学案16 一元二次不等式的解法-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

一元二次不等式的解法 学案16 学案16一元二次不等式的解法 听 昆学习任务 记 1.从实际情境中抽象出一元二次不等式，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表 示一元二次不等式的解集.（数学抽象、数学运算） 2.理解函数的零点与方程的根的关系，借助一元二次函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方 程的联系.（直观想象) 3.通过具体实例的归纳与概括得到用函数方法求一元二次不等式解集的基本过程，能求解一元二次 不等式.（数学运算） 课堂活动 活动二求解一元二次不等式 话动一理解一元二次不等式的概念 阄新知导学 阄新知导学 阅读教材第50一53页，完成下列问题. 问题3画出一元二次函数y=x2一12x十20的 阅读教材第50页问题，完成下列问题. 图象，并解答下列问题. 问题1如果设矩形一边长为x,此问题中得到 (1)当y=0,即x2-12x十20=0时，求x的 的不等关系是什么？ 取值； (2)当y>0,即x2一12x+20>0时，求x的取 值范围； 问题2此不等式有什么特征吗？ (3)当y<0,即x2-12x+20<0时，求x的取 值范围. 同新知生成 一般地，我们把只含有未知数，并且未知数 的最高次数是 的不等式，称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是 厅新知生成 ,其中a,b,c均为常数， 1.二次函数的零点 一般地，对于二次函数y=ax2十bx十c,我们把 新知应用 叫做二次函数y=a.x2十bx十c 下列所给不等式一定是一元二次不等式的有 的零点. (填序号) 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应 ①2x2-1≥0；②x2-3x<0;③3x2+2x-1>0; 关系 ④x2+1<0:⑤ax2+5x+6>0. 项目 △>0 △=0 △<0 「方法总结」一元二次不等式是只含一个未知 y =ax2 +bx+c 数且未知数的最高次数是2的不等式，有时我们 (a>0) x0x2 0x1=%3X 把含多个字母的不等式中指明未知数，其余字母 的图象 看成相关的参数. 451 人教A版数学必修第一册 续表 2.求不等式-x2+2x一3>0的解集， 课笔 ax2+bx 有两个不相 有两个相等的 +c=0 等的实数根 实数根x1= 没有实 (a>0) x1,x2（x1 b 数根 的根 <x2) x2=一 2a 「方法总结」解不含参数的一元二次不等式的 ax2+bx 一般步骤 +c>0 (1)化标准.通过对不等式变形，使不等式右侧为 (a>0) 0,使二次项系数为正， 的解集 (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解， 则计算对应方程的判别式 ax2+bx (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据 +c<0 (a>0) 判别式说明方程有无实根， 的解集 (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应 的二次函数的草图. [微提醒 (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△ 角度2含参数的一元二次不等式的解法 =b2-4ac,它的根按照△>0，△=0，△<0可分为 3.解关于x的不等式2x2+ax+2>0. 三种情况.相应地，二次函数y=ax2十bx+c (a>0)的图象与x轴的位置关系也分为三种情 况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次 不等式a.x2+bx十c>0(a>0)和ax2+bx+c<0 (a>0)的解集. 4.设a∈R,解关于x的不等式ax2一(2a十1)x+ 问题4追问：在初中，我们学习了从一次函数的观 2>0. 点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法 类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等 式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以 问题3中的一元二次函数y=x2一12x十20与一 元二次不等式x2一12x+20<0为例进行说明. 