学案2 集合的表示-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

校本学案参 第一章集合与常用逻辑用语 学案1集合的概念 课堂活动 活动一理解元素与集合的基本概念 新知导学 问题1提示：例(3)到例(6)都能组成集合 例(3)的元素是边长取任意正实数的每一个正方形；例(4)的 元素是到直线的距离等于定长d的每一个点，它们构成两 条平行于1的直线；例(5)的元素是1和2：例(6)的元素是太 平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。 问题2提示：指的都是“所有的”，即某种研究对象的全体，而 且这些对象都有一个明确的客观标准来衡量： 新知生成 1.研究对象 2.总体 新知应用 ACD[A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成集合；B 中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合；C中，方程x2 一1=0的实数根为一1和1，能构成集合；D中，自然数具有确 定性，能构成集合.门 活动二掌握集合中元素的特征 新知导学 问题3提示：能，因为集合中的元素是确定的（确定性）；有三 个元素，因为集合中的元素是互不相同的（互异性）. 问题4提示：两个集合相等，集合中的元素没有先后顺序（无 序性) 新知生成 1.确定性互异性无序性 2.一样的 新知应用 1.C[方程x2一4x十3=0的根为1,3，方程x2一5x十6=0的 根为2,3，由于两方程有相同的根3，故集合A中有3个元 素.故选C.] 2.一1或3[由题意得m2一2m=3,所以m=一1或m=3.] 活动三厘清元素与集合的关系 新知导学 问题5提示：给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合 中就确定了， 问题6提示：2是集合A中的元素，4不是集合A中的元素. 新知生成 1.a∈AatA 2.N*N+Q 新知应用 1.∈∈t∈∈∈ 考答案与精析 ①x=2或x=-5或x=1②x=-5或x=1③x=-5 或x=1④x=1 3.a>-4[因为2∈A,所以2X2+a>0,即a>-4.] 母题变式：(1)a≥2[：集合A是不等式x-a>0的解集，且 2年A,∴.2-a≤0，即a≥2.] (2)解：因为A中含有3个元素且3∈A,所以x=3或x2一2x =3. 当x=3时，x2一2x=3=x,不满足互异性，故x≠3. 当x2一2x=3时，解得x=一1或x=3(舍去). 当x=一1时，集合A中的元素为1，一1,3，符合题意， 综上，x的值为一1. 课堂达标 1.B[由题意可知，集合A中的元素分别为我，和，的，祖，国， 共5个.故选B.] 2.AC[2是实数，4=2是有理数，|-3=3是非负整数， |一√3=√3是无理数.因此AC正确，BD错误.故选AC.] 3.D[W5>1,故5gM,-2<0<1,故0∈M,14M,-2×- <1,故-2∈M,故选D.] 4AB[当zy海大于李时，高十六=1+1=2：当工y中 y 一个大于零，另一个小于零时，白十立=0：当x,y都小于 y 零时，口十立=-1-1=一2，根据元素与集合的关系，可 知0∈M,1tM,-2∈M,2∈M.] 5.BC[A不正确，如a=1∈N,】=1∈N;D不正确，知a=-1 ∈R,√a无意义；B,C都正确.门 6.②③[①根据集合中元素的特征可判断某校高一年级的数 学教师具有确定性，能组成一个集合，故①正确； ®号号引号=8由类合中无孝的互并性加，成个类合 中有6个元素，故②不正确； ③两个集合中的元素相同，只是排列顺序不同，由集合中元 素的无序性知，它们表示同一个集合，故③不正确.] 7.m≠2[由题意可知，m2一4m≠一4，解得m≠2.门] 8.3[因为4∈M,且集合M中有两个元素3和a十1，所以4= a十1，所以a=3.] 学案2集合的表示 课堂活动 活动一用列举法表示集合 新知导学 问题1提示：把集合的元素一一列举出来，并用“，”隔开，用花 括号“{}”表示集合 问题2提示：能一一列举，A={泰山，华山，衡山，恒山，嵩山}. 1 新知生成 所有元素一一列举出来花括号“{}” 新知应用 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为M,那么M={0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9} (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为N,那么N= {0,1}. (3)设不大于10的非负偶数组成的集合为A,所以A={0, 2,4,6,8,10}. (4)设小于8的质数组成的集合为B, 所以B={2,3,5,7}. (5)由y=x+3, =-2x+6, 得1， y=4. 设一次函数y=x十3与y=一2x+十6的图象的交点组成的集 合为C, 所以C={(1,4)}. 