学案13 基本不等式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

555 15 2≤2x≤2，-2≤2y≤2， -2+号≤10.即-2≤3a-26≤10， 5 活动四利用不等式性质比较大小 新知应用 1.A对子A日>分38b2>0,又a>66-a<0 .ab<0,a>0,b<0,故A正确 对于B,当a>0,b<0时，有号<1，故B错误； 对于C,当a=10,b=2时，有10十1>2十3，但1<3，故C 错误； 对于D,当a=-1,b=一2时，有(-1)×（一1）>（一2）× 3,但一1<3，故D错误.故选A.门 2.B[M2-N2=(a+b)-(a+b+2√ab) =-2√ab<0, ∴.M<N. 故选B.] 3.解：.a>b>0→a+b>0,a-b>0, :a--a+b)a-b2>0,a-b a2+b2 a2+b2 a+6>0, a2-b2 +6 a2+621+2a6 _(a+b)2 a-b a2+62>1, atb :02-6、a-6 a2+62>a+b 课堂达标 1.B[选项A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b<c+d,A不 成立； 选项B,因为a>一b,所以一a<b,所以c一a<c十b,B成立； 选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0,c<0<d时，C 不成立； 选项D,当a=一1，b=0时，D不成立.] 2.B[因为a一1>0，所以a>1,由不等式性质可得-a<-1, 故一a<一1<1<a,B正确，ACD错误.故选B.] 3.C[由<1 a<6<0可得b<a<0,从而la<bl,①②均不 正确；a十b<0,ab>0,则a十b<ab成立，③正确；a3>b3, ④正确.故不正确的个数为2.] 4.B[不妨设a=2,b=1,c=0,d=-1,此时a+d=b+c=1, 故A错误； ad=-2<bc=0,故C错误； 设a=-3,b=-4,c=-5,d=一6，则ac=15<bd=24,故 D错误； 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a十c>b十d, 故B正确.门 5.AC[对于A,由条件得-d>-c,a-d>b-c,故A正确； 对于B,当a=一1，b=一2，c=2,d=1时不满足，故B错误； 对于C,a>b,c2>0,则ac2>bc2,故C正确； 对于D,a-c 2-6=4c00,当a=-1,6=-2,c=2,d=1时 不满足，故D错误.故选AC.] 12 a2<专<5[2<分又8<<0 y 2<x<5.] y 7.解：(1)不成立.命题“若a>b且c≤0，则ac≤bc”成立，即增 加条件“c≤0”. (2)不成立.由ac2>bc2可得a>b,但只有b≥0时，才有a2 >b2,即增加条件“b≥0”. (3)不成主，导>名成立的条件有多种（如a>6>0e>d> 0),因此，可增加条件“b>0,d>0”. 8.证明：由a>b和性质3，得a十c>b+c;由c>d和性质3，得 b+c>b+d.再根据性质2，即得a+c>b+d. 9.证明：法一（反证法）：假设√a≤√b,由性质7知(a)2≤ (√仍)，即a≤b,这与已知a>b矛盾，故假设不正确，从而 √a>b. 法二：因为a>b>0, 所以w石-6=a-6-a-6)6+6)=a一b>0, 1 √a+√b a+√b 故√a>√b. 学案13基本不等式 课堂活动 活动一基本不等式的证明 新知导学 问题1提示：v≤ 问题2提示：法一：（作差法） 中-√而-a+b2√面_（a)-2v庙+(6)°_（a-6)2 2 2 2 ≥0瓜，当且仅当ab时，等号成立 所以a≤安 法二：（性质法） 要证6<宁，① 只要证2√ab≤a十b,② 要证②，只要证2√ab-a-b≤0，③ 要证③，只要证一（√a一√6）≤0，④ 要证④，只要证(Wa-√b)≥0，⑤ 显然⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立. 中历<中 问题3提示：把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法，将 从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方 法叫分析法.