「方法总结」解含参数的一元二次不等式的一 般步骤 讨论二次 二次项若含有参数，应讨论其是等于0， 小于0，还是大于0，然后将不等式转化 新知应用 项系数 为二次项系数为正的形式 角度1不含参数的一元二次不等式的解法 判断方程 判断方程的根的个数，讨论判别式△ !1.求不等式9x2-6x+1>0的解集 根的个数 与0的关系 确定无根时可直接写出解集确定方 写出解集 程有两个根时，要讨论两根的大小关 系，从而确定解集形式 1146 一元二次不等式的解法学案16 注意：对参数进行分类讨论的每一种情况是相互 3.不等式2x2-5x一7<0的解集是 听 独立的一元二次不等式的解集，不能合并， A.a -1<x<引 课 课堂小结 记 B{<-1或>号 利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式 的过程.这里，我们以求解可化为ax2十bx十 c{x<- 或公 c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其 n--1 求解过程. 4.不等式(1-x)(2+x)>0的獬集为 ( A.{xx<-2,或x>1} 将原不等式化成a2+bx+c>0(a>0)的形式 计算4=b2-4ac的值 B.{x|-2<x<1} 4>0 △=0 4<0 C.{xx<1,或x>2} 方程ax2+bx+c-0有两方程ar2+h+-0有两 个不相等的实数根，个相等的实数根 方程ax2+bx+c-0 D.{x|-1<x<2} 解得xx,化<x) 解得x,=x2a 没有实数根 5.二次函数y=16x2-8x十1的零点是 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解 h<x或x>x} t≠-多a 集为R 6.解下列不等式： 1x-z+<0: 课堂达标 (2)-2x2+x≤-3； 1.已知下列不等式：①ax2+2x+1>0;②x2-y (3)x2-3x+4>0. >0;③一x2一3x<0.其中一元二次不等式的 个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.0 7.解不等式ax(x-1)>0. 2.(2023·新高考I卷)已知集合M={-2,-1, 0,1,2},N={xlx2-x-6≥0}，则M∩N= ( A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2) 课后反思 471当且仅当12=一4红，即工=-5时取等号. -x 即12+4红≤-85 当x<0时，2+4红的最大值为-8v. 4解：x>0,+>0, 2 =x++ 1 1 x+2x+1=x+ 12 x十2 x十2 x十2 1 当且仅当x十之 1 x十2 即x=己时，等号成立， 因此x十2的最小值为号 2 5解：>0，由惑本不学式可得2-3证-兰-2 (3x+)）<2-2√3x车=2-45， x 当且仅声3红=即x=2时，等号成主 x 因此2-3x-4的最大值是2-45. 学案16一元二次不等式的解法 课堂活动 活动一理解一元二次不等式的概念 新知导学 问题1提示：(12-x)x>20,其中0<x<12,即x2一12x+20 <0,x∈{x0<x<12}. 问题2提示：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2. 新知生成 -个2a.x2+bx+c>0或a.x2+bx+c<0a≠0 新知应用 ①②③ 活动二求解一元二次不等式 新知导学 问题3提示：(1)x1=2,x2=10. (2)当x<2或x>10时，函数图象位于x轴上方，此时y> 0,即x2-12x+20>0. (3)当2<x<10时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即 x2-12x+20<0. y=x2-12x+20 104 5 025101520x -5引 -10 -15 16 新知生成 1.使ax2+bx十c=0的实数x 2.{xx<x1,或x>x2}{xx1<x<x2}⑦0 问题4提示：由问题3中的图象，可知函数图象与x轴有两个 交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程x2一12x十20 =0的两个实数根x1=2,x2=10,因此二次函数y=x2- 12x十20的图象与x轴的两个交点是(2,0)和(10,0)，从图象 可以看出，二次函数y=x2-12x十20的两个零点x1=2,x2 =10将x轴分成三段.相应地，当x<2或x>10时，函数图 象位于x轴上方，此时y>0,即x2一12x十20>0；当2<x< 10时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即x2一12x+20 <0.