学案15 基本不等式的应用技巧-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

因为y-9800+2≥2√ x 9800.2x=280, 当且仅当9800=2x,即工=70时，取等号. 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70km/h, 学案15基本不等式的应用技巧 1.(10D[2-2x+2_x2x+1+1 2(x-1) =x-10+1-x=1 1 2(x-1) =2+2x-D -4<x<1,.-5<x-1<0, 源式-号+ ≤-22）2元=-1， 1 当且仅当一x一1 1 2=-2(x-1)1 即x=0时取等号，故选D.] (2)解：由x>-1,知x十1>0， 所以y=[x+1)+4][(x+1)+1] x+1 +5≥2，√c+10·+5=9, 4 =x+1+ 4 当且仅当x+1=十1' 即x=1时，等号成立， 此时ymin=9. 2.解：易知2十x>0,所以y=3(2+x2)十，16-6≥ 2+x2 2y6e+"2 -6=8√3-6，当且仅当 32+)-3即g-± /4√5 一2时，等号成立，此时 ymin =83-6. 3.a锅：向题意知，2+号-a+2y)(2+号）-1+华+ y y 2.2y=9, 2型+4≥5+2/y五 当且仅当g-2,甲x=y=日时取等号 y x 所以上十2的最小值为9. T y 题变式(1：解+号=名(x十2)（位+） (+号+婴+)≥+层·） -+, 当且仅当产=义，即y=2-2,x=22-2时取等号. y x 所以上+号的最小值为号+巨。 母题变式(2)：解：由x+y=1,得(x十2)十(y十1)=4， 即号[x+2)+(+1]=1, “+克++w+](4+h） +1 +1+》+x6+)-县 1[ x+2y+1 当且仅当4+1)-x+2 x+2y+1' 2 1 即x=3y=3时等号成立. 小2中的最小俊为月 4 4 y x+y=x+)(层+号） =10+义+9z>≥10+29=16， x y 当且仅当义-9且1+9=1，即x=4,y=12时等号成立. x y x y x十y的最小值为16. 4.解：由2a十b=ab-1,得a=6-2' b+1 因为Q>0,6>0,所以a=62>0,又b+1>0。 所以b>2, 所以4+25含号+0-6。》*3+26-2》+4 b-2 =26-20+,32+5 3 ≥2√26-2)·6°2+5=5+26， 3 当且仅当26-2)62即6=2+%时等号成立 所以a十2b的最小值为5+2√6. 课堂达标 1.c[x<号3x-20y=3x-2+3x22+3 9 97 9 =-2-3x)+23z+3≤-2√2-3)2-3z 3=-3. 当且仅当2-3江=2号即红=-弓时取学号.] 9 28[南a>0.6>0@+6=9,释2+号-a。+台 a a =4+6a atb √2·号=8C当且复始=分即a-66=3时￥ ≥4+2√a、b 号成立)， 故的+号的最小植为8.] 3.解：x<0,∴.-x>0. 则2+(-4≥√(-4)=85， 15Π 当且仅当12=一4红，即工=-5时取等号. -x 即12+4红≤-85 当x<0时，2+4红的最大值为-8v. 4解：x>0,+>0, 2 =x++ 1 1 x+2x+1=x+ 12 x十2 x十2 x十2 1 当且仅当x十之 1 x十2 即x=己时，等号成立， 因此x十2的最小值为号 2 5解：>0，由惑本不学式可得2-3证-兰-2 (3x+)）<2-2√3x车=2-45， x 当且仅声3红=即x=2时，等号成主 x 因此2-3x-4的最大值是2-45. 学案16一元二次不等式的解法 课堂活动 活动一理解一元二次不等式的概念 新知导学 问题1提示：(12-x)x>20,其中0<x<12,即x2一12x+20 <0,x∈{x0<x<12}. 问题2提示：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2. 新知生成 -个2a.x2+bx+c>0或a.x2+bx+c<0a≠0 新知应用 ①②③ 活动二求解一元二次不等式 新知导学 问题3提示：(1)x1=2,x2=10. (2)当x<2或x>10时，函数图象位于x轴上方，此时y> 0,即x2-12x+20>0. (3)当2<x<10时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即 x2-12x+20<0. y=x2-12x+20 104 5 025101520x -5引 -10 -15 16 新知生成 1.使ax2+bx十c=0的实数x 2.{xx<x1,或x>x2}{xx1<x<x2}⑦0 问题4提示：由问题3中的图象，可知函数图象与x轴有两个 交点.