学案9 全称量词命题和存在量词命题的否定-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

活动二理解存在量词、存在量词命题 新知导学 问题3提示：①②不是命题，③④是命题.语句③在①的基础 上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句④在 ②的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定， 问题4提示：“有些，有一个，对某些，有的”等 新知应用 1.解：(1)不是. (2)是；存在量词是“有些”. (3)是；存在量词是“存在” (4)是；存在量词是“存在一个” 2.解：(1)由于△=22一4×3=一8<0，因此一元二次方程x2十 2x十3=0无实根， 所以，存在量词命题“有一个实数x,使x2十2x十3=0”是假 命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因 此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所 以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条 直线”是假命题 (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命 题“有些平行四边形是菱形”是真命题， 活动三全称量词命题与存在量词命题的应用 新知应用 解：(1)由于命题p:“Hx∈B,x∈A”是真命题， (m+1≤2m-1, 所以B二A,B≠0，所以m十1≥-2，解得2≤m≤3. 2m-1≤5， 所以m的取值范围是{m|2≤m≤3} (2)g为真命题，则A∩B≠， 因为B≠心，所以m≥2，则m十1≥3. 所以m十1≤5·解得2≤m≤4. m≥2， 所以m的取值范围是{m2≤m≤4}. 课堂达标 1.C 2.D[D选项是存在量词命题.] 3.C[B,D是存在量词命题，故排除；对于A,当a=0时，方程 ax十1=0无实数根，故A错误.故选C.] 4.C[当x=0时，x3=0,故选项C为假命题.门 5.BD[由题意得PQ. 对于A,B,3x∈Q,使得x任P,故A错误，B正确； 对于C,Hx∈P,都有x∈Q,故C错误； 对于D,Vx庄Q,都有x任P,故D正确.故选BD.] 6.{aa≥2}[由题意得a≥2.] 7.解：(1)Hx∈R,x2≥0. (2)Vx∈R,=x (3)Hx∈N,x≥0. 8.解：当m=0时，方程为一2x+1=0,只有一个根，不符合条 件；当m≠0时，由△=4一4m>0,解得m<1且m≠0.所以 集合A={mm<1且m≠0}. 8 学案9全称量词命题和存在量词 命题的否定 课堂活动 活动一对全称量词命题否定 新知导学 问题1提示：(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一 个新的命题，这一新命题称为原命题的否定 (2)“56不是7的倍数”“空集不是集合A={1,2,3}的真 子集”. (3)一真一假。 问题2提示：(1)①存在一个矩形不是平行四边形；②存在一 个素数不是奇数；③]x∈R,x十|x|<0. (2)从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存 在量词命题. 新知生成 “并非所有的”“并非任意一个” “]x∈M,p(x)不成立” 新知应用 解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个 圆上 (3)该命题的否定：]x∈Z,x2的个位数字等于3. (4)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个 圆上. (5)该命题的否定：3x∈R,使得5x一12≠0. 活动二对存在量词命题否定 新知导学 问题3提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“]x∈ M,p(x)”的形式. 命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也 就是说，所有实数的绝对值都不是正数. 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说， 每一个平行四边形都不是菱形. 命题(3)的否定是“不存在x∈R,x3一2x十3=0”，也就是说， Hx∈R,x2-2x+3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量 词命题. 新知生成 Hx∈M,一p(x)全称量词 新知应用 解：(1)该命题的否定：Hx∈R,x+2>0. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. (4)该命题的否定：所有的四边形都没有外接圆. 活动三全称量词命题与存在量词命题 否定的综合应用 新知应用 1.B[7p是假命题，则p是真命题， .ax2十2x十1=0有实数根， 当a=0时，2x十1=0，显然方程有实数根，故a=0符合 要求； 当a≠0时，即有△=4一4a≥0，解得a≤1且a≠0， 综上所述，a≤1. 故选B.] 2a< [命题p:Vx∈R,x2十x十a≠0的否定7p: 3x∈R,x2十x十a=0,因为命题p是假命题，所以一p为真 命题，所以△=12-4a≥0，解得a≤年.] 课堂达标 1.D[命题“3x>0,x2+1=0”的否定为“Vx>0,x2+1≠ 0”.