学案7 充要条件-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

学案7 昆学习任务 1.理解充要条件的意义.（数学抽象) 2.会判断一些简单的充要条件问题.（数学运算） 3.能进行充要条件的证明.（逻辑推理） 4课堂活动 活动一理解充要条件的意义 阄新知导学 阅读教材第20一22页，完成下列问题. 问题下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题 与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边 分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长 相等； (3)若一元二次方程a.x2十bx十c=0有两个不 相等的实数根，则ac<0; (4)若AUB是空集，则A与B均是空集. 厅新知生成 1.逆命题 将命题“若p,则q”中的条件p和结论g互换， 就得到一个新的命题“ ”,称这个命题 为原命题的逆命题， 2.充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均 是真命题，即既有力→q,又有q→力，就记作 p台g.此时，p既是g的条件，也是g的 条件，我们说p是q的 条件，简 称为充要条件.显然，如果p是q的充要条件， 那么q也是p的充要条件。 概括地说，如果p台g,那么p与q互为充要条 件.上述命题(1)(4)中的p与q互为充要 条件. 充要条件学案7 充要条件 听 课笔记 今新知应用 1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？ (1)p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互 相垂直且平分； (2)p:xy>0,q:x<0,y<0; (3)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0} 的一个根，g:a十b+c=0(a≠0)， 2.你能给出“四边形是平行四边形”的充要条 1 件吗？ 「方法总结」一般地，数学中的定义都是充要条 件关系，也是相互等价的 活动二证明（探索）充要条件 新知应用 已知：⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为 d.求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件. 1910 人教A版数学必修第一册 听「方法总结」充要条件证明的两个思路 课 (1)直接法：证明力是q的充要条件，首先要明确 笔 p是条件，q是结论；其次推证p→q是证明充分 记 性，推证q→p是证明必要性. (2)集合思想：记p:A={x|p(x)},q:B={x q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件. 活动三充分不必要、必要不充分、 充要条件的判断 后新知生成 条件p与结论q的关系 结论(p是q的) p→q,且q≯p 充分不必要条件 q→p,且p≯q 必要不充分条件 p→q,且q→p 充要条件 p≯q,且q≯p 既不充分也不必要条件 今新知应用 1.已知a,b为实数，则“a≠0”是“ab≠0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.点P(x,y)是第二象限的点的充要条件是 ( ) A.x<0,y<0 B.x<0,y>0 C.x>0,y>0 D.x>0,y<0 3.“m> ”是“一元二次方程x2十x十m=0无实 4 数根”的 ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 「方法总结」判断充分条件、必要条件及充要条 件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p,则q”以及“若q,则 p”的真假 !(2)集合法：即利用集合的包含关系判断 1120 (3)等价法：即利用台q与q台p的等价关系，一 般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运 用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即 由→p2→…→pn,可得p1→pm,充要条件也具 有传递性。 活动四充分不必要、必要不充分、充要 条件的应用 今新知应用 已知p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m(m> 0),若p是q的必要不充分条件，求实数m的取 值范围. 母题变式：本题中“p是q的必要不充分条件”改 为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变， 求实数m的取值范围. 「方法总结」应用充分不必要条件、必要不充分 条件及充要条件求参数值（范围）的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件 或充要条件转化为集合间的关系. (2)根据集合间的关系构建关于参数的方程（组） 或不等式（组）求解. 课堂小结 充分不必要条件 必要不充分条件 判断 充要条件 应用 既不充分也不必要条件 课堂达标 1.“x=1”是“x2-4x+3=0”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设p:x<3,q:-1<x<3,则p是q的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是 “A二B”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若“x2=4”是“x=m”的必要不充分条件，则m 的一个值可以是 () A.0B.2 C.4 D.16 5.