我们知道，这两个交点的横坐标就是方程x2一12x十20 =0的两个实数根x1=2,x2=10,因此二次函数y=x2- 12x十20的图象与x轴的两个交点是(2,0)和(10,0)，从图象 可以看出，二次函数y=x2-12x十20的两个零点x1=2,x2 =10将x轴分成三段.相应地，当x<2或x>10时，函数图 象位于x轴上方，此时y>0,即x2一12x十20>0；当2<x< 10时，函数图象位于x轴下方，此时y<0,即x2一12x+20 <0.所以，一元二次不等式x2-12x十20<0的解集是{x|2 <x<10}. 新知应用 角度1 1.解：对于方程9x2-6x十1=0，因为△=0，所以它有两个相等 的实数根，解得x1=x2=3 画出二次函数y=9x2一6x十1的图象，如图所示，结合图象 得不等式9x2-6x+1>0的解集为：z≠号》： 0.6 0.5 0.4 y=9x2-6x+1/ 0.3 0.2 0.1 0 0.2 0.4 0.6x 2.解：不等式可化为x2一2x十3<0.因为△=一8<0，所以方程 x2-2x十3=0无实数根.画出二次函数y=x2-2x十3的图 象，如图所示， y 10月 y=x2-2x+3 9 7 6 2 -202十4 结合图象得不等式x2一2x十3<0的解集为心. 因此，原不等式的解集为心. 角度2 3.解：△=a2一16，下面分情况讨论： (1)当△<0，即-4<a<4时，方程2x2+ax十2=0无实根， 所以原不等式的解集为R (2)当△=0，即a=士4时，若a=-4,则原不等式等价于 2(x-1)2>0,故x≠1；若a=4,则原不等式等价于2(x十1)2 >0,故x≠-1.学案15基本不 在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足 “一正、二定、三相等”的条件，需要做一些适当的 变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明， 1.裂项 1)若-4<<1，则当，2+2取最大值时 2x-2 x的值为 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 (2)设x>-1,求y=x+5)(+2》的最小值， x+1 2.添项 16 求)y=3x2+2十的最小值. 「方法总结」根据已知和要求的式子，通过裂 项、添项方法将代数式进行适当的变形，使其满足 基本不等式成立的条件，从而求解最值. 3.“1”的代换技巧 (1)已知x>0,y>0,x十2y=1,求1+2的最 y 小值. 基本不等式的应用技巧学案15 等式的应用技巧 课 母题变式(1)：将本题条件“x+2y=1”换成“x十 记 2y=2”,求2+1的最小值 x y 母题变式(2)：将本题条件“x+2y=1”换成“x十 y=1”,求4+1 2+2y中的最小值， (2)已知x>0,y>0,且2+9=1，求x十y的 y 最小值. 「方法总结」常数代换法解题的关键是通过代数· 式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用· 基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应 把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相 除求商。 4.消元 已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,求a+2b 的最小值. 4310 人教A版数学必修第一册 听 「方法总结」对含有多个变量的条件最值问题， 课 若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变 记 量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入 代数式中转化为只含有一个变量的最值问题， 课堂小结 ab有最大值 ab有最大值 abs atb ab≤(a+地) 个(a=b) (a=b) 4为定值 变形目标构建 a+b为定值 和为定值 462≥2ab a+b≥2ad a.bER a>0.b>0 ab为定值 变形目标构建 ab为定值 }(a=b) 积为定值 1(a=b) 年有最小值 a+b有最小值 a4b≥2ab a+b≥2Vab 课堂达标 1若<号则y-3+1 9 3x-2有 () A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3 课后反思 … 1144 2者a>0,6>0,816-9,则21后的最小 值为 3.当<0时，求2+4红的最大值， 2 4.当x>0时，求x+2x十的最小值. 5.已知x>0,求2-3x-4的最大值