专题01 反比例函数（期中复习讲义）九年级数学上学期湘教版

专题01 反比例函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与表达式 能准确判断函数类型，根据实际问题（如面积、行程）列出关系式（如）。 常以选择题（占30%）或填空题（20%）考查定义和表达式，易混淆正比例与反比例函数。 反比例函数的图象与性质 熟练画出双曲线图象，掌握（一、三象限）和（二、四象限）的性质差异。 90%概率出现在选择题或解答题中，常考函数值比较或增减性分析，注意符号的影响。 比例系数的几何意义 理解表示矩形面积，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题。 高频考点（占50%），常结合几何图形在填空题或解答题中考查，需强化数形结合能力。 反比例函数与一次函数综合 联立方程求交点坐标，利用图象解决实际问题（如工程效率、动态几何）。 压轴题常见（占50%），多与一次函数、几何图形结合，难点为动态问题中的函数分析。 知识点01 反比例函数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… 示例：判断下列函数是否为反比例函数： （是） （是） （否，指数不为1） 实际问题：矩形的面积 ，长 与宽 的关系为 。 易错点：混淆反比例函数与正比例函数（如 vs ）。 忽略 的条件。 知识点02 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 示例：画出 和 的图象，说明分布象限及增减性。 比较 在 和 时的函数值大小。 易错点：画图象时忽略双曲线的渐近性（不与坐标轴相交）。增减性错误：当 ， 随 增大而减小（不是“增大”）。 知识点03 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 示例：如图，双曲线 上点 向坐标轴作垂线，求矩形面积（答案：4）。 若点 在 上，且 面积为3，求 （注意 的符号）。 易错点：忽略 的绝对值意义，导致面积计算错误。 未明确几何图形与 的关系（如三角形面积为 ）。 知识点4 求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 示例：已知双曲线过点 ，求解析式（）。 反比例函数与一次函数 交于点 ，求反比例函数解析式 易错点：代入坐标时未注意符号（如 代入得 ）。 混淆待定系数法与直接求解。 知识点5 反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 示例：工程问题：甲队单独完成工程需12天，乙队效率 与甲队效率 的关系为 。 物理问题：电压 一定时，电流 与电阻 的关系 。 易错点：忽略实际问题中变量的非负性（如时间、长度不能为负）。 单位不统一导致计算错误（如 km 与 m 混用）。 题型一 k的几何意义综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想：看到双曲线上的点向坐标轴作垂线，优先考虑|k|表示矩形面积，三角形面积为|k|/2。 怎么做： 步骤1：设点坐标（a, k/a），表示矩形面积= |a×(k/a)|=|k|。 步骤2：若涉及三角形面积，注意除以2。 易｜错｜点｜拨 避坑： 当k为负时，面积仍为正（用绝对值）。 若图形不完整（如部分在象限外），需分类讨论。 【典例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1】（24-25九年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图象经过点E，与边交于点F，连接，，．若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为 ． 题型二 实际问题中的反比例关系（跨学科题型） 解｜题｜技｜巧 步骤1：根据题意列y=k/x，确定k的实际意义（如k=路程）。 步骤2：注意单位统一和实际意义（如时间不能为负）。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制（如x>0）。 混淆正比例与反比例关系。 【典例1】（24-25九年级上·广东茂名·期中）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于 （）． 【典例2】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，则该台灯的电阻R的取值范围为________． 【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 题型三 反比例函数与一次函数综合问题（跨章节题型） 解｜题｜技｜巧 联立方程求交点 怎么想？：当题目要求反比例函数 与一次函数 的交点时，直接联立方程求解。 怎么做？： 解这个二次方程，得到 的值，再代入求 。 注意：方程可能有两个解（两个交点）、一个解（相切）或无解（不相交）。 利用图象分析函数值大小 怎么想？：比较反比例函数和一次函数的函数值时，先画大致图象，找到交点，再分段比较。 怎么做？： 若 ，反比例函数图象在一、三象限；若 ，在二、四象限。 一次函数 的斜率和截距决定图象走向。 关键点：找到交点，划分区间，比较大小。 面积问题（与坐标轴围成的三角形、四边形） 怎么想？：若题目涉及面积，通常利用交点坐标计算几何图形的面积。 怎么做？： 先求交点 和 。 若求 的面积，可用公式： 若求反比例函数与坐标轴围成的矩形面积，直接用 。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制 错误：解方程时忘记 ，导致错误解。 避坑：解完方程后，检查 是否在定义域内（如 ）。 漏解或多解 错误：解二次方程时，只考虑正解，忽略负解（如 和 都可能是交点）。 避坑：解方程时，所有实数解都要考虑，并代入验证。 增减性分析错误 错误：认为 时， 随 增大而增大（实际上 随 增大而减小）。 避坑：记住： ： 随 增大而减小（一、三象限）。 ： 随 增大而增大（二、四象限）。 面积计算错误 错误：计算三角形面积时，直接用 ，但忘记绝对值。 避坑：面积公式必须加绝对值，避免负值导致错误。 图象画错导致比较错误 错误：比较函数值时，未正确画出反比例函数和一次函数的图象，导致大小关系判断错误。 避坑：先画交点，再分段分析（如 、、）。 