学案8 全称量词与存在量词-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

活动二证明（探索）充要条件 新知应用 证明：设p:d=r,q:直线1与⊙0相切. (1)充分性(p→g):如图，作OP⊥l于点P,则OP=d.若d= r,则点P在⊙O上.在直线L上任取一点Q(异于点P),连接 OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的 点都在⊙O的外部，即直线1与⊙O仅有一个公共，点P.所以直 线1与⊙O相切. (2)必要性(q→p):若直线1与⊙O相切，不妨设切点为P,则 OP⊥l.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l1与⊙O相切的充要条件. P Q 活动三充分不必要、必要不充分、 充要条件的判断 新知应用 1.B[a≠0不可以推出ab≠0；但ab≠0，则a一定不为0.故 选B.] 2.B[因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点 P(x,y)是第二象限的点的充要条件是x<0,y>0.故选B.] 3.B[方程z2+z十m=0无实根台A=1-4m<0付m>行 故选B.] 活动四充分不必要、必要不充分、 充要条件的应用 新知应用 解：p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为力是q的必要不充分条件， 即{x11-m≤x≤1+m}手{x|-2≤x≤10}， 故有m之2”我-m之2解得m≤3。 1+m<10, l1+m≤10， 又m>0, 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}， 母题变式：解：p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为力是g的充分不必要条件， 设p代表的集合为A,g代表的集合为B, 所以A手B. 1-m≤-2，或 1-m<-2, 所以1十m>10, 1+m≥10. 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 课堂达标 1.A[若x=1,则x2一4x十3=0，是充分条件， 若x2一4x十3=0，则x=1或x=3,不是必要条件.故选A.] 2.C[因为{x|一1<x<3}军{x|x<3},所以p是g的必要不 充分条件.] 3.A[因为A={1,a},B={1,2,3},若a=3,则A={1,3},所 以A二B,所以a=3→A二B;若A二B,则a=2或a=3,所 以A二B中a=3,所以“a=3”是“A二B”的充分不必要条件.] 4.B[由“x=2”能得出“x2=4”,但由“x2=4”得不出“x=2” 选项B正确.] 5.m=-2[当m=一2时，y=x2一2x十1，其图象关于直线x =1对称，反之也成立，所以函数y=x2十mx十1的图象关于 直线x=1对称的充要条件是m=一2.] 6.解：(1)根据点与圆的位置关系知，点P到圆心O的距离大于 圆的半径是，点P在⊙O外的充要条件. 故(1)为真命题. (2)两个三角形面积相等，则可能同底等高，两个三角形全等， 则面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形 全等的必要不充分条件， 故(2)为假命题. (3)AUB=A是B二A的充要条件. 故(3)为假命题. (4)当x=1,y=√2时，满足“x或y为有理数”，但“xy为有理 数”不成立 当x=y=√2时，满足“xy为有理数”，但“x或y为有理数”不 成立. 故(4)为真命题. 7.解：集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R}. (1)若AUB=R,则b≥一2， 故AUB=R的充要条件是b≥一2. (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥一2， ,.AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥一3. (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥一2， .AUB=R的一个充分不必要条件是b≥-1. 学案8全称量词与存在量词 课堂活动 活动一理解全称量词、全称量词命题 新知导学 问题1提示：语句①②不是命题；语句③④是命题.语句③在 ①的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句④在 ②的基础上，用短语“任意一个”对变量工进行限定 问题2提示：如“一切，每一个，任给”等。 新知应用 1.解：(1)命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题. (2)命题中含有全称量词“所有的”，是全称量词命题. (3)命题中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题 (4)命题中含有全称量词“H”,是全称量词命题. (5)命题中含有全称量词“H”,是全称量词命题， 2.解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的 素数都是奇数”是假命题. (2)x∈R,总有x≥0，因而|x十1≥1.所以，全称量词命 题“Hx∈R,|x|+1≥1”是真命题. (3)W2是无理数，但(W2)2=2是有理数.所以，全称量词命题 “对任意一个无理数x,x2也是无理数”是假命题， 7川 活动二理解存在量词、存在量词命题 新知导学 问题3提示：①②不是命题，③④是命题.