注意在书写表达时每一步都要加以文字说明 “要证…，只要证…”，直到“显然XXX成立”.这种由未 知探需知、逐步推向已知的方法在今后的数学研究中还会经 常用到. 新知生成 1.V历≤生a=6生品 2 2.不小于 问题4提示：如图所示，取AB的中点O,连接OD,则OD 0A=号AB=士，接s△ACDO△DCB,可得CD=ab, 即CD=√ab.根据几何关系，CD≤OD,当且仅当a=b时取 等号，因此基本不等式的几何解释是“半径不小于半弦”. E 新知应用 1.BC 2.D 活动二利用最值定理求和式、积式最值 新知导学 问题5提示：利用基本不等式求最值时，必须按照“一正、二 定、三相等”的原则进行，即 ①-运：特合基本不等式V瓜<士护成主的前凝条件@>0， b>0; ②二定：有和式或积式为定值； ③三相等：必须具备取等号的条件，即“a=b”时等号成立. 以上三个条件缺一不可. 新知生成 12P2)号s 新知应用 1.D[因为m>0,n>0,mn=81, 所以m十n≥2√mn=18,当且仅当m=n=9时取等号.故 选D.] 2.B[:a>0,b>0,.a+b≥2√ab=2,当且仅当a=b=1 时，取等号，故a十b的最小值为2.] 课堂达标 1,B[由基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，即基本 不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式(x一 2)十-22成立的前提条件为x-2)>0,即x>2y. 选B.] 2.C[当名，号均为正数时，名+名≥2，故只需a,b同号即 可.所以①③④均可以.] 3.B[因为0<x<8,所以8-x>0,所以√x(8一x)≤ 十(8-x)=4,当且仅当x=8-x,即x=4时，等号成立.] 2 4A[y≤（生）=25，当且仅当x=y=5时，等号成立. 故xy有最大值25.] 5.C[已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab≤a十b-1 2 =2,当 且收当a=6=号时等号底主.】 6.A[x>y>0,2x>x+,>Vy,四>万， 即国≥y>>四> 故选A.] 7立[法-：0红<号1-3>0， y-)号×-0号[+g2]-品 当且仅当3z=1-3z,即x=日时，等号成立。 “当=言时，=41-3x)取得最大位立 法=0<<日号-x>0. 传a+0 \2 1 当且仅当x=3-,即x=后时，学号成立. 当x=名时y=x1-3x)取得最大值2] &36u+是≥2…是=4a,当且仅当4红=是，即 a=4x2=36时取等号，∴.a=36.] 学案14基本不等式的应用 课堂活动 活动一利用基本不等式比较大小 新知导学 同题1是示：06<(e士)≤生”a6eR @画< -(a,b均为正实数). (3号+2≥2,6同号). 新知应用 解：(1)0<a<1,0<b<1,且a≠b, ..a+b>2 vab,a2+62>2ab, .四个数中最大的应从a十b,a2十b2中选择. 而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1), 0<a<1,0<b<1,.a(a-1)<0,b(b-1)<0, .a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b, .a十b最大. (2②对子①，+名=a+b)(日+方)=2+台+合≥2+ a 2√会君-4且收当名-后县a+6=1,年a-6=专 1 时等号成立心+行≥对于@由不等我得瓜<当 =名，当且仅当。=6=方时等号成主V历≤是对于 ③，由不等式可得后十6≤2√ =2,/a+6 a)2+(6)2 2 N2 =瓦，当且仅当a=b=2时等号成立，后十6<厄.对于 国，由不等或可得a2+6≥2(e士)'=分当且仅当a=6 =时等号成立02+6≥ 131基本不等式学案13 学案13基本不等式 听 课笔记 昆学习任务 1.了解基本不等式的证明过程.（数学运算） 2.拿基本不等式，5≤中(u>0,6>0.（贵学持象) 3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（逻辑推理） 课堂活动 同新知生成 活动一基本不等式的证明 1.