学案11 不等关系与不等式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

不等关系与不等式学案1 第二章一元二次函数、方程和不等式 听 课笔 学案11不等关系与不等式 昆学习任务 1 1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模） 2.会用比较法比较两实数的大小，（逻辑推理） 3.了解重要不等式.（逻辑推理） 课堂活动 同新知生成 活动一”用不等式（组）表示不等关系 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个 数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这 阄新知导学 些不等号的式子叫做不等式 阅读教材第37一38页，完成下列问题. 不等式“a≤b”的含义是“a<b或a=b”,等价于 问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题 “a不大于b”,即若a<b或a=b之中有一个成 中的不等关系吗？ 立，则a≤b成立； (1)某路段限速40km/h; 不等式“a≥b”的含义是“a>b或a=b”,等价于 (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的 “a不小于b”,即若a>b或a=b之中有一个成 含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不 立，则a≥b成立. 少于2.3%； 新知应用 (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于 第三边； 1.生活中，我们经常在路上或桥上看到下列标志， (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段 你知道它们的含义吗？你能用一个数学式子表 中，垂线段最短， 示下列关系吗？ 50 10t 50 ① ② ③ 3 m 7:30-10:00 ④ ⑤ 问题2某种杂志以每本2.5元的价格销售，可 以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高 0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价 才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 3110 人教A版数学必修第一册 听 2.用不等式（组）表示下列不等关系： 新知应用 (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度 h(单位：m)从地面算起不能超过4m; 1.比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 记 (2)a与b的和是非负实数； (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形场地 的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成 绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的 2.已知x≤1，比较3x3与3x2-x十1的大小. 4倍.（各边之间的距离是5m) 仓库 母题变式：把本题中“x≤1”改为“x∈R”,再比较 3x3与3x2-x+1的大小. 「方法总结」作差法比较两个实数大小的步骤 !「方法总结」利用不等式（组）表示不等关系的 及变形方法 注意点 (1)步骤：作差→变形→定号→结论 (1)在用不等式（组）表示不等关系时，要进行比较 (2)变形方法：①因式分解；②配方；③通分；④分 、 的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个（或 母或分子有理化；⑤分类讨论， 多个)量之间不可以用不等式（组）来表示。 (2)在用不等式（组）表示实际问题时，一定要注意 活动三掌握重要不等式 单位的统一， 阄新知导学 活动二实数大小的比较 阅读教材第39页，完成下列问题 阄新知导学 问题4如图是在北京召开的第24界国际数学 阅读教材第38页，完成下列问题. 家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵 问题3数轴上的点与实数是一一对应的，你能 爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一 借助数轴刻画两个实数a,b的大小关系吗？ 个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图 中找出一些相等关系和不等关系吗？ 厅新知生成 两个实数大小关系的基本事实： 文字表示 符号表示 如果a一b是正数，那么 台→a-b>0 如果a一b等于0，那么 台→a-b=0 如果a一b是负数，那么 台→a-b<0 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可 以转化为比较它们的差与0的大小. 1132 不等关系与不等式学案1 问题5你能证明问题4中得到的不等式吗？ 2.