活动二用描述法表示集合 新知导学 问题3提示：不能，元素的个数无限，是无限集 问题4提示：是所有奇数的一个共同特征，偶数集表示为{x∈ Zx=2k,k∈Z}. 新知生成 共同特征{x∈A|P(x)} 新知应用 1.解：(1)设x∈A,则x是一个实数，且x2一2=0. 因此，用描述法表示为A={x∈Rx2一2=0}. 方程x2一2=0有两个实数根√2，一√2，因此，用列举法表示 为A={2,一√2}. (2)设x∈B,则x是一个整数，即x∈Z,且10<x<20.因 此，用描述法表示为B={x∈Z10<x<20}. 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19， 因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}. 2.解：(1)方程一2x2十x=0的所有实数根组成的集合可表示 为{x|-2x2十x=0}. (2)用描述法表示为{x∈Z2<x<7}. (3)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐 标为正，即x<0,y>0,故第二象限内的点组成的集合为 D={(x,y)|x<0,y>0}. 活动三集合表示方法的综合应用 新知应用 1.BCD[根据集合的概念易知A正确， B错误，方程的根为 工=2，。故其解集应写成(2，一2)》. y=-2, C错误，{(x,y)y=1一x}是由直线y=1一x上的所有点组 成的集合，{x|y=1一x}是由符合y=1一x的所有x的值构 成的集合，二者不相等. D错误，由题意可知，A={一1,0,1}，所以一1.1度A. 故选BCD.] 2 2.解：当a=0时，原方程变为2x十1=0，此时x=一2，符 合题意； 当a≠0时，原方程ax2十2x十1=0为一元二次方程 故当△=4一4a=0,即a=1时，原方程的根为x=一1，符合 题意， 故当a=0或Q=1时，原方程只有一个根，此时A中只有一 个元素. 课堂达标 1.C[解方程x2一1=0得x=士1，故方程x2一1=0的解集 为{-1,1}.] 2.B[由题意可得x<5,x∈N", x=1,2,3,4,即用列举法可表示为{1,2,3,4}.故选B.] 3.D[{1,√2，√3,2，√5，…}中的元素满足√n,n∈N,所以{1， √2，w3,2,5,…}={x|x=√n,n∈N*},故选D.] 4.{-1,4}[.4∈A,.16-12+a=0,∴.a=-4, .A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.] 5.{x∈R|0<x<9}[大于0且小于9的实数x的集合为 {x∈R|0x<9}.] 学案3集合间的基本关系 课堂活动 活动一理解子集、真子集的概念及Venn图 新知导学 问题1提示：可以发现，在(1)中，集合A的任何一个元素都是 集合B的元素.这时我们说集合A包含于集合B,或集合B 包含集合A.(2)中的集合C与集合D也有这种关系. 问题2提示：集合相等. 问题3提示：集合A中的元素都是集合B中的元素，且集合 B中至少有一个元素（如2）不是集合A中的元素. 新知生成 1.A≤B 3.任何一个任何一个A=BA二BB二A 4.x庄AA至BA真包含于B 新知应用 1.D[因为集合M中的元素都在集合N中，但是存在2∈N, 3∈N,且2M,3氏M,所以MN.故选D.] 2.解：(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的 子集. (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行 四边形，所以集合A是集合B的子集， 3.解：(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所 示，由图可知A手B. B A 32十01234367 (2)等边三角形是特殊的等腰三角形，故A手B, (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数 对，故A与B之间无包含关系. (4)M={正奇数}，N={不含1的正奇数}，故N手M. 活动二理解空集的概念 新知导学 问题4提示：方程x2十1=0没有实数根，所以方程x2十1=0 的实数根组成的集合中没有元素.人教A版数学必修第一册 课 学案2集合的表示 记 昆学习任务 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法.（数学抽象） 2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.