基本不等式：如果a>0,b>0,则 ,当 且仅当 时，等号成立.其中 阄新知导学 叫 做正数a,b的算术平均数， 叫做正数 阅读教材第44一45页，完成下列问题， a,b的几何平均数. 问题1前面利用完全平方公式得到一类重要不 2.两个正数的算术平均数 它们的几何平 等式： 均数. Ha,b∈R,有a2+b2≥2ab,① 问题4如图，AB是圆的直径，点C是AB上一 当且仅当a=b时等号成立. 点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦 如果a>0,b>0,用√a,√6分别代替①式中的 DE,连接AD,BD.你能在这个图形中找到！ a,b,可以得到什么式子？ 2和√a6所对应的是哪条线段吗？你 出基本不等式的几何解释吗？ D 间题2你能给出不等式√a6≤(a>0, 2 B b>0)的证明吗？ 问题3在获得显然成立的⑤式（√a一√6）≥0 后，为什么就可以断定最前面的不等式成立？ 回顾“充分条件与必要条件”中的相关知识，谈 一谈你对“要证…，只要证…”的理解。 3710 人教A版数学必修第一册 听 新知应用 后新知生成 1.(多选)下列说法中正确的是 ( 已知x,y都为正数，则 记 A.a2+b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 (1)如果积xy等于定值P,那么当且仅当x= B.a2十b2≥2ab成立的条件是a,b∈R y时，和x十y有最小值 C.a+b≥2√ab成立的条件是a>0,b>0 (2)如果和x十y等于定值S,那么当且仅当 D.a十b≥2√Jab成立的条件是ab>0 x=y时，积xy有最大值 2.给出下面三个推导过程： 简记为：积定和最小，和定积最大。 ①因为a,6部是正实数，所以日+号≥ 也就是：若是求和式的最小值，通常化积为定 6.a 值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为 2a b =2 定值 ②因为a∈R,a≠0，所以生+a≥2A·a a 今新知应用 =4； 1.若m>0,n>0,mn=81,则m十n的最小值是 ③因为x,y∈R,xy<0,所以工十y () y =-[（-)+(-￥】≤-2 A.4 B.4√3 C.9 D.18 其中正确的推导过程为 2.已知ab=1,且a>0,b>0,则a十b的最小 A.①② B.②③ C.② D.①③ 值是 () 「方法总结」a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈ A.1 B.2 R瓜<士成立的条件是u>0,6>0,两式成 C.4 D.8 「方法总结」求最值问间题要严格按照基本不等 立的条件不一致 式的使用原则：一正、二定、三相等，缺一不可. 活动二利用最值定理求和式、积式最值 阄新知导学 课堂小结 阅读教材第45一46页，完成下列问题 算术平均数些 几何平均数品 问题5用基本不等式解决求和式、积式最值问 基本不等式的定义 v品≤a(a>0.b>0 题时，必须满足什么条件？ 们的几何平均数 基本不等式 基本不等式的 一正，二定，三相等 使用特点 积等于定值， 和有最小值： 最值定理 和等于定值， 积有最大值 1138 基本不等式学案13 4课堂达标 A.最大值25 B.最大值50 听 C.最小值25 D.最小值50 1.不等式(x-2y)+ 1 x-2y ≥2成立的前提条 5.已知正数a,b满足a2+b2=1,则ab的最大 记 值为 ( ) 件为 A.x≥2y B.x>2y 2 A.1 B.2 C.x≤2y D.x<2y 1 1 2.给出下列条件： C.2 D.4 ①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b< 6.设x>y>0,则下列各式中正确的是 0,其中能使名+号≥2成立的条件个数为 A.y a 2 ( B.y 2 A.1 B.2 C.x>十>y>y C.3 D.4 2 3.若0<x<8,则√x(8-x)的最大值为( D.t>/ry>y>ty 2 A B.4 7.已知0<x<名，则y=x1-3x)的最大值 C43 D.√5 为 3 4.已知x>0,y>0,且x十y=10,则xy有 8.已知4x十a(x>0,a>0)在x=3时取得最小 x ( 值，则a的值为 课后反思 391