作差法比较两个实数（代数式）大小的基本步骤 听 作差a-b 笔 采用配方、因式分解、通分、有理化等 变形 手段，把差转化为n个因式乘积或商的形 式，有时也转化为完全平方的形式 定号> 判断差与0的大小 厅新知生成 结论 利用实数a,b大小比较的基本事实 般地，Va,b∈R,有a2+b≥2ab,当且仅当 时，等号成立 课堂达标 新知应用 1.（(多选)下面列出的不等式中，正确的是( A.a不是负数，可表示成a≥0 已知a>0,b>0,证明a3+b3≥ab2+a2b. B.x不大于3，可表示成x<3 C.m与4的差是负数，可表示成m一4<0 D.x与2的和是非负数，可表示成x十2>0 2.若x∈R,y∈R,则 ( ) A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 3.中国“神舟十七号”载人飞船的飞行速度v不小 「方法总结」重要不等式a2十b2≥2ab(a,b∈ 于第一宇宙速度7.9km/s,且小于第二宇宙速 度11.2km/s,用不等式表示为 R)等号成立的充要条件是“a=b”,其变形ab≤ 4.不等式a2+4≥4a中，等号成立的条 a2+与a十63≥+b2 2≥ 体现了两实数积、两 件为 2 2 5.试比较x2与2x一2的大小. 实数平方和、两实数和的平方三者之间的关系. 课堂小结 1.常见的文字语言与符号语言之间的转换 大于， 小于， 大于等于， 小于等于， 文字 高于， 低于， 至少， 至多， 6.已知x,y∈R,且x2+y2=16,证明xy≤8， 语言 超过 少于 不低于 不超过 符号 语言 课后反思 3312.AC[命题p:“Vx∈R,x2十1≠0”的否定是“3x∈R,x2十 1=0”.力是真命题，7p是假命题.故选AC.] 课堂达标 1.A[由题意，当x=0时，y=x2=0,此时A={0,0},不满足 集合中元素的互异性； 当y=0时，x=x2且x≠0，则x=1,此时A=B={0,1},满 足条件.故x一y=1.故选A.] 2.D[因为M={x∈N|0≤x<2}={0,1}, 所以集合M的子集的个数为2=4.故选D.] 3.A[法一（列举法）：因为M={·,-2,1,4,7,10,…},N= {…,-1,2,5,8,11,…},所以MUN={…,-2,-1,1,2,4, 5,7,8,10,11,…},所以Cu(MUN)={…,-3,0,3,6,9, …},其元素都是3的倍数，即C(MUN)={x|x=3k,k∈ Z},故选A. 法二（描述法）：集合MUN表示被3除余1或2的整数集， 则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.] 4.ACD[A={0,2},.☑二A,-2氏A,{0,2}二A,A二{y y<3}.故选ACD.] 5.ACD[对于A,命题“3x∈R,x2十1>3x”的否定是“Hx∈ R,x2十1≤3x”,A错误； 对于B,命题“3x∈R,x2+x十1<0”的否定是“Hx∈R,x2 十x+1≥0”，B正确； 对于C,a,b,c∈R,ab2>cb2能推出a>c,但a>c推不出ab2 >cb2,C错误； 对于D,命题“3x∈R,x2+4x+m=0”为假命题，即“Hx日 R,x2十4x十m≠0”为真命题，即△=42-4m<0,即m>4,D 错误. 故选ACD.] 6.AC[A.“Hx∈R,x2十2>0”，其否定为“3x∈R,x2+2≤ 0”,假命题； B.“Vx∈N,x4≥1”，其否定为“]x∈N,x4<1”,真命题； C.“]x∈Z,x3<1”,其否定为“Hx∈Z,x3≥1”，假命题； D.“x∈R,>0”,其否定为“3x∈R,≤0”，真命题 故选AC.] 7.土2[.CvA={4},A={1,a},.a2=4,a=士2，经检验满 足题意.] 8.必要不充分条件[不积跬步，无以至千里，等价于“积跬步” 不一定“至千里”，但“至千里”必须“积跬步”.] 第二章一元二次函数、方程和不等式 学案11不等关系与不等式 课堂活动 活动一用不等式（组）表示不等关系 新知导学 问题1提示：对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为 okm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是 0<040. 对于(2)，由题意，得≥2.5%， p≥2.3%. 对于(3)，设△ABC的三条边为a,b,c,则a十b>c,a一b<c; a+c>b,a-c<b;b+c>a,b-c<a. 对于(4)，如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于 AB,垂足为D,E是直线AB上不同于D的任意一，点，则CD <CE. 110 AE D B 问题2提示：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入 为(8-2,5×0.2)z万元.于是，不等关系“销售总收入不 0.1 低于20万无”可以月不等式表示为(8-。5×0.2） ≥20. 求出不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围， 新知应用 1.解：①最低限速50km/h,v≥50.②限制重量10t, 0<m≤10.③限制高度3.5m,0<h≤3.5.④限制宽度3m, 0<x≤3.⑤通行时间7：30一10：00,7.5≤t≤10. 2.解：(1)0<h≤4. (2)a+b≥0. @20w+100 活动二实数大小的比较 新知导学 问题3提示：如图，设a,b在数轴上所对应的点分别是A,B. 当点A在，点B的左边时，a<b;当，点A在点B的右边时，a>b. a<b a>b 新知生成 a>b a>b a=b a=b a<b a<b 新知应用 1.