学案12 等式性质与不等式性质-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 课 学案12等式性质与不等式性质 记 学习任务 1了解等式的基本性质，并类比推导不等式的基本性质.（逻辑推理） 2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.（数学运算） 课堂活动 2.如果ac>bc,那么下列不等式中，一定成立 的是 () 活动一 类比等式性质猜想不等式的 A.ac2>bc2 B.a>b 基本性质 阄新知导学 C.a+c>b+c D.ab c 阅读教材第40一41页，完成下列问题. 「方法总结」利用不等式性质判断正误的两种 问题1请你根据等式的基本性质，观察它们的 方法 共性.能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ (1)直接法.对于说法正确的，要利用不等式的相 关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例 即可 问题2类比等式的基本性质，你能猜想不等式 (2)特殊值法.注意取值一定要遵循三个原则： 的基本性质吗？ 是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计 算；三是所取的值要有代表性 活动二用不等式性质证明不等式 厅新知生成 新知应用 (1)对称性：a>b台.注意台 (2)传递性：a>b,b>c→.注意不可逆 1已知a>6>0,c<0,求证后>分 (3)可加性：a>b台 注意可逆 (4)可乘性：a>b,c>0→ ;a>b,c<0→ 注意c的符号 (5)加法法则：a>b,c>d→ 注意 同向 2.已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证e c (6)乘法法则：a>b>0,c>d>0→ .注意 同向 (7)乘方法则：a>b>0→ 注意同正 个新知应用 「方法总结」利用不等式的性质证明不等式的 1.下列命题中正确的是 注意事项 A.若ac>bc,则a>b (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不 B.若a>b,c>d,则a-c>b-d 等式.解决此类问题一定要在理解的基础上记准、 C.若a>b,c>d,则ac>bd 记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加 D.若√a<√b,则a<b 以应用 1134 等式性质与不等式性质学案12 (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不 2.已知a>0,b>0,M=√a+b,N=√a+b,则 听 等式性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推 M与N的大小关系为 () 课 导，更不能随意构造性质与法则. A.M>N B.M<N 记 活动三利用不等式的性质求范围 C.M≤N D.不确定 仓新知应用 3设6>0比做名与含的大个 1已知-6a<8,2×6<3,求2a十6，a-6及号 的取值范围. 2已知-否<月<&<分，求2a-日的取值 「方法总结」利用不等式性质比较大小的两种 方法 范围. 作商比较法 乘方比较法 a>0,b>0, 3.已知1≤a十b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的 号>1pa>6, a2>b2且a>0, 依据 取值范围. a>0,b>0, b>0→a>b 且2<1→a<b 同号两数比较大小 「方法总结」利用不等式的性质求取值范围的 应用 要比较的两数（式） 或指数式之间比较 策略 范围 中有根号 大小 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关 ①作商 系，然后利用一次不等式的性质进行运算，求得待 ②变形 ①乘方 求的范围 步骤 ③判断商值与1的 ②用作差比较法或 (2)同向不等式的两边可以相加，这种转化不是等 大小 作商比较法 价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就 ④下结论 有可能扩大其取值范围， 活动四利用不等式性质比较大小 课堂小结 等式的基本性质 今新知应用 不等式的基本性质 1.下列命题中一定正确的是 A若a>6,且}，则a>0.60 应用 注意： B.若a>b,6≠0，则分>1 (若a≥6>0，则0心日石若a心60，则≥ C.若a>b,且a+c>b十d,则c>d D.若a>b,且ac>bd,则c>d .(倒数性质) a b 3510 人教A版数学必修第一册 听 (2)不等式只有加法和乘法运算，没有减法和除法 5.(多选)已知a>b,c>d>0,则 () 运算 A.a-d>b-c B.ac>bd 笔 (3)如果a>b>0(n∈N,n≥2)，那么a>b.(开 C.ac2>bc2 方性) (4)不等式中任何一项可以改变符号后移到不等 6.