学案14 基本不等式的应用-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

问题4提示：如图所示，取AB的中点O,连接OD,则OD 0A=号AB=士，接s△ACDO△DCB,可得CD=ab, 即CD=√ab.根据几何关系，CD≤OD,当且仅当a=b时取 等号，因此基本不等式的几何解释是“半径不小于半弦”. E 新知应用 1.BC 2.D 活动二利用最值定理求和式、积式最值 新知导学 问题5提示：利用基本不等式求最值时，必须按照“一正、二 定、三相等”的原则进行，即 ①-运：特合基本不等式V瓜<士护成主的前凝条件@>0， b>0; ②二定：有和式或积式为定值； ③三相等：必须具备取等号的条件，即“a=b”时等号成立. 以上三个条件缺一不可. 新知生成 12P2)号s 新知应用 1.D[因为m>0,n>0,mn=81, 所以m十n≥2√mn=18,当且仅当m=n=9时取等号.故 选D.] 2.B[:a>0,b>0,.a+b≥2√ab=2,当且仅当a=b=1 时，取等号，故a十b的最小值为2.] 课堂达标 1,B[由基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，即基本 不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(x一 2)十-22成立的前提条件为x-2)>0,即x>2y. 选B.] 2.C[当名，号均为正数时，名+名≥2，故只需a,b同号即 可.所以①③④均可以.] 3.B[因为0<x<8,所以8-x>0,所以√x(8一x)≤ 十(8-x)=4,当且仅当x=8-x,即x=4时，等号成立.] 2 4A[y≤（生）=25，当且仅当x=y=5时，等号成立. 故xy有最大值25.] 5.C[已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab≤a十b-1 2 =2,当 且收当a=6=号时等号底主.】 6.A[x>y>0,2x>x+,>Vy,四>万， 即国≥y>>四> 故选A.] 7立[法-：0红<号1-3>0， y-)号×-0号[+g2]-品 当且仅当3z=1-3z,即x=日时，等号成立。 “当=言时，=41-3x)取得最大位立 法=0<<日号-x>0. 传a+0 \2 1 当且仅当x=3-,即x=后时，学号成立. 当x=名时y=x1-3x)取得最大值2] &36u+是≥2…是=4a,当且仅当4红=是，即 a=4x2=36时取等号，∴.a=36.] 学案14基本不等式的应用 课堂活动 活动一利用基本不等式比较大小 新知导学 同题1是示：06<(e士)≤生”a6eR @画< -(a,b均为正实数). (3号+2≥2,6同号). 新知应用 解：(1)0<a<1,0<b<1,且a≠b, ..a+b>2 vab,a2+62>2ab, .四个数中最大的应从a十b,a2十b2中选择. 而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 0<a<1,0<b<1,.a(a-1)<0,b(b-1)<0, .a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b, .a十b最大. (2②对子①，+名=a+b)(日+方)=2+台+合≥2+ a 2√会君-4且收当名-后县a+6=1,年a-6=专 1 时等号成立心+行≥对于@由不等我得瓜<当 =名，当且仅当。=6=方时等号成主V历≤是对于 ③，由不等式可得后十6≤2√ =2,/a+6 a)2+(6)2 2 N2 =瓦，当且仅当a=b=2时等号成立，后十6<厄.对于 国，由不等或可得a2+6≥2(e士)'=分当且仅当a=6 =时等号成立02+6≥ 131 活动二利用基本不等式进行证明 新知应用 证明：(1).a>0,b>0,c>0, ∴.a+b≥2ab>0,b+c≥2√bc>0, c+a≥2ca>0. ∴.2(a+b+c)≥2（√ab+bc+ca), 即a十b十c≥√/ab十√bc十Jca 由于a,b,c为不全相等的正实数，故等号不成立， ∴.a+b+c>√ab+√bc+√ca (2),a,b,c为正实数，且a+b十c=1, 1-1=1-e-6+c2Vc a a a 同店-2，}-12画 上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 (日-（层-（日-）≥2医.匹.2画 a 6 =8.当且仅当a=6=C=号时，等号成立， 活动三利用基本不等式解决实际问题 新知导学 问题2提示：(1)相当于积为定值求和最小；(2)相当于和为定 值求积最大 解答过程如下：设矩形莱园的相邻两条边的长分别为xm, ym,篱笆的长度为2(x十y)m. (1)由已知得xy=100. >, 可得x十y≥2√xy=20, 所以2(x+y)≥40， 当且仅当x=y=10时，上式等号成立. 因此，当这个矩形莱园是边长为10m的正方形时，所用篱笆 最短，最短篱笆的长度为40m. (2)由已知得2(x十y)=36,矩形菜园的面积为xym2. 由v四<专-号=， 可得xy≤81， 当且仅当x=y=9时，上式等号成立. 因此，当这个矩形莱园是边长为9m的正方形时，菜园的面 积最大，最大面积是81m2. 