函数y=x2十mx十1的图象关于直线x=1对 称的充要条件是 6.判断下列命题的真假： (1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P 在⊙O外的充要条件； (2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全 等的充分不必要条件； 课后反思 充要条件学案7 (3)AUB=A是B二A的必要不充分条件； 听 (4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分 课 也不必要条件 记 7.若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈ R},试写出： (1)AUB=R的充要条件； (2)AUB=R的一个必要不充分条件； (3)AUB=R的一个充分不必要条件. … 2110C (4)显然，p→q,所以，q是力的必要条件. (5)由于（一1）×0=1×0，但一1≠1，p力q,所以，g不是p的 必要条件」 (6)由于1×√2=√2为无理数，但1，w2不全是无理数，p力q, 所以，g不是卫的必要条件. 母题变式：不唯一.“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一 组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的必要条件 活动二判断充分条件、必要条件 新知应用 1.BCD[对于A,x十y是偶数不一定能推出x,y是偶数，x,y 可以都是奇数，不符合题意；对于B,方程x2一2x十a=0有 实根，则有(-2)2-4a≥0，即a≤1，显然能推出a<2,符合 题意；对于C,因为矩形对角线相等，所以由四边形是矩形能 推出四边形的对角线相等，符合题意；对于D,显然由a=0能 推出ab=O,所以符合题意.故选BCD.] 2.A[,x>4→x>3,∴.“x>4”是“x>3”成立的一个充分条 件，故选A.] 3.必要[设p:两个三角形面积相等9：两个三角形全等，则p 争q,9→p.p是q的必要条件.] 4.②③[对①，当x=1时，显然有x2-2x十1=0，故p→q,即 p是q的充分条件； 对②，当a=5,b=一1时，有a十b>0,但ab<0,故p本q,p 不是q的充分条件； ③四边形的对角线相等≯四边形是平行四边形， p不是q的充分条件.] 5.解：①：x2=2x+1≯x=√2x+I,x=√2x+I→x2=2x十 1,…p是q的必要条件 ②.a2+b2=0→a=b=0→a+b=0,a+b=0≯a2+b2=0, .p是q的充分条件 ③.(x-1)2+(y-2)2=0→x=1且y=2→(x-1)·(y 2)=0, 而(x-1)(y-2)=0肀(x-1)2+(y-2)2=0, .p是q的充分条件. 活动三充分条件与必要条件的应用 新知应用 解：由已知，x∈P的充分条件为x∈Q,则Q二P 当3m一2>5m十2，即m<-2时，Q=0,满足题意， 当3m-2≤5m十2，即m≥-2时，由题意得 m2之2”解得0<m<号， l5m+2<4, 菇上，m的取值范周是{mm<-2或0<m<号}。 母题变式：由题意得，P二Q, 对0,2”解得一吉≤m≤0，即实数m的取位范因 l5m+2≥1， 为{m-≤m<0: 16 课堂达标 1.B[因为p是q的充分条件，所以p→q, 所以g是力的必要条件.故选B.] 2.ABC[由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意；由两 个三角形的两个角分别对应相等，可以推出这两个三角形相 似，所以选项B符合题意；由x|≠1，可以推出x≠1，所以选 项C符合题意；由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a= b=一1，所以本选项不符合题意. 故选ABC.] 3.A 4.CD[A:当a=3,b=2,c=0时，显然ac=bc成立，但推不出 a=b,因此本选项不正确； B:当a=3,b=-4时，显然a>b,但是推不出a2>b2,因此 本选项不正确； C:因为a<3→a<5,所以本选项正确； D:由a十5是无理数能推出a是无理数，所以本选项正确.故 选CD.」 5.{ala<-1}[若“x<一1”是“x≤a”的必要条件， 则{x|x≤a}二{x|x<-1},则a<-1, 即实数a的取值范围是{aa<-1}.门 6.解：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C→AC> AB,所以p是q的充分条件， (2)由x=1→(x一1)(x一2)=0，故是q的充分条件. (3)设集合A={x|x>1},B={x|x>2}, 所以B二A,所以p不是q的充分条件. 7.解：饣：3a<x<a,即集合A={x|3a<x<a}. q:一2≤x≤3，即集合B={x一2≤x≤3}. 因为p是q的充分条件，所以A二B, 13a≥-2， 所以a<3,解得-名≤4<0， 3 a<0, 所以宾起a的取值龙西是o一号<a<0小。 学案7充要条件 课堂活动 活动一 理解充要条件的意义 新知导学 问题提示：不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命 题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 新知生成 1.若q,则p 2.充分必要充分必要 新知应用 1.解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方 形，所以q中p,所以卫不是q的充要条件 (2)因为xy>0时，x<0,y<0不一定成立，所以p市q,所以 p不是q的充要条件， (3)因为“若p,则g”与“若q,则p”均为真命题，即p曰q,所 以p是q的充要条件. 