专题01 反比例函数 7个题型（期中专项训练）九年级数学上学期湘教版

专题01 反比例函数 题型1 判断反比例函数 题型5 反比例函数的实际问题 题型2 求反比例函数的解析式 题型6 反比例函数与一次函数的综合应用（难点） 题型3 反比例函数的图象与性质的应用（常考点） 题型7 反比例函数与几何综合（难点） 题型4 比例系数 k的几何意义（重点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断反比例函数（共5小题） 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各式中，一定是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列关于的函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）函数是反比例函数，则 ， 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）若是反比例函数，则的值为 ． 题型二 求反比例函数的解析式（共5小题） 6．（24-25九年级上·重庆·期中）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 ． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 9．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为 ． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 题型三 反比例函数的图象与性质的应用（共14小题） 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 12．（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知反比例函数下列结论中不正确的是（   ） A．图像必经过点 B．图像位于第二、四象限 C．若，则 D．在每个象限内，随的增大而增大 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．它的图象与轴、轴各有一个交点 B．点在它的图象上 C．它的图象在第二、四象限 D．随的增大而减小 15．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，是函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 16．（23-24八年级下·全国·期中）反比例函数的图像经过点，则该函数的图像在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 17．（23-24八年级下·全国·期中）已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 18．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 19．（24-25九年级下·全国·期中）反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 20．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，请写出一个满足条件的值： 21．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（只写一个） 22．（24-25九年级下·广东中山·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 23．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 题型四 比例系数k的几何意义（共7小题） 24．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 27．（2025·福建龙岩·一模）如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为 ． 28．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，若的面积是5，则k的值为 ． 29．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 30．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ． 题型五 反比例函数的实际问题（共6小题） 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小明原来佩戴300度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（    ） A．下降了125度 B．下降了175度 C．上涨了125度 D．上涨了175度 32．（24-25八年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 33．（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 34．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 35．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 36．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 题型六 反比例函数与一次函数的综合应用（共5小题） 37．（24-25九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 39．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 40．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 41．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 题型七 反比例函数与几何综合（共7小题） 42．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为．将矩形向下平移，当点的对应点落在反比例函数的图象上时，点的对应点的坐标为(　　) A． B． C． D． 43．（2025·陕西西安·二模）如图，的边在x轴正半轴上，，点D是的中点，双曲线经过点C和点D，则 ． 44．（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 45．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． (1)若反比例函数的图象经过点C，求此反比例函数的解析式； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值． 46．（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 47．（24-25九年级下·全国·期中）如图，点和点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，过点作轴交直线于点，． (1)若，求的值； (2)过点作轴于点，若四边形的面积为，求点的坐标． 48．