故选D.] 2.C[根据题意命题力是全称量词命题，所以其否定是存在量 词命题，即7p:3x∈R,x2<0. 故选C.] 3.AC[全称量词命题的否定为存在量词命题，所以Hx∈R, x2≠x的否定是]x∈R,x2=x;存在量词命题的否定为全 称量词命题，所以]x∈R,x2十x十1<0的否定是Hx∈R, x2+x+1≥0.] 4.{aa>8} [因为命题“3x∈R,2x2+3x十a≤0”是假命 题，所以其否定“Hx∈R,2x2十3x十a>0”是真命题，等价于 方程2x2+3x+a=0无实根，所以△=32一4×2Xa<0,解 得。>日故实数a的取值范国是{@e>}门 5.解：(1)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因 为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三 角形都相似.因此这是一个假命题 (2)该命题的否定：Vx∈R,x2-x十1≠0.因为对任意x∈ R-z+1-(）》'+>0, 所以这是一个真命题. 6.解：(1)举出反例：直线y=1与x轴不相交，故原命题为假 命题. 命题的否定：平面直角坐标系下，存在一条直线不与x轴 相交. (2)因为二次函数图象均有对称轴，故原命题为真命题. 命题的否定：存在一个二次函数的图象不是轴对称图形 (3)因为三角形内角和为180°，故原命题为假命题 命题的否定：任意一个三角形，它的内角和不小于180°」 (4)举出例子说明：有一个角为60°的菱形满足四个顶点不在 同一个圆上，故原命题为真命题 命题的否定：任意一个四边形，它的四个顶点都在同一个 圆上. 学案10复习课集合与常用逻辑用语 课堂活动 活动二根据集合的含义解决相关问题 新知应用 1.C[因为A={0,1,2},又集合B中元素为x-y,且x∈A, y∈A, 所以x的可能取值为0,1,2，y的可能取值为0,1,2. 当x=0,y=0或1或2时，对应的x一y的值为0，一1，一2； 当x=1,y=0或1或2时，对应的x一y的值为1,0，一1； 当x=2,y=0或1或2时，对应的x一y的值为2,1,0. 综上可知，集合B={-2,一1,0,1,2}， 所以集合B中元素的个数为5.] 2.AC[,点(1,2)在函数y=x2十1的图象上，有(1,2)∈B,A 选项正确；集合A为数集，集合B为，点集，A≠B,B选项错 误；函数y=x2十1的函数值y的取值范围为{yy≥1}，则 A={y|y≥1}，0庄A,C选项正确；集合B为点集，2庄B,D 选项错误.故选AC.] 3.A[由M={x|x∈P且x任Q}知，M={1}.故选A.] 活动三掌握集合间的关系和交、并、 补运算及应用 新知应用 1.B[依题意，有a一2=0或2a一2=0.当a一2=0时，解得 a=2,此时A={0,一2}，B={1,0,2},不满足A三B;当2a 2=0时，解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足 A二B.所以a=1,故选B.门 2.解：(1)由A={xx≤-2或x≥5}，B={x|x≤2}， 可知AUB={xx≤2或x≥5}.又全集U=R,故Cu(AU B)={x|2<x<5}. (2)由(1)得D={x|2<x<5).由C∩D=C,得C二D.①当 C=时，有-a<2a-3,解得a>l;②当C≠0时， 2a-3-a, 2a-3>2,解得a∈ -a<5, 综上可知，a的取值范围是{a|a>1}. 活动四利用充分、必要、充要条件的概念求解 相关问题 新知应用 1.B[法-：若a2=b2,则当a=-b≠0时，有a2十b2=2a2, 2ab=一2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2中a2+b2=2ab; 若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以 a=b,则有a2=b2,即a2十b2=2ab→a2=b2.所以“a2=b2” 是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 法二：因为“a2=b2”台“a=-b或a=b”,“a2+b2=2ab”曰 “a=b”,所以本题可以转化为判断“a=一b或a=b”与“a= b”的关系，又“a=一b或a=b”是“a=b”的必要不充分条件， 所以“a2=b2”是“a2十b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.] 2.解：“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q二P,所以 a一4L解得-1<a<5,所以实数a的取值范国为{a-1 a+4≥3， ≤a≤5}. 3.解：.q是p的充分不必要条件， .B军A, a≤-4，成 3a≥-2， a<0 a<0, 得将a<-4或-号<a<0 的取植元国为la-台<a<0友a≤-4小 活动五掌握全称量词命题、存在量词命题的 否定和真假命题判断的方法 新知应用 1.B[对于p而言，取x=一1，则有x+1|=0<1,故p是假 命题，门力是真命题， 对于q而言，取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题， 一q是假命题， 综上，p和q都是真命题.故选B.] 9全称量词命题和存在量词命题的否定 学案9 学案9全称量词命题和存在量词命题的否定 听 课笔 昆学习任务 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.（数学抽象） 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.