学案3 集合间的基本关系-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

新知生成 所有元素一一列举出来花括号“{}” 新知应用 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为M,那么M={0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为N,那么N= {0,1}. (3)设不大于10的非负偶数组成的集合为A,所以A={0, 2,4,6,8,10}. (4)设小于8的质数组成的集合为B, 所以B={2,3,5,7}. (5)由y=x+3, =-2x+6, 得1， y=4. 设一次函数y=x十3与y=一2x+十6的图象的交点组成的集 合为C, 所以C={(1,4)}. 活动二用描述法表示集合 新知导学 问题3提示：不能，元素的个数无限，是无限集 问题4提示：是所有奇数的一个共同特征，偶数集表示为{x∈ Zx=2k,k∈Z}. 新知生成 共同特征{x∈A|P(x)} 新知应用 1.解：(1)设x∈A,则x是一个实数，且x2一2=0. 因此，用描述法表示为A={x∈Rx2一2=0}. 方程x2一2=0有两个实数根√2，一√2，因此，用列举法表示 为A={2,一√2}. (2)设x∈B,则x是一个整数，即x∈Z,且10<x<20.因 此，用描述法表示为B={x∈Z10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19， 因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 2.解：(1)方程一2x2十x=0的所有实数根组成的集合可表示 为{x|-2x2十x=0}. (2)用描述法表示为{x∈Z2<x<7}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐 标为正，即x<0,y>0,故第二象限内的点组成的集合为 D={(x,y)|x<0,y>0}. 活动三集合表示方法的综合应用 新知应用 1.BCD[根据集合的概念易知A正确， B错误，方程的根为 工=2，。故其解集应写成(2，一2)》. y=-2, C错误，{(x,y)y=1一x}是由直线y=1一x上的所有点组 成的集合，{x|y=1一x}是由符合y=1一x的所有x的值构 成的集合，二者不相等. D错误，由题意可知，A={一1,0,1}，所以一1.1度A. 故选BCD.] 2 2.解：当a=0时，原方程变为2x十1=0，此时x=一2，符 合题意； 当a≠0时，原方程ax2十2x十1=0为一元二次方程 故当△=4一4a=0,即a=1时，原方程的根为x=一1，符合 题意， 故当a=0或Q=1时，原方程只有一个根，此时A中只有一 个元素. 课堂达标 1.C[解方程x2一1=0得x=士1，故方程x2一1=0的解集 为{-1,1}.] 2.B[由题意可得x<5,x∈N", x=1,2,3,4,即用列举法可表示为{1,2,3,4}.故选B.] 3.D[{1,√2，√3,2，√5，…}中的元素满足√n,n∈N,所以{1， √2，w3,2,5,…}={x|x=√n,n∈N*},故选D.] 4.{-1,4}[.4∈A,.16-12+a=0,∴.a=-4, .A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.] 5.{x∈R|0<x<9}[大于0且小于9的实数x的集合为 {x∈R|0x<9}.] 学案3集合间的基本关系 课堂活动 活动一理解子集、真子集的概念及Venn图 新知导学 问题1提示：可以发现，在(1)中，集合A的任何一个元素都是 集合B的元素.这时我们说集合A包含于集合B,或集合B 包含集合A.(2)中的集合C与集合D也有这种关系. 问题2提示：集合相等. 问题3提示：集合A中的元素都是集合B中的元素，且集合 B中至少有一个元素（如2）不是集合A中的元素. 新知生成 1.A≤B 3.任何一个任何一个A=BA二BB二A 4.x庄AA至BA真包含于B 新知应用 1.D[因为集合M中的元素都在集合N中，但是存在2∈N, 3∈N,且2M,3氏M,所以MN.故选D.] 2.解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的 子集. (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行 四边形，所以集合A是集合B的子集， 3.解：(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所 示，由图可知A手B. B A 32十01234367 (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，故A手B, (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数 对，故A与B之间无包含关系. (4)M={正奇数}，N={不含1的正奇数}，故N手M. 活动二理解空集的概念 新知导学 问题4提示：方程x2十1=0没有实数根，所以方程x2十1=0 的实数根组成的集合中没有元素. 新知应用 解：集合{a,b}的所有子集为⑦，{a},{b),{a,b}.真子集为必， {a},{b}. 