解：因为(x十2)(x十3)一(x十1)(x+4) =(x2+5.x+6)-(x2+5.x+4) =2>0, 所以(x十2)(x十3)>(x十1)(x十4). 2.解：3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1，得x-1≤0，而3x2+1>0, ∴.(3x2+1)(x-1)≤0， ∴.3x3≤3x2-x+1. 母题变式： 解：3x3-(3x2-x十1)=(3x3-3x2)十(x-1) =(3x2+1)(x-1). .3x2+1>0, 当x>1时，x-1>0,.3x3>3x2-x十1； 当x=1时，x-1=0,∴3x3=3x2-x十1； 当x<1时，x-1<0,3x3<3x2-x十1. 活动三掌握重要不等式 新知导学 问题4提示：设直角三角形的两条直角边的长为a,b(a≠b), 那么正方形的边长为√a2十b2,则正方形ABCD的面积为 a2十b2.在正方形ABCD中，有4个全等的直角三角形，4个 直角三角形的面积和为2ab.由于正方形ABCD的面积大于 4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式a2十b2 >2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EF GH缩为一个点，这时有a2+b2=2ab. 问题5提示：利用完全平方公式，得a2+b2一2ab=(a一b)2. 因为Ha,b∈R,(a-b)2≥0， 当且仅当a=b时，等号成立， 所以a2+b2-2ab≥0. 因此，由两个实数大小关系的基本事实，得a2十b2≥2ab, 当且仅当a=b时，等号成立. 新知生成 a=b 新知应用 证明：a3+b3-(ab2+a2b) =(a+b)(a2-ab+b2)-ab(a+b) =(a+b)(a2-2ab+b2). ,a>0,b>0,且a2+b2≥2ab, ∴a+b>0,a2+b2-2ab≥0， ∴a3+b3-(ab2+a2b)≥0， 故a3+b3≥ab2+a2b. 课堂达标 1.AC[a不是负数，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤ 3;m与4的差是负数，可表示成一4<0；x与2的和是非负 数，可表示成x十2≥0.故选AC.] 2.A[因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy十y2+1=(x-y)2 十1>0，所以x2十y2>2xy-1,故选A.] 3.7.9≤0<11.2[“不小于”即大于或等于，故用不等式表示 为7.9≤v<11.2.] 4.a=2[令a2+4=4a,则a2-4a+4=0,.a=2.] 5.解：x2一(2x-2) =x2-2x+2 =(x-1)2+1. .(x-1)2≥0， .x2-(2x-2)>0, .x2>2x-2. 6.证明：由重要不等式可知x2+y2≥2xy(当且仅当x=y时取 等号)，即16≥2xy,所以xy≤8. 学案12等式性质与不等式性质 课堂活动 活动一 类比等式性质猜想不等式的基本性质 新知导学 问题1提示：可以发现，性质1,2反映了相等关系自身的特 性，性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中 保持的不变性，运算中的不变性就是性质 问题2提示：由性质1（对称性）如果a=b,那么b=a猜得： a>b台b<a; 由性质2（传递性）如果a=b,b=c,那么a=c猜得：a>b, b>c→a>c； 由性质3（可加性）如果a=b,那么a士c=b士c猜得：a>b 台a+c>b+c; 由性质4（可乘性）如果a=b,那么ac=bc猜得：a>b,c>0 →ac>bc;a>b,c<0→ac<bc. 新知生成 (1)b<a (2)a>c (3)a+c>6+c (4)ac>bc ac<bc (5)a+c>b+d(6)ac>bd(7)a">b"(n∈N,n≥2) 新知应用 1.D[对于A,c<0时不成立； 对于B,a=3,b=2,c=4,d=0时不成立； 对于C,a=0,b=-2,c=-1,d=-2时不成立； 对于D,两边平方可知，结论成立.故选D.] 2.D[若c<0,则a<b,所以ac2<bc2,a十c<b十c,A,B,C均 错误； 周为ac>太，周>0，则学>会年是>兰成DE流] 活动二用不等式性质证明不等式 新知应用 1.证明：法一： 因为a>b>0,所以ab>0,>0. ab 于是a>6即>由<0，得台>台 法二： 8-6-c62,a>6>060. ab ∴.ab>0,b-a<0,c(b-a)>0, c 法三： a>6>0,>2>0,c<0后<台脚后> a a b 2.证明：c<d<0,.一c>一d>0, 又.a>b>0,∴.a+(-c)>b+(-d)>0, 即a-c>b-d>0,0<1<1 a-cb-d 又e<02>6a e 活动三利用不等式的性质求范围 新知应用 1.解：因为-6<a<8,2<b<3,所以-12<2a<16, 所以-10<2a+b<19. 又因为-3<-b<-2,所以-9<a-6<6.又3<6<2： 1 11 ①当0≤a<8时，0≤行<41 ②当-6<a<0时，0<-a<6,所以0<-名<3， 所以-3<号<0. 由①②得-3<分<4. 2锯”受<<受营<<登 -8<-<, .一π<a-3π. 又B<a,.a-β>0，.0<a-B<π， 又2a-3=a+(a-3), 3.解：设x=a十b,y=a-b,则a-,6=), 2 2 1≤≤5，-1≤y≤33a-20=2x+号. 15 11