若8<x<10,2<y<4,则工的取值范围为 y 号的另一边、 七课堂达标 7.判断下列命题是否成立，若不成立，适当增加条 件使之成立。 !1.已知a,b,c,d∈R,则下列命题中一定成立 (1)若a>b,则ac≤bc; 的是 (2)若ac2>bc2,则a2>b2; A.若a>b,c>d,则a+b>c+d (3)若a>b,c>d,则>b B.若a>-b,则c-a<c+b C若>66<d,则>号 D.若a2>b2,则-a<-b 、 2.已知a一1>0，则下列结论正确的是() 8.证明：如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. A.-1<-a<a<1 B.-a<-1<1<a C.-a<-1<a<1 D.-1<-a<1<a 3若<名<0，有下面四个不等式.①1a>b1, ②a<b;③a+b<ab;④a3>b3,则不正确的个 9.已知a>b>0,求证√a>√b. 数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3 4.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d,则下列 选项中正确的是 ( ) A.a+d>b+c B.a+c>b+d C.ad-bc D.ac>bd 课后反思 1136当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EF GH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab. 问题5提示：利用完全平方公式，得a2+b2一2ab=(a一b)2. 因为Ha,b∈R,(a-b)2≥0， 当且仅当a=b时，等号成立， 所以a2+b2-2ab≥0. 因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2十b2≥2ab, 当且仅当a=b时，等号成立. 新知生成 a=b 新知应用 证明：a3+b3-(ab2+a2b) =(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b) =(a+b)(a2-2ab+b2). ,a>0,b>0,且a2+b2≥2ab, ∴a+b>0,a2+b2-2ab≥0， ∴a3+b3-(ab2+a2b)≥0， 故a3+b3≥ab2+a2b. 课堂达标 1.AC[a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤ 3;m与4的差是负数，可表示成一4<0；x与2的和是非负 数，可表示成x十2≥0.故选AC.] 2.A[因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy十y2+1=(x-y)2 十1>0，所以x2十y2>2xy-1,故选A.] 3.7.9≤0<11.2[“不小于”即大于或等于，故用不等式表示 为7.9≤v<11.2.] 4.a=2[令a2+4=4a,则a2-4a+4=0,.a=2.] 5.解：x2一(2x-2) =x2-2x+2 =(x-1)2+1. .(x-1)2≥0， .x2-(2x-2)>0, .x2>2x-2. 6.证明：由重要不等式可知x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时取 等号)，即16≥2xy,所以xy≤8. 学案12等式性质与不等式性质 课堂活动 活动一 类比等式性质猜想不等式的基本性质 新知导学 问题1提示：可以发现，性质1,2反映了相等关系自身的特 性，性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中 保持的不变性，运算中的不变性就是性质 问题2提示：由性质1（对称性）如果a=b,那么b=a猜得： a>b台b<a; 由性质2（传递性）如果a=b,b=c,那么a=c猜得：a>b, b>c→a>c； 由性质3（可加性）如果a=b,那么a士c=b士c猜得：a>b 台a+c>b+c; 由性质4（可乘性）如果a=b,那么ac=bc猜得：a>b,c>0 →ac>bc;a>b,c<0→ac<bc. 新知生成 (1)b<a (2)a>c (3)a+c>6+c (4)ac>bc ac<bc (5)a+c>b+d(6)ac>bd(7)a">b"(n∈N,n≥2) 新知应用 1.D[对于A,c<0时不成立； 对于B,a=3,b=2,c=4,d=0时不成立； 对于C,a=0,b=-2,c=-1,d=-2时不成立； 对于D,两边平方可知，结论成立.故选D.] 2.D[若c<0,则a<b,所以ac2<bc2,a十c<b十c,A,B,C均 错误； 周为ac>太，周>0，则学>会年是>兰成DE流] 活动二用不等式性质证明不等式 新知应用 1.证明：法一： 因为a>b>0,所以ab>0,>0. ab 于是a>6即>由<0，得台>台 法二： 8-6-c62,a>6>060. ab ∴.ab>0,b-a<0,c(b-a)>0, c 法三： a>6>0,>2>0,c<0后<台脚后> a a b 2.