活动三掌握子集、真子集、空集的性质 新知应用 1.7[由题意可得{1,2}M二{1,2,3,4,5}，可以确定集合M 必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据 集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有7个.] 2.{m|1<m≤4}[由于B二A,结合数轴分析可知，m≤4， 又m>1,所以1<m≤4. 3-2-10123m4x] 3.解：各集合之间的关系为D手C手B手A,用Venn图表示如 图所示. 课堂达标 1.C[集合N的真子集有：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3， 5},共7个.] 2.∈∈==[(1)元素a属于集合{a,b,c}, 故a∈{a,b,c}. (2)元素x=0满足x2=0,故0∈{x|x2=0}. (3)因为x2+1=0在x∈R时无解，故={x∈R|x2+ 1=0}. (4)因为0,1均属于自然数，故集合{0,1}军N! (5)因为x2=x→x=0,1,故{0}年{xx2=x). (6)因为x2一3x+2=0的根为x=1,2.故{2,1}={xx2 3x+2=0}.] 3.解：(1)根据数轴可知，A={x|x<0}表示x=0左边的数的 集合，B={x|x<1}表示x=1左边的数的集合，故A手B, (2)A={x|x=3k,k∈N}表示由3的非负整数倍组成的 集合， B={x|x=6之，之∈N}表示由6的非负整数倍组成的集合，故 B丢A (3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，即20的正整数倍 组成的集合，B={x|x=20m,m∈N+}也表示由20的正整 数倍组成的集合，故A=B. 学案4并集与交集 课堂活动 活动一并集的运算 新知导学 问题1提示：集合A中的元素都属于集合C,集合B中的元 素都属于集合C,集合C是由所有属于集合A或属于集合B 的元素组成. 新知生成 1.所有属于集合A或属于集合BAUB{x|x∈A或 x∈B} 新知应用 1.D[由题意可知M={2,3,5},所以MUN={1,2,3,5}.故 选D.] 2.A[如图所示，则AUB={xx≤3，或x>4}. 2-101234 3.D[{-1,0,1}U{0,2,3}={-1,0,1,2,3},故D符合 题意.门 4.A[MUN={x|-4<x≤1}U{x|-1<x<3}={x|-4< x<3}.] 5.解：AUB={4,5,6,8}U{3,5,7,8} ={3,4,5,6,7,8}. 6.解：AUB={x|-1<x<2}U{x|1<x<3} ={x|-1<x<3}. 活动二交集的运算 新知导学 问题2提示：在上述三个问题中，集合C是由所有既属于集合 A又属于集合B的元素组成的， 新知生成 1.所有属于集合A且属于集合BA∩B{x|x∈A,且 x∈B} 新知应用 1.A[依题意得，对于集合B中的元素x,满足x十1=1,2,3， 4,5,9, 则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B={0,1,2,3,4,8}, 于是A∩B={1,2,3,4}.故选A.] 2.D[M=z0≤x<16,N={z≥}，故MnN= 号<<16选D] 3.0 4.{8}{8〉[依题意，有A∩B=(2,4,6,8,10}∩{3,5,8,12}=8}； B∩C={8},所以A∩(B∩C)={2,4,6,8,10}∩{8}={8.] 5.解：平面内直线11，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、 平行或重合， (1)直线l1,12相交于一，点P可表示为L1∩L2={点P}; (2)直线l1,l2平行可表示为L1∩L2=☑： (3)直线11，l2重合可表示为L1∩L2=L1=L2 活动三集合并集与交集的综合应用 新知应用 1.解：A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={1,2,3},C={3,4,5,6}, .A∩B={1,2,3},A∩C={3,4,5,6},A∩(BUC)= {1,2,3,4,5,6},AU(B∩C)={1,2,3,4,5,6,7,8}. 2.解：M∩N={3},.3∈M, ∴a2-3a-1=3,即a2-3a-4=0,解得a=-1或a=4. 3集合间的基本关系 学案3 学案3集合间的基本关系 听 课笔记 昆学习任务 1.理解集合之间的包含与相等的含义.（数学抽象) 2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系.（数学运算） 3.在具体情境中，了解空集的含义.（数学抽象） 课堂活动 厅新知生成 活动一理解子集、真子集的概念及Venn图 1.子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集 阄新知导学 合A为集合B的子集，记作 (或B2 阅读教材第7一8页，完成下列问题， A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 问题1类比实数之间的相等关系、大小关系，你 2.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲 能发现下面两个集合之间的关系吗？ 线的内部代表集合，这种图称为Venn图.这 (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}; 样，上述集合A与集合B的包含关系，可以用 (2)C为立德中学高一(2)班全体女生组成的集 Venn图表示，如图所示， 合，D为这个班全体学生组成的集合； (3)E={x|x是两条边相等的三角形}，F={xx 是等腰三角形}. 