格最高是20元. 学案18复习课一元二次函数、 方程和不等式 课堂活动 活动二理解不等关系与不等式的性质 新知应用 1.A[因为a<b<0,所以a<0<-b<4-b.当a=-2,b= 一1时不满足选项B,C,D.故选A.] 2.D[因为M=a2+4a+1,N=2a-z,所以M-N=a2+ 4a+1-(a-号）=a2+2a+号=a+12+2>0,所以 M>N.故选D.] 3.{ab|-6<ab<一2}[因为-2<b<一1，所以1<一b<2, 又因为2<a<3,所以2<一ab<6, 所以-6<ab<-2.] 活动三认识基本不等式及其简单应用 新知应用 1.BC[对于A,B,由x2+y2-xy=1,可得(x+y)2-3xy= 1,而xy≤十y) 4 即1≥(x+y)2-3x十y)2_(z+y）2 4 4 所以(x十y)2≤4，所以一2≤x十y≤2，故A错误，B正确； 对于C,D,由x2十y2-xy=1,得 +y-1=w 所以x2十y2≤2，故C正确，D错误.故选BC.] 2.BD[对于A,知米z<0,那么y=z十<0，最小值是2不 成立，故A错误； 对于B,如果x>0,y>0,x十3y十xy=9,则9=x十3y十xy ≥2W3√xy十xy,整理得（√xy)2+2√3√xy-9≤0， 解得0<√cy≤5，当且仅当y=1,x=3时取等号，所以xy 的最大值为3，故B正确； 对于C画数y=+点=中十】 ≥2，当且仅 √x2+4 W√/x+4 当x2十4=1时取等号，此时x无解，故不能取到最小值2，故 C错误； 对于D,如果a>0,b>0,且1 a十1十1+6=1，那么a+b=(a+ 1 D+6+)-2=[a+1D+6+1×(+6)-2= (+1++開》-22+2需-2=2当且收当 /b+1a+1 a=1,b=1时取等号，故D正确.] 3.:≤-弓或≥1[依题毫x>0,y>0,x+2y十y-7 =0,y(x十2)=7-x,y= +含0 解得0<工<7，则xy-x=2·十x=二2十5x x+2 =-2x(x+2)+9(x+2)-18 x+2 =-2x-18 z+2+9=-2(x+2)-18。 2+2+13 =[+8+]+2x2a+0 +2+13=1, 当且收多2+2早2即1时学专成主 所以3t2-2≥1,3t2-2-1=(t-1)(3t+1)≥0， 解得≤-子或≥1.] 活动四求解一元二次不等式及参数问题 新知应用 1.A[解不等式日>可得0<a<4, 对于命题q,当a=0时，命题显然成立； 当a≠0时，有8=0-<0，形 。解得0<a<4, 即命题q为真时0≤a<4, 故力成立是q成立的充分不必要条件. 故选A.门 2.{k|-6<k<6}[:关于x的不等式x2+kx十9>0的解集 为R,∴△=k2-4X9<0,解得-6<k<6,.实数k的取值 范围为{k|一6<<6}.] 3.解：(1)由不等式解集为{x|x≠b}得方程ax2-4x+2=0仅 有一解，由△=0得a=2, 从而b=1. （2)原不等式可以变形为≥0，所以 ①当=时，原不等支的解条为：子号引： 四当6>2时，原不等式的解集为<号或≥小： @当<号时，原不等式的解臭为：<成>号} 活动五用不等式解决实际问题 新知应用 解：(1)依题意可得(20+2a)(30+4a)≤1000， 即2a2+35a-100≤0， 解得-20≤a≤2.5. 又.a>0, .0<a≤2.5， 故a的取值范围为{a|0<a≤2.5}. (2)记宣传海报的面积为S,设AB=xcm,则BC=800。 -cm, ∴5=(+4(820+8）=8x+3200+832≥2√8r32 191