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你类比它的学习过程，运用所学知识对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： (1)该函数的图象大致是 ． A． B． C． D． (2)结合函数图象，关于此函数，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在各个象限内，y随着x增大而减小； ②图象为轴对称图形； ③函数值始终大于0； ④函数图象是中心对称图形． (3)结合函数图象，写出不等式的解集为 ． (4)若点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b，其中，且，当是以为底边的等腰三角形时，试探究的大小是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由． $专题01 反比例函数 题型1 判断反比例函数 题型5 反比例函数的实际问题 题型2 求反比例函数的解析式 题型6 反比例函数与一次函数的综合应用（难点） 题型3 反比例函数的图象与性质的应用（常考点） 题型7 反比例函数与几何综合（难点） 题型4 比例系数 k的几何意义（重点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 判断反比例函数（共5小题） 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）下列各式中，一定是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要反比例函数的定义，掌握形如（为常数且）或（）的函数是反比例函数成为解题的关键． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，即，符合的形式，且，因此一定是反比例函数，符合题意； B．，属于正比例函数（），不是反比例函数，不符合题意； C．，若未明确，当时，，因此不一定是反比例函数，不符合题意； D．不满足的形式，因此不是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河南周口·期中）下列关于的函数中，是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数和正比例函数，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，需逐一分析选项是否符合该形式． 【详解】解：A、不符合反比例函数的形式； B、可整理为，符合（），是反比例函数， C、不符合反比例函数的形式， D、不符合反比例函数的形式， 故选：B． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）以下是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，注意掌握反比例函数解析式的一般形式，也可以转化为的形式．由题意直接根据反比例函数的定义，对各选项进行判定即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. 是一次函数，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     C. 是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）函数是反比例函数，则 ， 【答案】/ 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，掌握形如（k为常数，）的函数称为反比例函数是解题的关键． 根据反比例函数的定义即可解答． 【详解】解：根据题意，得，解得． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）若是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，把比例函数通常写成，根据反比例函数的定义可知且，从而可得的值为． 【详解】解： 是反比例函数， ， 解得：． 故答案为：． 题型二 求反比例函数的解析式（共5小题） 6．（24-25九年级上·重庆·期中）若反比例函数的图象经过点，则k的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，将已知点代入反比例函数解析式，解方程即可求出参数k的值． 【详解】解：∵已知反比例函数的图象经过点， ∴将点坐标代入函数解析式：得 解得： 故选B． 7．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的平移，熟练掌握反比例函数图象的平移是解题的关键；根据图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【详解】解：将的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为； 故答案为． 8．（24-25九年级上·吉林·期中）若反比例函数的图象经过点，则m的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中为定值．直接根据反比例函数中的特点进行解答． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ，即． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，菱形的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点，则反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】先根据菱形的周长求出边长，再结合面积求出顶点的坐标，最后代入反比例函数求出解析式．本题主要考查菱形的性质（周长求边长、面积公式 ）、勾股定理以及反比例函数解析式的求解，熟练掌握菱形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征（点在函数图象上则坐标满足解析式 ）是解题的关键． 【详解】解：∵ 菱形的周长是， ∴ 菱形的边长， 又∵ 菱形面积是，设点到轴的距离为（即高），以为底， ∴，，， 在中，，，根据勾股定理， ∵， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 设反比例函数解析式为，把代入得，， ∴ 反比例函数的解析式为， 故答案为： ． 10．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知，与成正比例，与成反比例，且当时，；当时，．求出与之间的函数表达式． 【答案】与之间的函数表达式为． 【分析】本题考查了求函数的解析式，设，，则，然后当时，；当时，代入得出方程组可得，最后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴，解得：， ∴与之间的函数表达式为． 题型三 反比例函数的图象与性质的应用（共14小题） 11．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）函数的图像（   ） A．过原点的一条直线 B．位于一、三象限的两支曲线 C．位于二、四象限的两支曲线 D．过点和点的一条直线 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据函数关系式，可确定该函数图像是双曲线可判断A、D选项，再根据的正负确定双曲线所在象限可判断B、C选项． 