3.集合相等：一般地，如果集合A的 元 素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B 相等，记作 也就是说，若 且 ,则A=B, 问题2与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则 A二B, a=b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？ 即A=B台 B≤A. 4.真子集 如果集合A二B,但存在元素x∈B, 定义 且 ,就称集合A是集合B的 真子集 记法与 记作 (或B吴A),读作“ 读法 (或“B真包含A”) 问题3观察下面的集合，并指出它们元素间的 关系：A={1,3,5},B={1,2,3,4,5,6} 图示 今新知应用 1.已知集合M={1},N={1,2,3),能够准确表 示集合M与N之间关系的是 () A.M<N B.M∈N C.NCM D.M￥N 710 人教A版数学必修第一册 听 2.判断下列各题中集合A是否为集合B的子集， 今新知应用 并说明理由： 笔 (1)A={1,2,3},B={xx是8的约数}； 写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的 (2)A={x|x是长方形}，B={xx是两条对 真子集。 角线相等的平行四边形}. 「方法总结」求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：☑和自身. 3.指出下列各对集合之间的关系： (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一 (1)A={x|-1<x<4},B={xlx-5<0}; 写出，保证不重不漏 (2)A={x|x是等边三角形}，B={xx是等 腰三角形}； 活动三掌握子集、真子集、空集的性质 (3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1), 同新知生成 (1,-1),(1,1)}; (4)M={xlx=2n-1,n∈N*},N={x|x= 1.任何一个集合是它本身的子集，即A二A. 2n+1,n∈N*}. 2.对于集合A,B,C,若A二B,且B二C, 则A三C. 3.(1)空集只有一个子集，即它的本身，☑三0； (2)若A≠0，则军A. 新知应用 1.满足{1,2}手M二{1,2,3,4,5}的集合M有 「方法总结」判断集合关系的方法 个· 列举 当集合中元素较少时，可列出集合中的全 2.已知A={x|-3≤x≤4}，B={x|1<x<m} 观察法 部元素，通过定义得出集合之间的关系 (m>1),且BA,则实数m的取值范 集合元 首先确定集合的元素是什么，弄清集合元 围是 素特征法 素的特征，再利用集合元素的特征判断关 系 3.指出下列各集合之间的关系，并用Venn图 数形 利用数轴或Vem图，不等式的解集之间的 表示： 结合法 关系，适合用数轴法 A={x|x是四边形}，B={x|x是平行四边 注意：A军B首先要满足A二B,其次至少有一个 形}，C={xx是矩形}，D={xx是正方形} 元素x∈B,但x庄A. 活动二理解空集的概念 阄新知导学 阅读教材第8页，完成下列问题. 问题4方程x2+1=0的实数根组成的集合中 有哪些元素？ 「方法总结」利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将 各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意 厅新知生成 验证端点值. 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记 (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合 为￠，并规定：空集是任何集合的子集. 的子集. 118 集合间的基本关系 学案3 课堂小结 2.用适当的符号填空： (1)a {a,b,c};(2)0 {x|x2= 概念 0}；(3)0 {x∈Rx2+1=0}; 课笔 子集 图示 (4){0,1} N;(5){0} {x|x2= x};(6){2,1} {x|x2-3x+2=0}. 性质 3.判断下列两个集合之间的关系： 集合 概念 (1)A={x|x<0},B={x|x<1}; 间的 真子集 图示 (2)A={x|x=3k,k∈N},B={xx=6z,之∈N); 基本 (3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数}，B= 关系 性质 {x|x=20m,m∈N+}. 等 互为子集 注意： 集合 集合的子集 子集的个数 0 0 {a} ,{a} {a,b} ,{a},{b},{a,b} 4 ,{a},{b),{c},{a,b}, a,b,c 8 {a,c},{b,c},{a,b,c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1,a2,…,am}的所 有子集的个数是2”，真子集的个数是2”一1，非空 真子集的个数是2”一2. 课堂达标 1.已知集合N={1,3,5},则集合N的真子集的 个数为 ) A.5 B.6 C.7 D.8 课后反思 91