【典例1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【典例2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【变式1】（23-24九年级下·四川成都·期中）已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【变式2】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．已知点、的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列不是y关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．点均在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是（   ） A．反比例函数的图象是双曲线，有两支 B．反比例函数的图象无限接近两坐标轴但不能相交 C．反比例函数的图象在第一、二象限，或者在第三、四象限 D．反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形 4．在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 5．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 6．某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 7．（24-25九年级下·吉林松原·期中）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024·江西宜春·模拟预测）二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（   ） A．函数图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而增大 2．如图， 矩形的边，分别在轴、轴上， 点在第一象限，点在边上， 且，四边形与四边形关于直线对称 （点和，和分别对应）．若，反比例函数的图象恰好经过点，，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）已知的图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合， ． 4．如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点在轴上，若，求点的坐标． 5．阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意 （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则 ，即 函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， (1)计算：_____，_____； (2)猜想：函数是_____函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想． 6．（20-21九年级上·陕西榆林·期末）为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的正比例函数：；药物释放完毕后，是的反比例函数，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟? 7．（2023·贵州铜仁·一模）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点，点关于轴的对称点为点． (1)若点的坐标为， 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数（是常数，）的图象上，求的值． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，且点A的坐标为． (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)求的面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上（且），点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是 ． 4．如图，反比例函数与一次函数 的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 6．如图1，矩形的顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点P在y轴的右侧，且满足． (1)若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为______； (2)连接，当的最小值时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点P的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的定义与表达式 能准确判断函数类型，根据实际问题（如面积、行程）列出关系式（如）。 常以选择题（占30%）或填空题（20%）考查定义和表达式，易混淆正比例与反比例函数。 反比例函数的图象与性质 熟练画出双曲线图象，掌握（一、三象限）和（二、四象限）的性质差异。 90%概率出现在选择题或解答题中，常考函数值比较或增减性分析，注意符号的影响。 比例系数的几何意义 理解表示矩形面积，能求解图象与坐标轴围成的三角形或矩形面积问题。 高频考点（占50%），常结合几何图形在填空题或解答题中考查，需强化数形结合能力。 反比例函数与一次函数综合 联立方程求交点坐标，利用图象解决实际问题（如工程效率、动态几何）。 压轴题常见（占50%），多与一次函数、几何图形结合，难点为动态问题中的函数分析。 知识点01 反比例函数的概念 有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。有理数是能够表示为两个整数之比的数。…… 示例：判断下列函数是否为反比例函数： （是） （是） （否，指数不为1） 实际问题：矩形的面积 ，长 与宽 的关系为 。 易错点：混淆反比例函数与正比例函数（如 vs ）。 忽略 的条件。 