问题3提示：贮水池呈长方体形，它的高是3m,池底的边长 没有确定.如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就 确定了，因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造 价最低. 解答过程如下：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 xm,ym,水池的总造价为之元.根据题意，有 z=150×4800+120(2×3z+2X3y）=240000+720(z+ 3 y). 由容积为4800m3,可得3xy=4800, 因此xy=1600 所以之≥240000+720X2√xy, 14 当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600. 所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造 价最低，最低总造价是297600元. 新知应用 解：1)因为污水处理池的长为工m,所以宽为200m 0<x≤18， 由题意可得{.200」 10< 解得190<≤18. 18， x y=402z+2x29）+248×2×29+0×20 -80(+2）+16o(1g0≤x≤18） 324十 2)y=80(e+2）+16oo≥160×J· x 16000=44800, 当且仅当x24(90<≤18)，中x=18时取等号， 200100 此时 x 9 图比，当污水处理池的长为18m,宽为19m时，关总造价录 低，最低造价为44800元. 课堂达标 1.A[因为b>a>0,所以a2十b2>2ab.又因为a+b=1,所以 b2.又b=b(b+a)=6+ab>62+a2,所以b最大，故 选A.] 2.解：a,b是不相等的正数，由工=石十6 √2 得x2=a+b+)2a5<a+6,a+b=a+b, 2 2 又y=√a+b,即y2=a十b,.x2<y2,即x<y. 3.证明：(1)片x>0,y>0,工>0，义>0，义+x≥ y y 2√2·子=2，当且仅当兰-子，即x=y时取等子，包红 y ≠y,因此不能取等号，义+工>2 (2):x>0,y>0,x+y≥2V,22g≤2xy= x+y2√xy √y,当且仅当x=y时取等号，但x≠y,因此不能取等号， :2zy<. 'x+y 4.证明：，x>0,y>0,之>0，由基本不等式可得x+y≥ 2√xy,y十x≥2√yz,x十x≥2x, 由不等式的性质可得(x十y)(y十之)(x十x)≥ 2√y·2√yz·2√z=8xyz, 当且仅当x=y=之时等号成立. 5.解：设租车总费用为y元. 由题毒得y-6,4x四+.2x1四×(3+高) x _9800+2z(40≤x≤100). 因为y-9800+2≥2√ x 9800.2x=280, 当且仅当9800=2x,即工=70时，取等号. 所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70km/h, 学案15基本不等式的应用技巧 1.(10D[2-2x+2_x2x+1+1 2(x-1) =x-10+1-x=1 1 2(x-1) =2+2x-D -4<x<1,.-5<x-1<0, 源式-号+ ≤-22）2元=-1， 1 当且仅当一x一1 1 2=-2(x-1)1 即x=0时取等号，故选D.] (2)解：由x>-1,知x十1>0， 所以y=[x+1)+4][(x+1)+1] x+1 +5≥2，√c+10·+5=9, 4 =x+1+ 4 当且仅当x+1=十1' 即x=1时，等号成立， 此时ymin=9. 2.解：易知2十x>0,所以y=3(2+x2)十，16-6≥ 2+x2 2y6e+"2 -6=8√3-6，当且仅当 32+)-3即g-± /4√5 一2时，等号成立，此时 ymin =83-6. 3.a锅：向题意知，2+号-a+2y)(2+号）-1+华+ y y 2.2y=9, 2型+4≥5+2/y五 当且仅当g-2,甲x=y=日时取等号 y x 所以上十2的最小值为9. T y 题变式(1：解+号=名(x十2)（位+） (+号+婴+)≥+层·） -+, 当且仅当产=义，即y=2-2,x=22-2时取等号. y x 所以上+号的最小值为号+巨。 母题变式(2)：解：由x+y=1,得(x十2)十(y十1)=4， 即号[x+2)+(+1]=1, “+克++w+](4+h） +1 +1+》+x6+)-县 1[ x+2y+1 当且仅当4+1)-x+2 x+2y+1' 2 1 即x=3y=3时等号成立. 小2中的最小俊为月 4 4 y x+y=x+)(层+号） =10+义+9z>≥10+29=16， x y 当且仅当义-9且1+9=1，即x=4,y=12时等号成立. x y x y x十y的最小值为16. 4.解：由2a十b=ab-1,得a=6-2' b+1 因为Q>0,6>0,所以a=62>0,又b+1>0。 所以b>2, 所以4+25含号+0-6。》*3+26-2》+4 b-2 =26-20+,32+5 3 ≥2√26-2)·6°2+5=5+26， 3 当且仅当26-2)62即6=2+%时等号成立 所以a十2b的最小值为5+2√6. 