【详解】解：A、是反比例函数，反比例函数图像不过原点且为双曲线，故该选项错误； B、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项错误； C、因为，所以图像是位于二、四象限的双曲线，故该选项正确； D、的图像是双曲线，不是直线，故该选项错误； 故选：C． 12．（23-24九年级上·广东深圳·期中）函数与（k为常数，k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的综合判断，分当时，当时，两种情况分别求出对应函数图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、二、三象限，故选项C符合题意，选项D不符合题意； 当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意， 故选：C． 13．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知反比例函数下列结论中不正确的是（   ） A．图像必经过点 B．图像位于第二、四象限 C．若，则 D．在每个象限内，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图像性质，逐项判断即可． 【详解】A、当时，，选项错误，符合题意； B、图像位于第二、四象限，选项正确，不符合题意； C、若，则，选项正确，不符合题意； D、在每个象限内，随的增大而增大，选项正确，不符合题意； 故选：A． 14．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．它的图象与轴、轴各有一个交点 B．点在它的图象上 C．它的图象在第二、四象限 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐一分析选项即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、反比例函数的图象为双曲线，无限接近坐标轴但不会与轴或轴相交，故A错误，不符合题意； B、将点代入函数，，满足方程，故该点在图象上，B正确，符合题意； C、反比例函数的图象位在第一、三象限，C错误，故不符合题意； D、反比例函数，在每一象限内，随的增大而减小，故D错误，不符合题意； 故选：B． 15．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知点，，是函数，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，比较函数值的大小，根据反比例函数的性质，结合的条件，分析各点所在象限及函数值的增减性，即可作答． 【详解】解：∵点中， ∴代入得， 由于为负数，为正数，故点在第二象限， ∵点和中、， ∴代入函数得、，均为负数， 故点、在第四象限， 在第四象限，函数随增大而增大（趋近于0）， ∵， ∴， 则，即 ∴， 故选：B 16．（23-24八年级下·全国·期中）反比例函数的图像经过点，则该函数的图像在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质．反比例函数的图像，时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．先根据点的坐标求出k值，再利用反比例函数图像的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴该反比例函数经过第二、四象限． 故选：B． 17．（23-24八年级下·全国·期中）已知点、、、是函数图像上的点，且，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再将、、代入解析式，得到的大小关系． 【详解】将代入反比例函数， ， 解得， 所以反比例函数解析式为， ， ， ， 故选：C． 18．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（24-25九年级下·全国·期中）反比例函数y=的图象在第二、四象限内，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知双曲线分布的象限，求参数范围．对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故答案为：． 20．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，请写出一个满足条件的值： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与系数的关系．先根据反比例函数的图象位于第二、四象限得出的取值范围，进而可而得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期中）已知反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大，则k的值可以是 ．（只写一个） 【答案】3（大于2的数均可） 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且y随x的增大而增大是解题关键．根据题意得出时，满足该反比例函数在各象限内y的值随x的增大而增大，再求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，），在各象限内y的值随x的增大而增大， ∴， 解得：， ∴k的值可以是3． 故答案为：3（大于2的数均可）． 22．（24-25九年级下·广东中山·期中）已知点、、在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，得到反比例函数的图象在一、三象限，再根据点所在象限，结合反比例函数的增减性，即可解题． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在一、三象限， ∵点、、在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∵、在第一象限的图象上，又y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 题型四 比例系数k的几何意义（共7小题） 24．（24-25九年级上·云南红河·期中）如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 25．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于A、B两点，将直线绕点A顺时针旋转，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，证明，求出与的比，再求出的份数，证明出与的比，表示出的份数，利用的面积求出x的值，即可求出k． 【详解】解：作轴于H，交于E，轴于F，轴于N，连接，设交x轴于M，如图， ， 为等腰直角三角形，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 点C、A在反比例函数上， ， 设， ， ， 解得：或（舍去）， ， ， 即， 即， 或（舍去）， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质、全等三角形的性质、平行线分线分线段成比例的性质等知识点的应用是解题关键． 26．（24-25八年级下·福建泉州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 27．