学案6 充分条件与必要条件-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 课 学案6充分条件与必要条件 记 昆学习任务 1.理解充分条件、必要条件的概念.（数学抽象） 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.（数学抽象） 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.（逻辑推理、数学运算） 课堂活动 今新知应用 活动一理解充分、必要条件与 1.下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中的 p是q的充分条件？ 命题真假的关系 (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边 阄新知导学 形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角 阅读教材第17一19页，完成下列问题. 形相似； 问题1下列“若p,则q”形式的命题中，哪些是 (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互 真命题？哪些是假命题？ 相垂直； (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平 (4)若x2=1,则x=1; 行四边形是菱形； (5)若a=b,则ac=bc; (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形 (6)若x,y为无理数，则xy为无理数， 全等； (3)若x2-4x十3=0，则x=1; 母题变式：上述命题(1)给出了“四边形是平行四 (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l, 边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角 则a% 分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯 ,你能再给出几个不同的充分条件吗？ 问题2“若p,则q”形式的命题中，p和q存在 怎样的关系？ 「方法总结」我们说p是q的充分条件，是指由 条件p可以推出结论q,但这并不意味着只能由 这个条件p才能推出结论q.一般来说，对给定结 论q,使得q成立的条件p是不唯一的.一般地， 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论 厅新知生成 成立的一个充分条件 2.下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中的 1.一般地，“若p,则g”为真命题，是指由p通过 q是p的必要条件？ 推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推 (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两 出q,记作 ,并且说，p是g的 组对角分别相等； 条件，9是p的 条件。 (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边 2.如果“若p,则q”为假命题，那么由条件p不能 成比例； 推出结论q,记作 此时，我们就说p (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形 不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 是菱形； 1116 充分条件与必要条件学案6 (4)若x=1,则x2=1; 5.指出下列命题中，力是g的什么条件？ 听 (5)若ac=bc,则a=b; ①p:x2=2x十1，q:x=√2x+1; (6)若xy为无理数，则x,y为无理数 笔 ②p:a2+b2=0,q:a+b=0; ③p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2) =0. 母题变式：上述命题(1)给出了“四边形是平行四 边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组 对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗？ 如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形” 的几个其他必要条件吗？ 「方法总结」定义法判断充分条件、必要条件 ①分清条件卫和结论q:分清哪个是条件，哪个是 结论；②找推式：判断“p→q”及“q→p”的真假； ③下结论：根据定义下结论. 「方法总结」我们说q是p的必要条件，是指以 活动三充分条件与必要条件的应用 力为条件可以推出结论q,但这并不意味着由条 件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p,由 新知应用 卫可以推出的结论q是不唯一的.一般地，数学中 已知集合P={x|-2<x<4},Q={x|3m-2≤ 的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的 x≤5m十2，m∈R).若x∈P的充分条件为 一个必要条件. x∈Q,求实数m的取值范围. 活动二判断充分条件、必要条件 今新知应用 1.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中，p是q 的必要条件的有 () 母题变式：已知集合P={x|-2<x<1},Q={x| A.若x,y是偶数，则x十y是偶数 B.若a<2,则方程x2-2x十a=0有实根 3m-2≤x≤5m+2,m∈R}.若x∈P的必要 C若四边形的对角线相等，则这个四边形是 条件为x∈Q,求实数m的取值范围. 矩形 D.若ab=0,则a=0 2.使“x>3”成立的一个充分条件是 A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2 3.“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的 条件.