语句③在①的基础 上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句④在 ②的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定， 问题4提示：“有些，有一个，对某些，有的”等 新知应用 1.解：(1)不是. (2)是；存在量词是“有些”. (3)是；存在量词是“存在” (4)是；存在量词是“存在一个” 2.解：(1)由于△=22一4×3=一8<0，因此一元二次方程x2十 2x十3=0无实根， 所以，存在量词命题“有一个实数x,使x2十2x十3=0”是假 命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因 此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所 以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条 直线”是假命题 (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命 题“有些平行四边形是菱形”是真命题， 活动三全称量词命题与存在量词命题的应用 新知应用 解：(1)由于命题p:“Hx∈B,x∈A”是真命题， (m+1≤2m-1, 所以B二A,B≠0，所以m十1≥-2，解得2≤m≤3. 2m-1≤5， 所以m的取值范围是{m|2≤m≤3} (2)g为真命题，则A∩B≠， 因为B≠心，所以m≥2，则m十1≥3. 所以m十1≤5·解得2≤m≤4. m≥2， 所以m的取值范围是{m2≤m≤4}. 课堂达标 1.C 2.D[D选项是存在量词命题.] 3.C[B,D是存在量词命题，故排除；对于A,当a=0时，方程 ax十1=0无实数根，故A错误.故选C.] 4.C[当x=0时，x3=0,故选项C为假命题.门 5.BD[由题意得PQ. 对于A,B,3x∈Q,使得x任P,故A错误，B正确； 对于C,Hx∈P,都有x∈Q,故C错误； 对于D,Vx庄Q,都有x任P,故D正确.故选BD.] 6.{aa≥2}[由题意得a≥2.] 7.解：(1)Hx∈R,x2≥0. (2)Vx∈R,=x (3)Hx∈N,x≥0. 8.解：当m=0时，方程为一2x+1=0,只有一个根，不符合条 件；当m≠0时，由△=4一4m>0,解得m<1且m≠0.所以 集合A={mm<1且m≠0}. 8 学案9全称量词命题和存在量词 命题的否定 课堂活动 活动一对全称量词命题否定 新知导学 问题1提示：(1)一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一 个新的命题，这一新命题称为原命题的否定 (2)“56不是7的倍数”“空集不是集合A={1,2,3}的真 子集”. (3)一真一假。 问题2提示：(1)①存在一个矩形不是平行四边形；②存在一 个素数不是奇数；③]x∈R,x十|x|<0. (2)从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存 在量词命题. 新知生成 “并非所有的”“并非任意一个” “]x∈M,p(x)不成立” 新知应用 解：(1)该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个 圆上 (3)该命题的否定：]x∈Z,x2的个位数字等于3. (4)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个 圆上. (5)该命题的否定：3x∈R,使得5x一12≠0. 活动二对存在量词命题否定 新知导学 问题3提示：这三个命题都是存在量词命题，即具有“]x∈ M,p(x)”的形式. 命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也 就是说，所有实数的绝对值都不是正数. 命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说， 每一个平行四边形都不是菱形. 命题(3)的否定是“不存在x∈R,x3一2x十3=0”，也就是说， Hx∈R,x2-2x+3≠0. 从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量 词命题. 新知生成 Hx∈M,一p(x)全称量词 新知应用 解：(1)该命题的否定：Hx∈R,x+2>0. (2)该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形 (3)该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. (4)该命题的否定：所有的四边形都没有外接圆. 活动三全称量词命题与存在量词命题 否定的综合应用 新知应用 1.B[7p是假命题，则p是真命题， .ax2十2x十1=0有实数根， 当a=0时，2x十1=0，显然方程有实数根，故a=0符合 要求； 当a≠0时，即有△=4一4a≥0，解得a≤1且a≠0，人教A版数学必修第一册 听 课 学案8全称量词与存在量词 记 昆学习任务 1.理解全称量词、全称量词命题的定义.（数学抽象） 2.理解存在量词、存在量词命题的定义.（数学抽象） 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.（逻辑推理） 课堂活动 (4)Hx∈R,x都有平方根： (5)Hx∈R,都有-x2≤0. 话动一理解全称量词、全称量词命题 阄新知导学 2.判断下列全称量词命题的真假： 阅读教材第26一27页，完成下列问题， (1)所有的素数都是奇数； 问题1下列语句是命题吗？比较①和③，②和 (2)Hx∈R,|x|+1≥1； ④，它们之间有什么关系？ (3)对任意一个无理数x,x2也是无理数， ①x>3;②2x+1是整数； ③对所有的x∈R,x>3; ④对任意一个x∈Z,2x+1是整数， 「方法总结」判断一个命题是否为全称量词命 问题2还有类似“所有的”“任意一个”等常见的 题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“ 同义词吗？举例说明 切”“每一个”“任给”等表示全体的量词，有些命题 的全称量词是隐藏的，要仔细辨别. 活动二理解存在量词、存在量词命题 行新知生成 阄新知导学 1.全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全 阅读教材第27一28页，完成下列问题. 称量词，用符号“H”表示。 问题3下列语句是命题吗？比较①和③，②和 2.全称量词命题 ④，它们之间有什么关系？ 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称 ①2x+1=3; 量题命题“对M中任意一个x,p(x)成立”表 ②x能被2和3整除； 示为Hx∈M,p(x).读作：“对任意x属于M, ③存在一个x∈R,使2x+1=3; 有(x)成立”. ④至少有一个x∈Z,x能被2和3整除. 仓新知应用 1.判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指 出其中的全称量词： 问题4还有类似“存在一个”“至少有一个”等常 (1)每一个多边形的外角和都是360°； 见的同义词吗？举例说明 (2)所有的自然数的平方大于或等于零； (3)对任意的正实数a,a2-a-2>0; 1122 全称量词与存在量词学案8 新知生成 活动三全称量词命题与存在量词 听 1.存在量词 命题的应用 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫 今新知应用 记 做存在量词，并用符号“了”表示. 已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1 2.存在量词命题 ≤x≤2m-1},且B≠0. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在 (1)若命题p:“Hx∈B,x∈A”是真命题，求m 量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可 的取值范围； 用符号简记为3x∈M,p(x).读作：“存在一个 (2)若命题q:“3x∈A,x∈B”是真命题，求m x属于M,使(x)成立”. 的取值范围. 新知应用 1.判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指 出其中的存在量词： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无根； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线 与其垂直； (4)存在一个自然数n,使代数式n2-2n十2的 值是负数 「方法总结」依据含量词命题的真假求参数的！ 取值范围 把命题的真假问题转化为集合间的关系问题，再 转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值： 2.判断下列存在量词命题的真假： 范围. (1)有一个实数x,使x2十2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条 七课堂小结 直线； 判命题 看量词 下结论 (3)有些平行四边形是菱形. 全称量词 全称量词命题 命题量词 应用 存在量词存在量词命题 课堂达标 「方法总结」判断一个命题是否为存在量词命 1.下列命题是“Vx∈R,x2>3”的另一种表述方 式的是 题，主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一 A.有一个x∈R,使得x2>3 个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等表示部分 B.对有些x∈R,使得x2>3 的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细 C.任意一个x∈R,使得x2>3 辨别. D.至少有一个x∈R,使得x2>3 2310 人教A版数学必修第一册 听 2.下列命题中是存在量词命题的是 ( 7.将下列命题用量词符号表示： A.任何一个实数乘以0都等于0 (1)所有实数的平方都是非负数； 笔 B.任意一个负数都比零小 (2)任何一个实数除以1，仍等于这个实数； C.每一个正方形都是矩形 (3)所有自然数都大于等于零， D.一定存在没有最大值的二次函数 3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 () A.Ha∈N,方程ax十1=0有实数根 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a,b,若a一b≤0，则a≤b D.存在一个实数x,使等式x2一2x+1=0 成立 4.下列命题中的假命题是 () A.3x∈R,|x|=0 B.3x∈R,2x-10=1 C.Vx∈R,x3>0 D.Hx∈R,x2+1>0 8.“]m∈A,使得方程mx2-2x+1=0有两个 5.(多选)设非空集合P,Q满足P∩Q=P,且 不同的实数根”是真命题，求集合A. P≠Q,则下列选项中正确的是 () A.Hx∈Q,都有x∈P B.3x∈Q,使得x庄P C.3x∈P,使得x庄Q D.HxQ,都有x庄P 6.若命题“Hx∈{x|1<x<2},x<a”是真命题， 则实数a的取值范围是 课后反思 1124