（数学运算） 课堂活动 (3)不大于10的非负偶数组成的集合； (4)小于8的质数组成的集合； 活动一用列举法表示集合 (5)一次函数y=x十3与y=一2x十6的图象的 阄新知导学 交点组成的集合 阅读教材第3页，完成下列问题， 问题1“地球上的四大洋”组成的集合可以表示 为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程x2 一3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表 示为{1,2}，它们表示形式的共同特点是什么？ 「方法总结」用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素. (2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列 问题2A是由中国的“五岳”组成的集合，集合 举一次 A中的元素能一一列举出来吗？如何表示集 (3)将所有元素用花括号括起来. 合A? 注意元素的书写形式，是数字还是数对或是其他 形式，如上述(5)中的集合不能写为{1,4). 活动二用描述法表示集合 阄新知导学 阅读教材第4一5页，完成下列问题. 问题3你能用列举法表示不等式x一7<3的解 怎新知生成 集吗？ 把集合的 ,并用 括起来表 示集合的方法叫做列举法。 今新知应用 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合； 14 集合的表示学案2 问题4奇数集可以表示为{x∈Zx=2k十1， (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集 听 k∈Z},其中x=2k十1(k∈Z)是什么含义？能 合B. 笔 用同样的方法表示偶数集吗？ 厅新知生成 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有 具有 P(x)的元素x所组成的集合表示 为 ,这种表示集合的方法称为描述法。 [微提醒] 1.写清集合中元素的代表符号，如{xx>1}不能 2.用描述法表示下列集合： 写成{x>1}. (1)方程一2x2+x=0的所有实数根组成的 2.语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如 集合； {x∈Zx=2m}中m未被说明，故此集合中的元 (2)大于2且小于7的整数组成的集合； 素是不确定的， (3)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的 3.所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Zx 集合D. 2m},m∈N*”不符合书写要求，应将“m∈N*”写 进“{}”中，即{x∈Zx=2m,m∈N*}. 4.元素的取值（或变化范围），从上下文的关系来 看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集 合D={x∈Rx<20}也可表示为D={x|x<20. 新知应用 1.试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x2一2=0的所有实数根组成的集 合A; 「方法总结」 用描述法表示集合的2个步骤 写代表 分清楚集合中的元素是点还是数或是 元素 其他的元素 V 明确元素 将集合中元素所具有的共同特征写在 的特征 竖线的后面 5川 人教A版数学必修第一册 活动三集合表示方法的综合应用 课堂小结 新知应用 自然语言 记 1.(多选)下列说法错误的是 集合的表示 C ) 列举法 集合语言 A.在平面直角坐标系内，第一、三象限的点组 描述法 成的集合为{(x,y)xy>0} 课堂达标 B.方程√x-2+|y十2|=0的解集为{-2,2} 1.方程x2一1=0的解集用列举法表示为( C.集合{(x,y)|y=1-x}与{x|y=1-x}是 A.{x2-1=0} 相等的 B.{x∈Rx2-1=0} D.若A={x∈Z-1≤x≤1}，则-1.1∈A C.{-1,1} 2.已知集合A={xax2+2x+1=0,a∈R},若 D.以上都不对 A中只有一个元素，求a的值. 2.集合{x∈N*|x一3<2}用列举法可表示为 ( A.{0,1,2,3,4}》 B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 3.集合{1，√2，√3,2，√5，…}用描述法可表示为 A.{x|x≥1} B.{x|x≤√5} C.{x|x=√n} D.{xlx=√n,n∈N*} 「方法总结」若已知集合是用描述法给出的，读 懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如上 4.设集合A={x|x2-3x十a=0},若4∈A,用列 述集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把 举法表示集合A为 集合的元素个数问题转化为方程的根的个 5.用描述法表示大于0且小于9的实数x的集合 数问题. 为 课后反思 116