（2025·福建龙岩·一模）如图，矩形两组对边分别和坐标轴平行且矩形的对角线交点为原点，点在函数的图像上，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意得出矩形的面积为，进而即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，矩形和反比例函数图像都是中心对称图形，为对称中心，点在函数的图像上， ∴矩形的面积为， ∴矩形的面积为 故答案为：． 28．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接，若的面积是5，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k值的几何意义等知识点，正确作出辅助线、构造三角形并求得三角形的面积是解题的关键． 如图，连接，线段交y轴于点D，再根据反比例函数k值的几何意义以及面积的和差可得，然后根据反比例函数k值的几何意义以及图象所在的象限即可解答． 【详解】解：如图，连接，线段交y轴于点D， ∵点A在双曲线上， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故答案为：． 29．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数k的几何意义，设P点坐标为，用t表示E、F的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得k的方程． 【详解】解：设P点坐标为， ∵点E，F分别是直线与，的交点， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴． 故答案为：． 30．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，垂直于轴于，是轴负半轴上一个动点，是斜边上一点，连接并延长，交轴于点，连接，，若的面积为18，则的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要查反了比例函数中比例系数的几何意义，正确地作出辅助线成为解题的关键． 如图：过点A作y轴的垂线得到矩形，连接，则矩形的面积是面积的2倍，所以只要根据的面积求出的面积，进而求得k的值． 【详解】解：如图：过点A作轴，连接， ∵垂直于轴于，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴，即， ，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：9． 题型五 反比例函数的实际问题（共6小题） 31．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式满足，小明原来佩戴300度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗，复查验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数（    ） A．下降了125度 B．下降了175度 C．上涨了125度 D．上涨了175度 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的实际运用，求出函数值是解题的关键． 根据函数表达式，可求出现在小明佩戴的眼镜度数，两次比较，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 当时，， ， ∴小明的眼镜度数下降了175度， 故选：B． 32．（24-25八年级下·福建泉州·期中）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图），从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是（如图）所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由题意可得点，设，求出，然后通过题意当时，，从而得出整个冷却塔高度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴点， 设， ∴， ∴， ∵上口宽， ∴的横坐标为， ∴当时，， ∴整个冷却塔高度为， 故答案为：． 33．（24-25八年级下·北京·期中）某AI分拣机器人工作时，每小时可分拣包裹数50件，每工作3小时需暂停0.5小时校准，校准期间不工作．总分拣包裹数记为件，总耗时记为小时（含分拣与校准时间），机器人分拣的平均速度．则当 时，恰为45件/小时． 【答案】5小时 【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，需结合工作周期（工作与校准时间的关联 ）建立等量关系，通过设未知数、列方程、求解约束条件下的整数解解决问题，理清工作时间、校准时间与总耗时的关系，准确建立方程是解题关键．先明确工作周期（小时工作小时校准 ），设工作周期数与额外工作时间，用其表示总耗时和包裹数，再根据平均速度公式列方程求解． 【详解】解：设机器人经历个完整工作周期（每个周期含小时工作、小时校准 ），之后又工作小时（ ）． 总耗时：每个周期小时，个周期耗时小时，加额外工作小时，故． 包裹数：每个周期工作小时，个周期工作小时，加额外工作小时，共工作小时，每小时分拣件，故． 由平均速度，得： 因，代入得，解得． 又为非负整数，故（时无实际工作意义，舍去 ）． 当时，，则： 故答案为： 小时． 34．（24-25八年级下·山西长治·期中）如图，学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为的长方形种植园，其中边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式． (2)若围栏总长不超过，和的长都是整数，求满足条件的所有围建方案． 【答案】(1) (2)①，．②， 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式是解题的关键； （1）根据长方形种植园的面积为，可得出，即，结合墙长为且值非负，可确定的取值范围； （2）根据围栏总长不超过，可得出，结合，均为正整数且，即可找出各围建方案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 墙长为，且值非负， ， 与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 即， 又，均为正整数，且， 当时，与的对应值如下表： 1 2 5 10 50 25 10 5 符合题目要求的对应值如下表： 5 10 10 5 满足条件的所有围建方案为①，． ②，． 35．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）某污水处理厂在自查中发现，所排污水中硫化物浓度超标，因此立即整改，并开始实时监测．据监测，整改开始第60小时时，所排污水中硫化物的浓度为；从第60小时开始，所排污水中硫化物的浓度是监测时间（小时）的反比例函数．其图象如图所示． (1)当时，求与之间的函数关系式； (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为多少？ 【答案】(1) (2)整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的函数值即可． 【详解】（1）解：设， 把代入，得：， ∴； （2）当时，； 答：整改开始第100小时时，所排污水中硫化物浓度为． 36．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）近视镜是一种用于矫正近视的光学眼镜，通过镜片的凹透镜设计来帮助近视眼患者看清远处的物体．