证明：c<d<0,.一c>一d>0, 又.a>b>0,∴.a+(-c)>b+(-d)>0, 即a-c>b-d>0,0<1<1 a-cb-d 又e<02>6a e 活动三利用不等式的性质求范围 新知应用 1.解：因为-6<a<8,2<b<3,所以-12<2a<16, 所以-10<2a+b<19. 又因为-3<-b<-2,所以-9<a-6<6.又3<6<2： 1 11 ①当0≤a<8时，0≤行<41 ②当-6<a<0时，0<-a<6,所以0<-名<3， 所以-3<号<0. 由①②得-3<分<4. 2锯”受<<受营<<登 -8<-<, .一π<a-3π. 又B<a,.a-β>0，.0<a-B<π， 又2a-3=a+(a-3), 3.解：设x=a十b,y=a-b,则a-,6=), 2 2 1≤≤5，-1≤y≤33a-20=2x+号. 15 11 555 15 2≤2x≤2，-2≤2y≤2， -2+号≤10.即-2≤3a-26≤10， 5 活动四利用不等式性质比较大小 新知应用 1.A对子A日>分38b2>0,又a>66-a<0 .ab<0,a>0,b<0,故A正确 对于B,当a>0,b<0时，有号<1，故B错误； 对于C,当a=10,b=2时，有10十1>2十3，但1<3，故C 错误； 对于D,当a=-1,b=一2时，有(-1)×（一1）>（一2）× 3,但一1<3，故D错误.故选A.门 2.B[M2-N2=(a+b)-(a+b+2√ab) =-2√ab<0, ∴.M<N. 故选B.] 3.解：.a>b>0→a+b>0,a-b>0, :a--a+b)a-b2>0,a-b a2+b2 a2+b2 a+6>0, a2-b2 +6 a2+621+2a6 _(a+b)2 a-b a2+62>1, atb :02-6、a-6 a2+62>a+b 课堂达标 1.B[选项A,取a=1,b=0,c=2,d=1,则a+b<c+d,A不 成立； 选项B,因为a>一b,所以一a<b,所以c一a<c十b,B成立； 选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0,c<0<d时，C 不成立； 选项D,当a=一1，b=0时，D不成立.] 2.B[因为a一1>0，所以a>1,由不等式性质可得-a<-1, 故一a<一1<1<a,B正确，ACD错误.故选B.] 3.C[由<1 a<6<0可得b<a<0,从而la<bl,①②均不 正确；a十b<0,ab>0,则a十b<ab成立，③正确；a3>b3, ④正确.故不正确的个数为2.] 4.B[不妨设a=2,b=1,c=0,d=-1,此时a+d=b+c=1, 故A错误； ad=-2<bc=0,故C错误； 设a=-3,b=-4,c=-5,d=一6，则ac=15<bd=24,故 D错误； 因为a>b,c>d,根据不等式的同向可加性得a十c>b十d, 故B正确.门 5.AC[对于A,由条件得-d>-c,a-d>b-c,故A正确； 对于B,当a=一1，b=一2，c=2,d=1时不满足，故B错误； 对于C,a>b,c2>0,则ac2>bc2,故C正确； 对于D,a-c 2-6=4c00,当a=-1,6=-2,c=2,d=1时 不满足，故D错误.故选AC.] 12 a2<专<5[2<分又8<<0 y 2<x<5.] y 7.解：(1)不成立.命题“若a>b且c≤0，则ac≤bc”成立，即增 加条件“c≤0”. (2)不成立.由ac2>bc2可得a>b,但只有b≥0时，才有a2 >b2,即增加条件“b≥0”. (3)不成主，导>名成立的条件有多种（如a>6>0e>d> 0),因此，可增加条件“b>0,d>0”. 8.证明：由a>b和性质3，得a十c>b+c;由c>d和性质3，得 b+c>b+d.再根据性质2，即得a+c>b+d. 9.证明：法一（反证法）：假设√a≤√b,由性质7知(a)2≤ (√仍)，即a≤b,这与已知a>b矛盾，故假设不正确，从而 √a>b. 法二：因为a>b>0, 所以w石-6=a-6-a-6)6+6)=a一b>0, 1 √a+√b a+√b 故√a>√b. 学案13基本不等式 课堂活动 活动一基本不等式的证明 新知导学 问题1提示：v≤ 问题2提示：法一：（作差法） 中-√而-a+b2√面_（a)-2v庙+(6)°_（a-6)2 2 2 2 ≥0瓜，当且仅当ab时，等号成立 所以a≤安 法二：（性质法） 要证6<宁，① 只要证2√ab≤a十b,② 要证②，只要证2√ab-a-b≤0，③ 要证③，只要证一（√a一√6）≤0，④ 要证④，只要证(Wa-√b)≥0，⑤ 显然⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立. 中历<中 问题3提示：把这种从已知出发进行推证的方法叫综合法，将 从要证的结论出发，逐步寻求使其成立的充分条件的证明方 法叫分析法.注意在书写表达时每一步都要加以文字说明 “要证…，只要证…”，直到“显然XXX成立”.这种由未 知探需知、逐步推向已知的方法在今后的数学研究中还会经 常用到. 新知生成 1.V历≤生a=6生品 2 2.不小于