2.解：“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别 相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两组对边 分别平行”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平 行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边 形是平行四边形”的充要条件. 活动二证明（探索）充要条件 新知应用 证明：设p:d=r,q:直线1与⊙0相切. (1)充分性(p→g):如图，作OP⊥l于点P,则OP=d.若d= r,则点P在⊙O上.在直线L上任取一点Q(异于点P),连接 OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的 点都在⊙O的外部，即直线1与⊙O仅有一个公共，点P.所以直 线1与⊙O相切. (2)必要性(q→p):若直线1与⊙O相切，不妨设切点为P,则 OP⊥l.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l1与⊙O相切的充要条件. P Q 活动三充分不必要、必要不充分、 充要条件的判断 新知应用 1.B[a≠0不可以推出ab≠0；但ab≠0，则a一定不为0.故 选B.] 2.B[因为第二象限的点横坐标小于0，纵坐标大于0，所以点 P(x,y)是第二象限的点的充要条件是x<0,y>0.故选B.] 3.B[方程z2+z十m=0无实根台A=1-4m<0付m>行 故选B.] 活动四充分不必要、必要不充分、 充要条件的应用 新知应用 解：p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为力是q的必要不充分条件， 即{x11-m≤x≤1+m}手{x|-2≤x≤10}， 故有m之2”我-m之2解得m≤3。 1+m<10, l1+m≤10， 又m>0, 所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}， 母题变式：解：p:-2≤x≤10，q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为力是g的充分不必要条件， 设p代表的集合为A,g代表的集合为B, 所以A手B. 1-m≤-2，或 1-m<-2, 所以1十m>10, 1+m≥10. 解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9， 即实数m的取值范围是{m|m≥9}. 课堂达标 1.A[若x=1,则x2一4x十3=0，是充分条件， 若x2一4x十3=0，则x=1或x=3,不是必要条件.故选A.] 2.C[因为{x|一1<x<3}军{x|x<3},所以p是g的必要不 充分条件.] 3.A[因为A={1,a},B={1,2,3},若a=3,则A={1,3},所 以A二B,所以a=3→A二B;若A二B,则a=2或a=3,所 以A二B中a=3,所以“a=3”是“A二B”的充分不必要条件.] 4.B[由“x=2”能得出“x2=4”,但由“x2=4”得不出“x=2” 选项B正确.] 5.m=-2[当m=一2时，y=x2一2x十1，其图象关于直线x =1对称，反之也成立，所以函数y=x2十mx十1的图象关于 直线x=1对称的充要条件是m=一2.] 6.解：(1)根据点与圆的位置关系知，点P到圆心O的距离大于 圆的半径是，点P在⊙O外的充要条件. 故(1)为真命题. (2)两个三角形面积相等，则可能同底等高，两个三角形全等， 则面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形 全等的必要不充分条件， 故(2)为假命题. (3)AUB=A是B二A的充要条件. 故(3)为假命题. (4)当x=1,y=√2时，满足“x或y为有理数”，但“xy为有理 数”不成立 当x=y=√2时，满足“xy为有理数”，但“x或y为有理数”不 成立. 故(4)为真命题. 7.解：集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R}. (1)若AUB=R,则b≥一2， 故AUB=R的充要条件是b≥一2. (2)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥一2， ,.AUB=R的一个必要不充分条件可以是b≥一3. (3)由(1)知AUB=R的充要条件是b≥一2， .AUB=R的一个充分不必要条件是b≥-1. 学案8全称量词与存在量词 课堂活动 活动一理解全称量词、全称量词命题 新知导学 问题1提示：语句①②不是命题；语句③④是命题.语句③在 ①的基础上，用短语“所有的”对变量x进行限定；语句④在 ②的基础上，用短语“任意一个”对变量工进行限定 问题2提示：如“一切，每一个，任给”等。 新知应用 1.解：(1)命题中含有全称量词“每一个”，故是全称量词命题. (2)命题中含有全称量词“所有的”，是全称量词命题. (3)命题中含有全称量词“任意的”，是全称量词命题 (4)命题中含有全称量词“H”,是全称量词命题. (5)命题中含有全称量词“H”,是全称量词命题， 2.解：(1)2是素数，但2不是奇数.所以，全称量词命题“所有的 素数都是奇数”是假命题. (2)x∈R,总有x≥0，因而|x十1≥1.所以，全称量词命 题“Hx∈R,|x|+1≥1”是真命题. (3)W2是无理数，但(W2)2=2是有理数.所以，全称量词命题 “对任意一个无理数x,x2也是无理数”是假命题， 7川