研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例关系，图象如图所示． (1)求该反比例函数的表达式； (2)佳佳原来佩戴150度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了米，求佳佳的眼镜度数增加了多少度． 【答案】(1)； (2)50； 【分析】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式和已知自变形的值、求函数值，解题的关键是注意计算的正确性． （1）先设反比例的函数表达式，根据图象上点的横纵坐标代入求出值即可； （2）把代入（1）中求出函数表达式即可． 【详解】（1）解：设该反比例函数的表达式为：， 由图象可知点在反比例图象上， ∴， ∴该反比例函数的表达式为：； （2）解：当时，， （度）， ∴佳佳的眼镜度数增加了50度． 题型六 反比例函数与一次函数的综合应用（共5小题） 37．（24-25九年级上·上海·期中）已知在直角坐标平面内，直线分别与轴交于点A、与轴正半轴交于点，． (1)求直线的表达式； (2)点在函数的图象上，连接并延长，交轴于点C，且． ①求点的坐标， ②点在函数的图象上，，交线段于点，连接．当与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用数形结合的思想分析问题是解题的关键． （1）首先确定点，利用比例式可得，即，然后利用待定系数法求解即可； （2）①如图：过点P作轴于点H，设点，根据题意可得，证明，由相似三角形的性质解得x的值，即可确定点P坐标，进而可得，然后结合平行线分线段成比例定理解得，即可确定点C的坐标；②过点Q作轴，设，则，然后分和两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A， 令，可得，即， ∴， ∵． ∴， ∵直线与轴正半轴交于点， ∴ 将点代入直线，可得，解得， ∴直线的表达式为． （2）解：①如图：过点P作轴于点H， 设点，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得∶， 又∵点C在x轴的负半轴上， ∴点C的坐标为； ②如图：过点Q作轴， 设， ∵交线段于点， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，即为等腰三角形且为锐角三角形， ∵， ∴，即点与点对应， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴点Q的横坐标为， ∵点Q在函数的图像上， ∴，即， ∴， ∵， ∴，整理可得∶，解得：或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． 当时， ∴， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为：， 将代入可得：，解得：， ∴设直线的解析式为：， 联立，整理得：， ∴，解得：（不符合题意）或（不符合题意）， ∴这种情况不存在． 综上，． 38．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出满足时x的取值范围． (3)连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； （3）解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 39．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集________； (3)若P是x轴上一点，且满足是直角三角形，直接写出点P的坐标________． 【答案】(1)， (2)或 (3)，，， 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，以及勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）可先把代入反比例函数解析式，求得的值，进而求得的值，把两点分别代入一次函数解析式即可． （2）利用图象法解决问题即可； （3）设，表示出，分为当时，当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：点在上， ， ∴反比例函数解析式为； 又点在上， ， ∴点的坐标为， 把和两点的坐标代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析为． （2）解：、， 观察图象可知：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵、， 则， 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：， 故； 当时，， 解得：或， 故，； 综上，，，，． 40．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度y是时间x的一次函数；当时，温度y是时间x的反比例函数． (1)求t的值； (2)若规定温度低于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？ 【答案】(1)20 (2)分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的的值即可； （2）先求解一次函数的解析式，再分别求得时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为． 把代入，得：． ∴． ∴． 当时，， ∴． （2）解：设一次函数函数的关系式为． 把代入，得：，解得：， ∴， 当在温度下降过程中，， 解得：， 当在温度上升过程中，， 解得：， ∴， ∴一次循环过程中有属于有效制冷时间． 41．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，已知直线与双曲线交第一象限于点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若点是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）点在直线，可得出点的横坐标，再将点的坐标代入反比例解析式即可求得反比例解析式； 点评 （2）根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，可证，由此可得点的坐标，由待定系数法求可求出直线的解析式； （3）根据题意作出图形，由面积比可得，设点的横坐标为，由此表达点，的坐标，进而可得和的长度，得出关于的方程，解之即可． 【详解】（1）解：点在直线， ， ， 点在第一象限，且点的纵坐标为， 将点代入直线， ， ； （2）解：根据题意，找出点的位置，过点作轴于点，过点作于点，如图， ， ， ， 由旋转可知，， ， ，， ， 设直线的函数解析式为， ，即， 直线的函数解析式为； （3）解：如图， ，， ， ，即， ， 设点的横坐标为，由（1）可知双曲线的解析式为：， ，，， ，， ，解得或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合题，涉及到全等三角形的判定与性质，三角形的面积、旋转的性质等知识，（2）证得三角形全等是解题关键，（3）中面积转化为线段的比值是解题关键． 题型七 反比例函数与几何综合（共7小题） 42．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为．将矩形向下平移，当点的对应点落在反比例函数的图象上时，点的对应点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 根据矩形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为，． ，， 在反比例函数中，当时，， 当点的对应点落在反比例函数的图象上时点的坐标为，即点向下平移了个单位长度， 点的对应点的坐标为． 