（填“充分”“必要”） 「方法总结」利用充分条件与必要条件求参数 4.下列说法中，p不是g的充分条件的 的取值范围问题，用集合法求解的步骤 是 (1)化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)}; ①p:x=1,9q:x2-2x+1=0; (2)根据力与q的关系（充分条件、必要条件），得 ②设a,b是实数，p:a十b>0,q:ab>0; 出集合A与B之间的包含关系； ③p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四 (3)列出相关不等式（组）（可借助数轴）； 边形 (4)化简，求出参数的取值范围. 1710 人教A版数学必修第一册 听 课堂小结 4.（多选)对任意实数a,b,c,给出下列命题，其中 为真命题的是 () 充分条件与必要条件的判断方法 A.“a=b”是“ac=bc”的必要条件 记 (1)定义法 B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 若→g,g中p,则p是q的充分条件，但不是必 C.“a<5”是“a<3”的必要条件 要条件；若p力q,9→p,则p是q的必要条件，但 D.“a十5是无理数”是“a是无理数”的充分 不是充分条件 条件 (2)集合法 5.若“x<一1”是“x≤a”的必要条件，则a的取值 对于集合A={x|x满足条件p},B={xx满足 范围是 条件q},具体情况如下： 6.指出下列哪些命题p是q的充分条件 (1)在△ABC中，p:∠B>∠C,q:AC>AB; 若A二B,则p是q的充分条件；若A2B,则p (2)已知x,y∈R,p:x=1,q:(x-1)(x-2) 是q的必要条件。 =0; 课堂达标 (3)已知x∈R,p:x>1,q:x>2. 1.若p是q的充分条件，则q是p的 ( A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件也是必要条件 2.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中，p是q 7.已知p:实数x满足3a<x<a,其中a<0;q: 的充分条件的有 ( 实数x满足一2≤x≤3.若p是q的充分条件， A.若x<1,则x<2 求实数a的取值范围. B.若两个三角形的两个角分别对应相等，则这 两个三角形相似 C.若x|≠1，则x≠1 D.若ab>0,则a>0,b>0 3.使“x>1”成立的一个必要条件是 A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 课后反思 I18活动三理解应用补集及集合思想 新知应用 l.(1)C[根据条件画出Venn图，如图，由补集的定义及集合 间的关系可知C正确， (2){1,3,9} {2,3,5,8}[法一：Venn图如图. A B 6 9 A={1,3,9},B={2,3,5,8} 法二：(CB)∩A={1,9}, (CuA)∩(CuB)={4,6,7}, .CB={1,4,6,7,9}. 又U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, .B={2,3,5,8}. .(CB)∩A={1,9},A∩B={3}, .A={1,3,9}.] a=2, 2.2[由题意，知0-2a十3-3，得a=2.] 3.8[设参加数学、物理、化学小组的人数组成的集合分别为 A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如 图所示的Venn图. 26-6-x A B 6 15-4-6 13-4-x 由全班共36名同学可得(26一6-x)+6+(15一4一6)十4十 (13-4-x)+x=36, 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.] 课堂达标 1.B[因为U={0,1,2,4},A={1,4}, 所以CA={0,2}.故选B.] 2.B[A,B均为集合U={1,2,3,4,5}的子集，CB= {3,4,5},则B={1,2},AUB={1,2,3},A∩B={1},则 A={1,3}.] 3.AD[因为一1∈N,0∈N,1∈N,所以M二N,故A正确； 因为2任M,2∈N,所以N二M不成立，故B错误； 因为M二N,所以MUN={x|一1≤x≤2}，故C错误； 因为CRN={x|x<-1或x>2},所以M∩(RN)=⑦，故D正 确.故选AD.] 4.A[因为B={x|1<x≤2}，所以RB={xx≤1或x>2},又A U(CRB)=R,所以a≤l.故选A.] 5.BD[因为A={x|0<x<a},A为非空集合，所以CRA= {xx≤0或x≥a},且a>0, 而B={x|1<x<2},B二CRA,所以a≤1， 综上，0<a≤1，故选BD.] 6.ABD[对于A,由B二A可得AUB=A,故A正确； 对于B,由A∩C=⑦，可得A二CRC,从而A∩(CRC)=A, 故B正确； 对于C,D,结合B二A与A∩C=心，可知B∩C=⑦，又B二 A二CRC,所以B∩(CRC)=B,故C错误，D正确.故 选ABD.] 7.D[如图，设同时参加3个兴趣小组的人数为x,则13一x十 11-x十12-x十2+4十4十x=30,解得x=8,即同时参加3 个兴趣小组的人数为8.故选D 音乐 体育 13-x 12-x 4 科学 11-x 8.{xx≤-2或x≥1}[集合A={x|-2<x<1}, 故CRA={x|x≤-2或x≥1}.] 9.{x|1<x≤2}[因为B={x2<x<5},所以CRB= {x|x≤2或x≥5}， 又因为A={x|1<x<4,所以A∩(CRB)={x|1<x≤2.] 学案6充分条件与必要条件 课堂活动 活动一理解充分、必要条件与 命题真假的关系 新知导学 问题1提示：在命题(1)(4)中，由条件力通过推理可以得出结 论q,所以它们是真命题.在命题(2)(3)中，由条件力不能得 出结论g,所以它们是假命题. 问题2提示：若命题为真，则p→q.若命题为假，则p力q. 新知生成 1.p→q充分必要 2.p力q 新知应用 1.(1)这是一条平行四边形的判定定理，p→q,所以p是9的充 分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理，p→q,所以力是q的充 分条件。 (3)这是菱形的一条性质定理，p→q,所以p是q的充分 条件 (4)由于（一1）2=1，但一1≠1，p市q,所以p不是q的充分 条件. (5)由等式的性质知，力→q,所以p是g的充分条件。 (6)W2为无理数，但√2X√2=2为有理数，p中q,所以力不是 q的充分条件。 母题变式：不唯一，“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一 组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的充分条件. 2.(1)这是平行四边形的一条性质定理，p→q,所以，q是p的 必要条件， (2)这是三角形相似的一条性质定理，p→q,所以，q是p的 必要条件. (3)如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， p本q,所以q不是p的必要条件. 51 C (4)显然，p→q,所以，q是力的必要条件. (5)由于（一1）×0=1×0，但一1≠1，p力q,所以，g不是p的 必要条件」 (6)由于1×√2=√2为无理数，但1，w2不全是无理数，p力q, 所以，g不是卫的必要条件. 母题变式：不唯一.“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一 组对边平行且相等”“四边形的两条对角线互相平分”都是 “四边形是平行四边形”的必要条件 活动二判断充分条件、必要条件 新知应用 1.BCD[对于A,x十y是偶数不一定能推出x,y是偶数，x,y 可以都是奇数，不符合题意；对于B,方程x2一2x十a=0有 实根，则有(-2)2-4a≥0，即a≤1，显然能推出a<2,符合 题意；对于C,因为矩形对角线相等，所以由四边形是矩形能 推出四边形的对角线相等，符合题意；对于D,显然由a=0能 推出ab=O,所以符合题意.故选BCD.] 2.A[,x>4→x>3,∴.“x>4”是“x>3”成立的一个充分条 件，故选A.] 3.必要[设p:两个三角形面积相等9：两个三角形全等，则p 争q,9→p.p是q的必要条件.] 4.②③[对①，当x=1时，显然有x2-2x十1=0，故p→q,即 p是q的充分条件； 对②，当a=5,b=一1时，有a十b>0,但ab<0,故p本q,p 不是q的充分条件； ③四边形的对角线相等≯四边形是平行四边形， p不是q的充分条件.] 5.解：①：x2=2x+1≯x=√2x+I,x=√2x+I→x2=2x十 1,…p是q的必要条件 ②.a2+b2=0→a=b=0→a+b=0,a+b=0≯a2+b2=0, .p是q的充分条件 ③.(x-1)2+(y-2)2=0→x=1且y=2→(x-1)·(y 2)=0, 而(x-1)(y-2)=0肀(x-1)2+(y-2)2=0, .p是q的充分条件. 活动三充分条件与必要条件的应用 新知应用 解：由已知，x∈P的充分条件为x∈Q,则Q二P 当3m一2>5m十2，即m<-2时，Q=0,满足题意， 当3m-2≤5m十2，即m≥-2时，由题意得 m2之2”解得0<m<号， l5m+2<4, 菇上，m的取值范周是{mm<-2或0<m<号}。 母题变式：由题意得，P二Q, 对0,2”解得一吉≤m≤0，即实数m的取位范因 l5m+2≥1， 为{m-≤m<0: 16 课堂达标 1.B[因为p是q的充分条件，所以p→q, 所以g是力的必要条件.故选B.] 2.ABC[由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意；由两 个三角形的两个角分别对应相等，可以推出这两个三角形相 似，所以选项B符合题意；由x|≠1，可以推出x≠1，所以选 项C符合题意；由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a= b=一1，所以本选项不符合题意. 故选ABC.] 3.A 4.CD[A:当a=3,b=2,c=0时，显然ac=bc成立，但推不出 a=b,因此本选项不正确； B:当a=3,b=-4时，显然a>b,但是推不出a2>b2,因此 本选项不正确； C:因为a<3→a<5,所以本选项正确； D:由a十5是无理数能推出a是无理数，所以本选项正确.故 选CD.」 5.{ala<-1}[若“x<一1”是“x≤a”的必要条件， 则{x|x≤a}二{x|x<-1},则a<-1, 即实数a的取值范围是{aa<-1}.门 6.解：(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C→AC> AB,所以p是q的充分条件， (2)由x=1→(x一1)(x一2)=0，故是q的充分条件. (3)设集合A={x|x>1},B={x|x>2}, 所以B二A,所以p不是q的充分条件. 7.解：饣：3a<x<a,即集合A={x|3a<x<a}. q:一2≤x≤3，即集合B={x一2≤x≤3}. 因为p是q的充分条件，所以A二B, 13a≥-2， 所以a<3,解得-名≤4<0， 3 a<0, 所以宾起a的取值龙西是o一号<a<0小。 学案7充要条件 课堂活动 活动一 理解充要条件的意义 新知导学 问题提示：不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命 题都是真命题；命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 新知生成 1.若q,则p 2.充分必要充分必要 新知应用 1.解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方 形，所以q中p,所以卫不是q的充要条件 (2)因为xy>0时，x<0,y<0不一定成立，所以p市q,所以 p不是q的充要条件， (3)因为“若p,则g”与“若q,则p”均为真命题，即p曰q,所 以p是q的充要条件. 2.解：“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别 相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的两组对边 分别平行”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平 行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边 形是平行四边形”的充要条件.