课堂达标 1.c[x<号3x-20y=3x-2+3x22+3 9 97 9 =-2-3x)+23z+3≤-2√2-3)2-3z 3=-3. 当且仅当2-3江=2号即红=-弓时取学号.] 9 28[南a>0.6>0@+6=9,释2+号-a。+台 a a =4+6a atb √2·号=8C当且复始=分即a-66=3时￥ ≥4+2√a、b 号成立)， 故的+号的最小植为8.] 3.解：x<0,∴.-x>0. 则2+(-4≥√(-4)=85， 15Π人教A版数学必修第一册 课 学案14基本不等式的应用 记 昆学习任务 1.能利用基本不等式比较两个实数的大小.（数学运算） 2.能初步利用基本不等式进行证明.（数学运算） 3.能利用基本不等式解决实际问题.（数学应用） 课堂活动 「方法总结」(1)在使用基本不等式时，要注意 不等式的双向性. 活动一”利用基本不等式比较大小 ①从左到右：常使用基本不等式的变形公式ab 阄新知导学 ): 问题1基本不等式的几个常用变形推论有 ②从右到左：常使用a十b≥2√ab, 哪些？ (2)运用基本不等式比较大小应注意等号成立的 条件 (3)特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要 使特殊值具有一般性。 新知应用 活动二利用基本不等式进行证明 用基本不等式比较大小： 今新知应用 (1)若0<a<1,0<b<1,且a≠b,试找出a+b, a2+b2,2√ab,2ab中的最大者； 用基本不等式证明不等式： (1)已知a,b,c为不全相等的正实数， (2)设正实数a,b满足a十b=1,试比较下列各 组的大小. 求证：a+b+c>√ab+√bc+√ca; ①+与4： (2)已知a,b,c为正实数，且a十b十c=1, ②@5与 求证：(2-1)（号-1）（日-1≥8 ③后十，6与反：国a+6与号 140 基本不等式的应用学案14 「方法总结」利用基本不等式证明不等式的策 (1)求y关于x的解析式； 听 略与注意事项 (2)污水处理池的长与宽各是多少时，总造价最 课笔 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等 低？求出这个最低造价 式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化 为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放 缩的效果. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到： 活动三利用基本不等式解决实际问题 阄新知导学 阅读教材第46一48页，完成下列问题. 问题2教材的例3相当于基本不等式哪类求最 值问题？尝试书写完整的解答过程. 「方法总结」求实际问题中最值的解题步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关 系式 问题3教材的例4是一类方案设计问题，你能 (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值 分析一下求解的关键问题吗？尝试书写完整的 问题. 解答过程. (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一 般先考虑基本不等式 (4)回到实际问题中，正确写出答案. 课堂小结 今新知应用 某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200m2, ab≤( 此较大小 基本不等 证明不等式] 高度为1m的三段污水处理池（如图），由于受地 式的应用 a+b≥2ad 解决实际问题 形限制，其长、宽都不超过18m,已知池的外壁 的建造费为400元/m,池中两道隔墙（与宽平 课堂达标 行)的建造费为248元/m,池底的建造费为 80元/m2.设污水处理池的长为xm,总造价为 1.设6>a>0,且a十b=1,则四个数 2,2ab,a2 y元. 十b2,b中最大的是 A.b B.a2+62 1 C.2ab D.2 4110 人教A版数学必修第一册 听 2.已知a,6是不相等的正数，x=十6 5.某人准备租一辆车从甲地出发去乙地，已知从 √2 y= 出发点到目的地的距离为100km,按交通法规 记 √a十b,试比较x,y的大小. 定：这段公路车速限制在40~100（单位：km/h) 之间.假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率 为(3+360)L/h,其中x(单位：km/h)为汽车 的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租 车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑 其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此 3.已知x,y都是正数，且x≠y. 时的车速x是多少？（注：租车总费用=耗油 求证：1)￥+二>2：(2)2zy<. x y x+y 费十司机的工资) 1 1 4.已知x,y,之都是正数，求证：(x十y)(y十之)(z +x)≥8xyz. 课后反思 1142