故选：D． 43．（2025·陕西西安·二模）如图，的边在x轴正半轴上，，点D是的中点，双曲线经过点C和点D，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、求反比例函数解析式等知识．作于M，设C的横坐标为m，求出，得到，，由双曲线y经过点C和点D得到，解得或（舍去），得到即可． 【详解】解：作于M， 设C的横坐标为m， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∵点D是的中点， ∴， ∵双曲线y经过点C和点D， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 44．（24-25九年级下·广东深圳·期中）如图，在矩形中，点在轴上，点在轴上，反比例函数的图象与矩形交于，点，当时，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过点作轴于点，交于点，可得，即得，得到，设，则，，可得，，进而求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 45．（24-25九年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，且，点A的坐标为． (1)若反比例函数的图象经过点C，求此反比例函数的解析式； (2)若将菱形向下平移个单位长度，使菱形的两个顶点的对应点同时落在反比例函数图象上，求m及此时k的值． 【答案】(1) (2)m的值为， k的值为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）连接，根据菱形的性质可得，再结合反比例函数的性质可求出点B，D的坐标，从而得到点C的坐标，即可求解； （2）根据平移的性质可得，，然后分两种情况解答即可． 【详解】（1）解：连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵反比例函数的图象和菱形都在第一象限内，，轴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵点，， 将菱形向下平移个单位长度， ∴，， 当两点同时落在反比例函数图象上时， ∴， ∴， ∴， ∴． 当两点同时落在反比例函数图象上时，则， ∴． 综上所述，m的值为，此时k的值为或． 46．（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，由勾股定理可求得的长； （2）如图3，设与相交于点，根据题意得，易证，所以，则，求出的估算值即可得出结论； （3）过点作轴于点，由勾股定理可得，可得，进而可得反比例函数的解析式为；设直线与的交点为，则，过点作轴于点，可得，由此可得点的坐标，进而可求得直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，可得的坐标，进而可求出的长度，即可得出的最大整数值． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解法一、如图3（1），设与相交于点，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点， 根据题意得： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． （3）如图4，过点作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 如图所示，延长交轴于点，则，且， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大整数值为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角的判定和性质，一次函数、反比例函数于几何图形的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 47．（24-25九年级下·全国·期中）如图，点和点在反比例函数的图象上，过点作轴交轴于点，过点作轴交直线于点，． (1)若，求的值； (2)过点作轴于点，若四边形的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． （）根据，表示出点坐标，根据反比例函数性质列出方程即可求出值，代入可求的值； （）把点代入得，解得，由（）得点坐标为，从而点坐标为，根据四边形的面积为8，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∴， ∴，点坐标为， ∵， ∴点坐标为， ∴，解得， ∴点， ∴， 解得； （2）解：把点代入得， 解得， 由（）得点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点坐标为， ∵四边形的面积，即， 解得， ∴点坐标为． 48．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你类比它的学习过程，运用所学知识对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： (1)该函数的图象大致是 ． A． B． C． D． (2)结合函数图象，关于此函数，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在各个象限内，y随着x增大而减小； ②图象为轴对称图形； ③函数值始终大于0； ④函数图象是中心对称图形． (3)结合函数图象，写出不等式的解集为 ． (4)若点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b，其中，且，当是以为底边的等腰三角形时，试探究的大小是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)D (2)②③ (3)或 (4)大小没有变化，它的值为 【分析】本题考查函数的意义，反比例函数的图象和性质，勾股定理的逆定理，特别注意利用图象得出性质，再利用性质解决问题． （1）依据，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，即可得到函数图象在第一、二象限； （2）根据图象判断即可； （3）先求出的解，再根据函数的增减性确定自变量x的取值范围； （4）由题意，求得，利用等腰三角形的性质即可求得，进一步利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，即． 【详解】（1）解：∵在函数中，， ∴， 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， ∴函数图象在第一、二象限； 故选：D； （2）解：由函数的图象可知此图象具有以下性质： 函数的图象在一、二象限，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， 函数的图象关于y对称； 故说法正确的是②③， 故答案为：②③； （3）解：当时，令，即，解得：， 根据函数的图象和性质得，不等式的解集为：或， 故答案为：或； （4）解：∵点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b， ∴， ∴，， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故当是以为底边的等腰三角形时，的大小没有变化，它的值为． $