所以，一元二次不等式x2-12x十20<0的解集是{x|2 <x<10}. 新知应用 角度1 1.解：对于方程9x2-6x十1=0，因为△=0，所以它有两个相等 的实数根，解得x1=x2=3 画出二次函数y=9x2一6x十1的图象，如图所示，结合图象 得不等式9x2-6x+1>0的解集为：z≠号》： 0.6 0.5 0.4 y=9x2-6x+1/ 0.3 0.2 0.1 0 0.2 0.4 0.6x 2.解：不等式可化为x2一2x十3<0.因为△=一8<0，所以方程 x2-2x十3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x十3的图 象，如图所示， y 10月 y=x2-2x+3 9 7 6 2 -202十4 结合图象得不等式x2一2x十3<0的解集为心. 因此，原不等式的解集为心. 角度2 3.解：△=a2一16，下面分情况讨论： (1)当△<0，即-4<a<4时，方程2x2+ax十2=0无实根， 所以原不等式的解集为R (2)当△=0，即a=士4时，若a=-4,则原不等式等价于 2(x-1)2>0,故x≠1；若a=4,则原不等式等价于2(x十1)2 >0,故x≠-1. (3)当△>0，即a>4或a<-4时，方程2x2+ax十2=0的 两个根为 x=(-a-V后6)函=号(-a十v层=6). 此时原不等式等价于(x一x1)(x一x2)>0, .x<x1或x>x2· 综上，当一4<a<4时，原不等式的解集为R; 当a=一4时，原不等式的解集为{x|x≠1〉； 当a>4或a<一4时，原不等式的解集为 {女<(-a-V后5)成x>(-a+v后-i): 当a=4时，原不等式的解集为{x|x≠一1}， 4.解：(1)当a=0时，原不等式为一x十2>0，解得x<2； (2)当a≠0时，原不等式为(ax一1)(x一2)>0， ①当0<a<号时，日>2，解不等式(ax-1Dz-2)>0,可得 x<2或x>1, a ②当a=合时，原不等式即为分（红-2）>0，解得z≠2： ③当a>2时，0<<2，解不等式(ax-1)红-2>0，可得 a ④当a<0时，解不等式(ax-1)(x-2)>0,可得1<x<2. 综上所速，当a<0时，原不等式的解案为口日<<2： 当a=0时，原不等式的解集为{x|x<2}; 当0a<时， 原不等式的解为口x<2成>}： 1 当a=2时，原不等式的解集为{xz≠2： 当。>时原不等式的解条为：<日或> a 课堂达标 1.A[只有③是一元二次不等式，故选A.] 2.C[因为N={xx2-x-6≥0}={xx≥3或x≤-2)，所 以M∩N={一2}，故选C.] 3.A[根据题意，方程2x2-5x-7=0的极为x1=-1,x2= 所以不等或2x-5x-7<0的解条是{女-1K<号引门 7 4.B[因为(1-x)(2十x)>0→(x-1)(x十2)<0，解得-2< x<1,所以不等式的解集为{x|一2<x<1}.故选B.] 6,解：1)不等式x2-x+子<0，即为(-2)广<0，所以原不 等式的解集为⑦」 (2)不等式一2x2十x≤一3，即为2x2一x-3≥0， 则(2x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥之， 3 所以原不等式的部集为一-1或≥引 (3)x2-3x十4>0其相应方程x2-3x十4=0的判别式△= (-3)2-4×4=-7<0, 所以不等式x2一3x十4>0的解集为R. 7.解：由ax(x一1)=0得x1=0,x2=1. (1)若a>0,此时不等式的解集为{xx<0或x>1}; (2)若a=0,此时不等式的解集为⑦； (3)若a<0,此时不等式的解集为{x0<x<1}. 学案17一元二次不等式的应用 课堂活动 活动一掌握分式不等式的解法 新知导学 问题1提示子0与红-2x+1≥0等价： C+≥0与(x-2)(x十1)≥0不等价，前者的解集中没有 x-2 一1，后者的解集中有一1. 问题2提示：可以转化为不等式组或转化为一元二次不等式 (x-2)(x+1)>0. 新知应用 解：(1)不等式≥0可转化成不等或组 1(z十1)x-3)≥0解得x≤-1或x>3. x≠3， 即原不等式的解集为{x|x≤一1或x>3}. 2网为名 所以10， 一x十4≤0， 所以2x一3 则(4一x)(2x一3)≤0且2x≠3. 所以x-0(e-2)≥0且x≠名， 3 从而x<2或x之4. 故原不等式的解桑为{女2<号或≥4 活动二理解三个“二次”之间的关系 新知导学 问题3提示：一个一元二次不等式恒成立，即是解集为R a>0, ax2+bx+c>0恒成立台 '类比得ax2+bx十c<0恒 △<0， a<0, 成立台 △<0. 17