知识点02 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y=x和y=-x；对称中心是:原点. . (2) 反比例函数的性质 示例：画出 和 的图象，说明分布象限及增减性。 比较 在 和 时的函数值大小。 易错点：画图象时忽略双曲线的渐近性（不与坐标轴相交）。增减性错误：当 ， 随 增大而减小（不是“增大”）。 知识点03 反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数． 示例：如图，双曲线 上点 向坐标轴作垂线，求矩形面积（答案：4）。 若点 在 上，且 面积为3，求 （注意 的符号）。 易错点：忽略 的绝对值意义，导致面积计算错误。 未明确几何图形与 的关系（如三角形面积为 ）。 知识点4 求反比例函数解析式 利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. 示例：已知双曲线过点 ，求解析式（）。 反比例函数与一次函数 交于点 ，求反比例函数解析式 易错点：代入坐标时未注意符号（如 代入得 ）。 混淆待定系数法与直接求解。 知识点5 反比例函数的应用 过程：分析实际情境→建立函数模型→数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能非负值. 示例：工程问题：甲队单独完成工程需12天，乙队效率 与甲队效率 的关系为 。 物理问题：电压 一定时，电流 与电阻 的关系 。 易错点：忽略实际问题中变量的非负性（如时间、长度不能为负）。 单位不统一导致计算错误（如 km 与 m 混用）。 题型一 k的几何意义综合题 解｜题｜技｜巧 怎么想：看到双曲线上的点向坐标轴作垂线，优先考虑|k|表示矩形面积，三角形面积为|k|/2。 怎么做： 步骤1：设点坐标（a, k/a），表示矩形面积= |a×(k/a)|=|k|。 步骤2：若涉及三角形面积，注意除以2。 易｜错｜点｜拨 避坑： 当k为负时，面积仍为正（用绝对值）。 若图形不完整（如部分在象限外），需分类讨论。 【典例1】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 【变式1】（24-25九年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，轴，，．过点A作，垂足为E，．反比例函数的图象经过点E，与边交于点F，连接，，．若，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，轴，，，可得轴；利用，可得，得到，；利用，四边形是菱形，可得．设，则，由勾股定理可得，，可得，所以，由于为矩形，，可得点，进而得，；利用，列出关于a的方程，求得a的值，k的值可求． 【详解】解：延长交x轴于点G，过点F作轴于点H，如图， ∵轴，，， ∴轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点E， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形，菱形的性质．利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，，，连接，，，记、的面积分别为、．若，则的面积为（    ） A．8 B．12 C．15 D． 【答案】C 【分析】本题考查反比函数系数的几何意义，图形与坐标，根据长方形的性质得，，，继而得出轴，轴，根据三角形的面积及反比函数系数的几何意义得，，推出，继而得到，，，再根据即可得解．求出、的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴轴，轴， ∵反比例函数与长方形在第一象限相交于、两点，、的面积分别为、，， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，即，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴的面积为． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，直线与双曲线相交于两点，现将线段沿着直线对折，得到对应线段，过点作轴的垂线，交该双曲线于点，连接，．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，轴对称的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先联立直线与双曲线，可得，分和时，代入直线中可得两点坐标，由轴对称的性质可列，可得点坐标，根据轴，点在双曲线上，代入到双曲线中即可求得坐标，长度，由，求解即可得的值． 【详解】解：联立直线与双曲线，可得：， ∴，即 ， 当时，则有， ∴， 当时，则有， ∴， 由轴对称的性质可知：与关于直线对称， 令点的横坐标为，则， ∴，即， ∵轴，点在双曲线上， 当时，双曲线， 即 ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型二 实际问题中的反比例关系（跨学科题型） 解｜题｜技｜巧 步骤1：根据题意列y=k/x，确定k的实际意义（如k=路程）。 步骤2：注意单位统一和实际意义（如时间不能为负）。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制（如x>0）。 混淆正比例与反比例关系。 【典例1】（24-25九年级上·广东茂名·期中）当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球会爆炸．为了安全，气球内气体体积应满足不小于 （）． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的应用，正确理解题意是解题的关键．先用待定系数法求出反比例函数的解析式，再根据第一象限中反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系， 可设， 把代入，得， 解得， 与成反比例函数关系为， 令，则， 解得， ， 在第一象限中，随着得增大而减小， 当气球内的气压大于时，气球会爆炸， 为了安全，， 当时，， 当气球内的气压小于等于时，气球内气体体积应满足不小于． 故答案为：． 