（逻辑推理） 课堂活动 厅新知生成 活动一对全称量词命题否定 一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行 阄新知导学 否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量 词，变成 等短语即可.也就是！ 阅读教材第28一29页，完成下列问题. 说，假定全称量词命题为“Hx∈M,p(x)”,则它 问题1(1)什么是原命题的否定？ 的否定为“并非Hx∈M,p(x)”,也就是 .通常，用符号“p(x)”表示“p(x)不 成立” (2)“56是7的倍数”的否定是什么？“空集是 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下： 集合A={1,2,3}的真子集”的否定是什么？ 面的结论： 全称量词命题：Hx∈M,p(x),它的否定：3x∈ M,p(x). (3)原命题与命题的否定的真假情况是什么？ 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题， 新知应用 写出下列全称量词命题的否定： 问题2（1)你能尝试写出下面含有一个量词的 (1)所有能被3整除的整数都是奇数； 命题的否定吗？ (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上； ①所有的矩形都是平行四边形； (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3； ②每一个素数都是奇数； (4)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； ③Vx∈R,x+|x|≥0. (5)Vx∈R,使得5x-12=0. (2)它们与原命题在形式上有什么变化？ 2510 人教A版数学必修第一册 听 「方法总结」1.对全称量词命题否定的两个 厅新知生成 课 步骤 ]x∈M,p(x),它的否定： 记 (1)改变量词：把全称量词改为存在量词.即：全称 也就是说，存在量词命题的否定是 命题 量词(V)改为存在量词(3). (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不 今新知应用 是”“不成立”等】 写出下列存在量词命题的否定： 2.若全称量词命题为真命题，其否定就是假命题； (1)3x∈R,x+2≤0； 若全称量词命题为假命题，其否定就是真命题. (2)有的三角形是等边三角形； 常见词语的否定形式如下： (3)有一个偶数是素数； 原词语 否定词语 原词语 否定词语 (4)有些四边形有外接圆， 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n一1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 活动二对存在量词命题否定 阄新知导学 阅读教材第30一31页，完成下列问题. 问题3写出下列命题的否定： 「方法总结」对存在量词命题否定的两个步骤 (1)存在一个实数的绝对值是正数； (1)存在量词()改为全称量词(Y). (2)有些平行四边形是菱形； (2)否定结论. (3)3x∈R,x2-2x+3=0. 话动三全称量词命题与存在量词命题 它们与原命题在形式上有什么变化？ 否定的综合应用 新知应用 1.命题p:ax2十2x+1=0有实数根，若力是假 命题，则实数a的取值范围是 () A.{aa<1} B.{aa≤1} C.{aa>1} D.以上都不对 2.已知命题p:Hx∈R,x2十x十a≠0，若命题p 是假命题，则实数a的取值范围是 「方法总结」正确利用命题与命题的否定真假 性相反这一点是解决此类问题的关键。 1126 全称量词命题和存在量词命题的否定学案9 课堂小结 5.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假： 听 (1)任意两个等边三角形都相似； 课 織3EMp 舍称量xEM,p(x) 词命题 (2)3x∈R,x2一x+1=0. 记 存在量词变 对结论 全称量词变 对结论 全称量词 进行否 存在量词 进行否 全称量 词命题∈M,一p() 存在量 词命题3x∈M,一p() 课堂达标 1.命题“3x>0,x2+1=0”的否定是 () A.]x≤0，x2+1≠0B.3x>0,x2+1≠0 C.Vx≤0，x2+1≠0 D.Hx>0,x2+1≠0 6.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： 2.命题p:Hx∈R,x2≥0的否定是 ( (1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴 A.Hx∈R,x2<0 B.3x∈R,x2≤0 相交； C.]x∈R,x2<0 D.Hx∈R,x2≤0 (2)每个二次函数的图象都是轴对称图形； 3.(多选)下列含有一个量词的命题的否定正确 (3)存在一个三角形，它的内角和小于180°； 的是 (4)存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个 A.Hx∈R,x2≠x的否定是]x∈R,x2=x 圆上 B.Vx∈R,x2≠x的否定是Vx氏R,x2≠x C.]x∈R,x2+x+1<0的否定是Hx∈R,x2 +x+1≥0 D.3x∈R,x2+x+1<0的否定是Hx任R,x2 +x+1≥0 4.命题“3x∈R,2x2+3x+a≤0”是假命题，则 实数a的取值范围是 课后反思… 2710