【典例2】（24-25九年级下·河北廊坊·期中）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示： 受力面积 1 0.5 _____ 0.125 桌面所受压强 200 400 800 1600 (1)根据表中数据，求出桌面所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式并直接补全表格． (2)将另一长，宽，高分别为，，且与原长方体相同质量的长方体分别按图2和图3所示的方式放置于用玻璃制作的桥上，按图2放置时，桥完好无损，按图3方式放置时，玻璃桥破裂，请求出玻璃桥能够承受的最大压强的范围．（超过最大压强时玻璃破裂） 【答案】(1)．补全表格为； (2)玻璃桥能够承受的最大压强的范围为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键． （1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）结合图2和图3所示的放置方式求出受力面积，再分别求出压强，即可求解． 【详解】（1）解：由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数， 设， 将代入上式，得， ， 即所受压强P（单位：）关于受力面积S（单位：）的函数表达式为． 当时，，解得 则补全表格内容为0.25． （2）解：图2中， 图3中， 玻璃桥能够承受的最大压强的范围为． 【变式1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图2所示． (1)求I关于R的函数解析式； (2)若该台灯工作的最小电流为，最大电流为，则该台灯的电阻R的取值范围为________． 【答案】(1)I关于R的函数解析式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． （1）设I关于R的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）求出最大电流和最小电流对应的电阻的值，即可得解． 【详解】（1）解：设I关于R的函数解析式为， 将代入函数解析式可得， 解得：， ∴I关于R的函数解析式为； （2）解：当时，，此时， 当时，，此时， ∴该台灯的电阻R的取值范围为． 【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·期中）在物理中，压强，压力，受力面积满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有____________；填写序号） (2)已知一块比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①若小明的一双鞋底与冰面的接触面积共，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在冰面上的一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积应满足什么条件？ 【答案】(1) (2)这块薄木板的面积至少． 【分析】本题考查了函数的图象，反比例函数的应用，掌握函数图象的特点是解题的关键． （）根据函数解析式即可判断求解； （）把，代入计算即可求解； 把，代入计算即可求解； 【详解】（1）解：当为定值时，是的反比例函数，故正确； 当为定值时，，是的正比例函数，故错误； 当为定值时，是的正比例函数，故正确； ∴正确的有， 故答案为：； （2）解：把，代入 得，， ∵， ∴小明不能安全地站在这块冰面上； 把，代入得，， 解得， ∴这块薄木板的面积至少． 题型三 反比例函数与一次函数综合问题（跨章节题型） 解｜题｜技｜巧 联立方程求交点 怎么想？：当题目要求反比例函数 与一次函数 的交点时，直接联立方程求解。 怎么做？： 解这个二次方程，得到 的值，再代入求 。 注意：方程可能有两个解（两个交点）、一个解（相切）或无解（不相交）。 利用图象分析函数值大小 怎么想？：比较反比例函数和一次函数的函数值时，先画大致图象，找到交点，再分段比较。 怎么做？： 若 ，反比例函数图象在一、三象限；若 ，在二、四象限。 一次函数 的斜率和截距决定图象走向。 关键点：找到交点，划分区间，比较大小。 面积问题（与坐标轴围成的三角形、四边形） 怎么想？：若题目涉及面积，通常利用交点坐标计算几何图形的面积。 怎么做？： 先求交点 和 。 若求 的面积，可用公式： 若求反比例函数与坐标轴围成的矩形面积，直接用 。 易｜错｜点｜拨 忽略定义域限制 错误：解方程时忘记 ，导致错误解。 避坑：解完方程后，检查 是否在定义域内（如 ）。 漏解或多解 错误：解二次方程时，只考虑正解，忽略负解（如 和 都可能是交点）。 避坑：解方程时，所有实数解都要考虑，并代入验证。 增减性分析错误 错误：认为 时， 随 增大而增大（实际上 随 增大而减小）。 避坑：记住： ： 随 增大而减小（一、三象限）。 ： 随 增大而增大（二、四象限）。 面积计算错误 错误：计算三角形面积时，直接用 ，但忘记绝对值。 避坑：面积公式必须加绝对值，避免负值导致错误。 图象画错导致比较错误 错误：比较函数值时，未正确画出反比例函数和一次函数的图象，导致大小关系判断错误。 避坑：先画交点，再分段分析（如 、、）。 【典例1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）一次函数交轴于点，交反比例函数于点，已知点的横坐标为1． (1)求反比例函数解析式； (2)点在反比例函数第一象限的图象上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合运用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）先把点的横坐标为1代入，求出，再用待定系数法求出的值； （2）由可得是以为底，到距离为高的三角形面积，故把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点，对应直线间距离都与到距离相等，分别联立方程组，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点的横坐标为1，且点在函数图象上， ∴， 将点代入反比例函数，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵直线与轴交点为，而， ∴把直线向下（或向上）平移3个单位与反比例函数的交点就是所求的点， 即，解得：，（舍去） 或，解得：，（舍去） ∴点的坐标为或． 【典例2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，函数与的图象交于A，B两点，过点A作垂直于x轴，垂足为点M，则的面积为 ． 【答案】/1.5/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式中k的几何意义，根据反比例函数解析式中k的几何意义即可解答． 【详解】解：由题意得：，则， 设， ∴， 将代入反比例函数得：，即， 又∵，即为直角三角形， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级下·四川成都·期中）已知，一次函数的图象交反比例函数图象于点A，B，交x轴于点C，点B为． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图1，点M为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点M作x轴垂线，交一次函数图象于点N，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积； (3)如图2，一次函数交y轴于点F，将一次函数绕C顺时针旋转交反比例函数图象于点D，E，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）首先确定点坐标，然后根据待定系数法求反比例解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，根据题意，是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上，易得，解得的值，进而确定点，的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，，设，易得，求解即可确定点坐标，进而可利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与反比例函数解析式，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，可有， ∴点， 将点的坐标代入反比例函数表达式， 可得 ， 即反比例函数表达式为； （2）设点的坐标为，则点， 若是以为底边的等腰三角形，则点在的垂直平分线上， 则有 ， 解得（舍去）或， ∴ ， ， 则； （3）设一次函数的图像与轴交于点，过点作于，过作轴于，过点作，交延长线于点，如下图， 对于一次函数， 令，可有，即的坐标为， 令，可有，解得，即的坐标为， 由题意可知，一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，轴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设， ∵ ，， ∴，，，， ∴可有，解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与反比例函数解析式， 可得，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合应用、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，综合性强，难度较大，解题关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． 【变式2】（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了 和的图象，两个函数图象交于两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图象于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华提出了下列问题： (1)设点P的横坐标为x，的长度为y，则y与x之间的函数关系式为　　　（）； (2)为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表，描点，连线的方法绘制函数的图象： ①列表：表中　　　； ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图象．观察函数图象，的最大值为　　　． (3)①已知某矩形的一组邻边长分别为m，n，且该矩形的周长W与n存在函数关系，求m取最大值时矩形的对角线长； ②如图3，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数上的任意一点，过点M作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③，图见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据题意，点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）①根据表格数据分别将代入即可求得的值；②根据表格数据描点即可；③根据函数图象直接求解即可 （3）由题意可知，，代入得：，即，根据的结论求得最大值，进而求得对角线的长度； ②先求出点，点坐标，设点，可求, 由四边形面积列式，即可求解. 【详解】（1）点P的横坐标为x，PQ的长度为y，可得 ；     故答案为： （2）①当时， 故答案为：；    ②如图所示，    ③观察函数图象， 当时，有最大值为，故答案为: 4； （3）①根据题意可得代入 中，可以得到， 即 ， 由可知函数在时,取得最大值为， ∴当时,,即取得最大值， ， ∴在取得最大值时，矩形的对角线长为 ②∵直线与坐标轴分别交于点, ∴点, 点， 设点， ∴,点， ， ∵四边形面积 由得,当时,有最大值为，即有最小值， ∴四边形面积的最小值为. 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，根据函数图象获取信息，矩形的性质，数形结合是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与x轴相交于点，与轴相交于点．已知点、的坐标分别为和． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合．熟练掌握反比例函数与一次函数综合是解题的关键． 首先根据点在直线上，求出点的坐标，把点的坐标代入反比例函数的解析式中求出的值即可； 根据一次函数的解析式和反比例函数解析式分别求出点、、、的坐标，根据两点之间的距离公式求出、的长度，再利用三角形的面积公式求出的面积； 根据图像上直线与双曲线的位置关系可以求出不等式的解集． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 点的坐标为， 又点在反比例函数上， ， 解得：， 反比例函数的解析式为； （2）解：如下图所示，连接、，过点作于点， 当时，可得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 点的坐标为，且在直线上， 可得：， 解得：， 点的坐标为， ， ； （3）解：点的坐标为，点的坐标为， 从图像上可以看出不等式的解集为或． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列不是y关于x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键．或或的函数是反比例函数．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．，是反比例函数，故该选项不符合题意； B．，是正比例函数，故该选项符合题意； C．，是反比例函数，故该选项不符合题意； D．，是反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．点均在函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三个点代入反比例函数表达式，求出，再根据即可比较它们的大小。本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】点均在函数的图象上， ， ∵， ∴， 故选：D. 3．下列说法错误的是（   ） A．反比例函数的图象是双曲线，有两支 B．反比例函数的图象无限接近两坐标轴但不能相交 C．反比例函数的图象在第一、二象限，或者在第三、四象限 D．反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据反比例函数图象的性质判定即可求解． 【详解】解：A、反比例函数的图象是双曲线，有两支，正确，不符合题意； B、反比例函数的图象无限接近两坐标轴但不能相交，正确，不符合题意； C、反比例函数的图象在第一、三象限，或者在第二、四象限，故原选项错误，符合题意； D、反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形，正确，不符合题意； 故选：C ． 4．在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 5．若反比例函数的图像有一支位于第三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 6．某滑动变阻器的电功率与电阻满足反比例函数关系，图象如图所示．小峰同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题关键是利用待定系数法求出函数解析式． 先利用待定系数法求出函数解析式，再求出时，的值． 【详解】解：设， 当时，， 当时，， ∵当从增加到时，电功率减少了， ∴，解得：， ∴， 当时，（）， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·吉林松原·期中）人的视觉机能受运动速度的影响很大．行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄，当车速为时，视野为度，如果视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数． (1)求与之间的函数关系式； (2)计算当车速为时视野的度数． 【答案】(1)； (2)度． 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求函数值的计算是关键． （1）设，运用待定系数法即可求解； （2）把代入函数解析式求函数值即可． 【详解】（1）解：∵视野（单位：度）是车速（单位：）的反比例函数， ∴设， ∵当车速为时，视野为度， ∴， 解得，， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ∴当车速为时视野的度数为度． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一，三象限内的，两点，与轴交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)在第三象限的反比例函数图象的一点，使得的面积等于18，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数表达式，函数与三角形的面积问题； （1）将代入，即可确定，将点代入可确定点坐标，将，坐标代入，即可确定一次函数表达式； （2）先求出一次函数与轴交点坐标，可以得到的长度，通过设点坐标为，再利用三角形面积建立等量关系即可确定点坐标； 【详解】（1）解：将代入，得：， ∴反比例函数的表达式为． 将点代入，可得， ∴． 把，代入，得， 解得： ∴一次函数的表达式为． （2）一次函数的表达式为， 令，则，． ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， 设点坐标为， ∵， ， 解得：或， 又∵点在第三象限， ∴点坐标为． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2024·江西宜春·模拟预测）二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（   ） A．函数图象与y轴的交点坐标为 B．当时，y随x的增大而增大 C．函数图象与x轴没有交点 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先画出函数图象，根据反比例函数的性质和函数的图象逐项分析即可． 【详解】解：如图，画出函数的图象， A、在中，当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，该选项正确，不符合题意； B、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项错误，符合题意； C、根据函数图象得，函数的图象与x轴没有交点，该选项正确，不符合题意； D、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 2．如图， 矩形的边，分别在轴、轴上， 点在第一象限，点在边上， 且，四边形与四边形关于直线对称 （点和，和分别对应）．若，反比例函数的图象恰好经过点，，则的值为 ． 【答案】 【分析】设，得到，根据轴对称的性质得到，，求得，过作于，解直角三角形得到，列方程即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形，， 设， ， 四边形与四边形关于直线对称， ，， ， 过作于， ，， ∴， 反比例函数的图象恰好经过点，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（25-26九年级上·陕西西安·自主招生）已知的图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合， ． 【答案】2 【分析】本题考查了翻折变换，坐标与图形的变化，解决本题的关键是结合函数图象进行求解． 根据题意得出反比例函数图象关于对称，联立反比例函数与确定到，结合函数图象求解即可． 【详解】解：将图象向右平移1个单位，向下平移a个单位后，再将x轴下方翻折至x轴上方，再将翻折后的右半支绕点A逆时针旋转90度后与左半支重合， ∵反比例函数图象关于对称， ∴对称与旋转变换之后能与剩余部分重合的话需要两段图象关于直线对称， ∴联立得到， 即过点A与y轴垂直的直线方程为， 向下平移2个单位长度， ∴． 平移旋转后的图象如图所示： 故答案为：2 ． 4．如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数综合应用、坐标与图形等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）将代入，可求得的值，即可确定反比例函数解析式为；把代入并求解，即可确定点B坐标，设一次函数的解析式为，然后将点A、B坐标代入，求解即可求得一次函数的解析式； （2）首先求得，结合，可解得，即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴， 设一次函数的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：对于直线， 当时，可得，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 5．阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意 （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是增函数． 证明：设 则 ，即 函数是增函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， (1)计算：_____，_____； (2)猜想：函数是_____函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想． 【答案】(1)，； (2)减，见解析 【分析】本题主要考查了函数值的计算以及函数单调性的证明，熟练掌握函数单调性的定义是解题的关键． （1）将给定的自变量值代入函数表达式，按照函数运算规则计算函数值． （2）先通过计算几个函数值进行猜想，再仿照例题，利用作差法，结合自变量的取值范围判断差的正负，从而证明函数的单调性． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：函数是减函数，理由如下： 设，则 ，， ，即 函数是减函数． 6．为了预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的正比例函数：；药物释放完毕后，是的反比例函数，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； (2)据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟? 【答案】(1) (2)31.5分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一次函数（反比例）函数图象上点的坐标特征． （1）设药物释放完毕后，与的反比例函数表达式为，将代入一次函数解析式求出a的值，再将代入，求出k的值即可得出结论； （2）将分别代入两函数关系式中求出值，二者做差即可得出结论． 【详解】（1）解：设药物释放完毕后，与的反比例函数表达式为． 将代入， 得， 解得， 点坐标为， 将代入， 得， 解得：， 药物释放完毕后，与的反比例函数表达式； （2）解：当时，； 当时，． （分钟）． 答：有效消毒时间是31.5分钟． 7．（2023·贵州铜仁·一模）在直角坐标系中，设函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点，点关于轴的对称点为点． (1)若点的坐标为， 求，的值； 当时，直接写出的取值范围； (2)若点在函数（是常数，）的图象上，求的值． 【答案】(1) ，， ； (2)． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，关于轴对称的点的坐标特征，求函数解析式． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，可得点，再将点的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得，；由结合图象即可得的取值范围； （2）设点，则，将点的坐标代入，将点的坐标代入，可得和，相加即可． 【详解】（1）解：∵点关于轴的对称点为点， ∴， ∵函数（是常数，，）与函数（是常数，）的图象交于点， ∴，， ∴，． 由结合图象可知，当时，． （2）解：设点，则， ∵点在函数（是常数，，）的图象上，点在函数（是常数，）的图象上， ∴，， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，且点A的坐标为． (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)4， (2) 【分析】此题考查了待定系数法求函数的解析式、点与函数的关系以及三角形的面积，难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用. （1）由点A在反比例函数图像上，求出m的值得到点A坐标，代入一次函数解析式即可； （2）联立两个函数的解析式，即可求得点B的坐标，然后由求得答案. 【详解】（1）解：∵点A在反比例函数上， ∴，解得， ∴A点坐标， ∵点A在一次函数上， ∴，解得， ∴该一次函数的解析式为； （2）设直线与x轴交于点C， 令，解得， ∴一次函数与x轴的交点坐标C， ∵， 解得或， ∴， ∴， 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象及性质，将所给的函数与所学的反比例函数图象结合解题是关键．将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，通过观察函数图象，结合反比例函数的图象及性质进行分析即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，如图， ①当时， ， , , , , 当时，， 故①不符合题意； ②当时， ， , , 故②符合题意； ③， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故③不符合题意； ④， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故④符合题意； 故选：B 2．如图，某同学用计算机软件绘制函数的图象，经观察发现函数图象关于某条直线对称，在函数图象上分别取（为正整数）个点，坐标分别为，，记，下列说法： ①随的增大而减小； ②无论取何值，的值都大于； ③有唯一取值可使得为正数； 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象、偶次方的非负性，熟练掌握函数的对称性和增减性是解题关键．先根据函数的解析式可得，再根据函数的对称性可得，，，，从而可得，然后根据随的增大，减小，即可判断①正确；根据即可判断②正确；根据要使为正数，则，结合为正整数可得，由此即可判断③正确． 【详解】解：∵，即， ∴函数图象关于直线对称， ∴， ∵函数图象关于直线对称，点，在这个函数图象上，且， ∴点和点关于直线对称， ∴， 同理可得：，，， ∴ ， ∵随的增大，减小， ∴随的增大而减小；则说法①正确； ∵， ∴，即无论取何值，的值都大于；则说法②正确； 要使为正数，即，则需，即， 又∵为正整数， ∴， ∴有唯一取值可使得为正数；则说法③正确； 综上，说法正确的个数是3， 故选：D． 3．已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上（且），点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解不等式是本题的关键． 将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可． 【详解】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1， ． 令，则． 将点和点代入，得； 将点和点代入，得． ， ， ． ， ， ． ①当时，， 不符合要求，应舍去． ②当时，， 符合要求． ③当时，， 不符合要求，应舍去． ④当时，， 符合要求． ⑤当时，， 不符合要求，应舍去． 综上，t的取值范围是或． 故答案为：或． 4．如图，反比例函数与一次函数 的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，以点为直角顶点作等腰，若点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式，一次函数的表达式 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定与性质，利用待定系数法确定反比例函数与一次函数的解析式；熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入求得n的值，再利用待定系数法求解即可； （2）过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点，根据等腰直角三角形的性质证明，设点，，则，从而得到，再列方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ， 解得， ∴； （2）解：过点A作x轴的平行线，过点E，F作x轴的垂线，交直线于点， ， ， ， ， ， 设点，， ， ， ， ，即， 两式相加得：，即， 将代入得：，即， 解得：或， 当时，，则， 当时，，则， 点是反比例函数图象上点右侧一点， ∴． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【详解】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 6．如图1，矩形的顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，，动点P在y轴的右侧，且满足． (1)若点P在这个反比例函数的图象上，点P的坐标为______； (2)连接，当的最小值时，求点P的坐标； (3)若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 (3)， 【分析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识， （1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（），根据，构建方程即可解决问题； （2）过点作直线轴．由（1）知，点P的横坐标为3，推出点P在直线l上，作点O关于直线l的对称点，则，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出直线的表达式为，进而求出结论； （3）分两种情形：当四边形是菱形时；当四边形是菱形时．分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上 ∴， ∴， 设点P的横坐标为m（）， ∵． ∴， ∴， 当点P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为， ∴点P的坐标为； （2）由（1）知点P的横坐标为，过点作直线轴． ∴点P在直线l上， 作点O关于直线l的对称点，则， ， 连接交直线l于点P，此时的值最小， 设直线的表达式为，由题意得： ， 解得：， 直线的表达式为， 当时，， ； （3）分两种情况： ①如图2中，当四边形是菱形时，设直线l交于点H， ， 由（2）知直线轴，则， 在中，， ， 同理， ∴； ②如图3中，当四边形是菱形时， 在中，， ， 同理， ∴． 综上所述，点P的坐标为，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $