5.4 第1课时 二元一次方程与一次函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦二元一次方程（组）与一次函数的关系，通过复习导入回顾方程组的解和一次函数图象，结合情境视频“开创解析几何”，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过方程与函数转换、图象交点与方程组解的对应，培养学生几何直观和推理意识，体现模型观念。学生能深化数形结合思维，教师可借助视频和分层练习提升教学效率。

数学天才笛卡尔，发明坐标系，开创解析几何，连牛顿都得拜服。说到笛卡尔，所有人第一个想到的便是那句名言，我思故我在，从此奠定了笛卡尔哲学家的地位。但其实笛卡尔还是一个百年一遇的数学天才，写出了一本伟大的著作几何学。在几何学中，他发明了以他的名字命名的坐标系，要用数对表示平面上的点的一种方式，就像这样子，跟我们初中学习的坐标系几乎一模一样。不过迪卡并没有发明直角坐标系，它的X轴和Y轴并不是互相垂直的。除此之外，笛卡尔最重要的就是将代数和几何合体了，开创了解析几何。在笛卡尔之前，几何是几何，代数是代数，他们各自为政，互不干扰。但是传统的几何过分依赖图形和形式演绎，而代数又过分受法则和公式的限制，这一切都制约了数学的发展。直到笛卡尔横空出世，提出了一个经验的想法，他认为几何对象是数的一个方面表示，就比如两段线段的长度的乘积，不一定非要被看作一个矩形的面积，可以用另一条线段来表示这个值。正是以这个想法为基础，笛卡尔建立了自己的几何框架，开创了伟大的解析几何。它还采用了一种更清晰、更易于处理的代数技法，更是开创了现代字母符号体系。在该体系中，字母表开头的几个小写字母表示已知数，比如A、B、C等，而字母表末尾的几小写字母的表示未知数，比如X、Y的这与我们如今使用的体系几乎一模一样。有意思的是，我们现在之所以更常用X而不是Y和Z来表示未知量，是因为法语中字母Y和Z的使用频率要远高于X为了印刷排版的方便，所以X成了最常用的一个符号。迪卡其几何的壮丽更是为牛顿和莱布尼茨开创微积分奠定了基础，尤其是牛顿深受笛卡尔的影响，他早期的数学和物理学知识都是继承自笛卡尔，可谓格式弟子。 5.4 二元一次方程与一次函数 第1课时 二元一次方程与一次函数 第5章 二元一次方程组 八上数学 （北师版） 1. 理解一次函数与二元一次方程（组）的对应关系.(重点) 2. 会用画图象的方法解二元一次方程组.(重点) 3. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法.(重点) 4. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索，培养科学严谨的态度及勇于探索的精神；通过从函数的角度看问题，体会数学的价值.(难点) 素养目标 1.什么叫二元一次方程组的解? 2.一次函数的图象是什么? 二元一次方程组中各个方程的公共解。 把一次函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象。 复习导入 点击视频观看 情境导入 问题1：方程 x + y = 5 的解有多少个? 写出其中的几个. 无数个 问题2：等式 x + y = 5 还可以看成一个一次函数，把它 变成 y = kx + b 的形式是_____________. y = -x + 5 探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系 新知探究 问题3：画出 y = -x + 5 的图象： x 0 y = -x+5 0 y = -x + 5 追问1：以方程 x + y = 5 的解为坐标的点都在一次函数 y = -x + 5 的图象上吗？ 都在 5 5 探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系 新知探究 追问2：在一次函数 y = -x + 5的图象上任取一点，点的坐标适合方程 x + y = 5 吗？ 都适合 追问3：以方程 x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = -x + 5 的图象相同吗？ 相同 一次函数 y = -x＋5 图象上的点 方程 x + y = 5 的解 从形到数 从数到形 y = -x + 5 探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系 新知探究 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 求ax+b=0(a≠0)的解 求ax+b=0(a≠0)的解 x为何值时 y=ax+b的值为0 确定直线y=ax+b与x轴交点的横坐标 从数的角度看： 从形的角度看： 探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系 【归纳总结】 新知探究 【练一练】1.以方程 2x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 的图象相同. 2.如图所示的四条直线，其中直线上每个点的坐标都是方程 x - 2y = 2 的解的是（ ） C y = -2x + 5 y x o -1 2 y x o -2 1 y x o -1 2 y x o -0.5 1 D A B C 探究点一: 二元一次方程和一次函数的关系 新知探究 问题1：请在同一直角坐标系内分别画出函数 y = -x + 5 与 y = 2x - 1 的图象，找出它们的交点坐标. 交点的坐标为 (2，3) y = 2x - 1 y = -x + 5 探究点二：二元一次方程组的解与一次函数 新知探究 问题2：解方程组 解得 思考：这两个一次函数的交点坐标与这个二元一次方程组的解有什么关系？ y = 2x - 1 y = -x + 5 交点的坐标就是方程组的解. 探究点二：二元一次方程组的解与一次函数 新知探究 已知两条直线 y＝k1x＋b1， y＝k2x＋b2，如果它们在平面直角坐标系内相交，交点坐标为 (m，n)， 方程组 y＝k1x＋b1 ， y＝k2x＋b2 x＝m， y＝n 的解为 【归纳】一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标. 探究点二：二元一次方程组的解与一次函数 新知探究 【练一练】 3.若二元一次方程组 的解为 则函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 　　 . 4.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点坐标为(3，2)，则方程组 　的解为 （3，2） 　　　　. 探究点二：二元一次方程组的解与一次函数 新知探究 问题3：在同一直角坐标系内，一次函数 y = x + 1 和 y = x - 2 的图象有怎样的位置关系？ 方程组 解的情况如何？ 平行 方程组无解 探究点二：二元一次方程组的解与一次函数 新知探究 二元一次方程组的解 两个一次函数的图象 无解 平行（无交点） 有一个解 相交（有一个交点） 有无数个解 数 形 重合（有无数个交点） 探究点二：二元一次方程组的解与一次函数 【归纳总结】 新知探究 【练一练】 5.点 Q 的横坐标为一元一次方程3x＋7＝32－2x 的解，纵坐标为 a＋b 的值，其中a，b 满足二元一次方程组 ，则点 Q 关于 y 轴对称点 Q′ 的坐标为 ． (－5，－4) 2a－b＝4 ， －a＋2b＝－8 探究点二：二元一次方程组的解与一次函数 新知探究 二元一次方程与一次函数的关系 二元一次方程的解就是函数图象上的点的坐标，函数图象上的点的坐标就是二元一次方程的解 二元一次方程组无解，它对应的两个函数图象无交点，即两条直线平行 方程与函数之间的转换（数→形） 二元一次方程组与一次函数的关系 二元一次方程组的解就是对应的两个函数图象的交点的坐标； 两个函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解 k1＝k2时 k1≠k2时 课堂小结 1. 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二 元一次方程2x－y＝2的解的是(　B　) B 当堂反馈 2. 如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝k1x＋b1与直线y2＝k2x＋b2相交于A，则方程组 的解是 　 　. 3. 已知方程组 的解为 则一次 函数y＝－x＋1和y＝2x－2的图象的交点坐标 为 ⁠. (1，0)　 当堂反馈 4. 在同一直角坐标系内分别作出一次函数y＝2x－2 与2y＝4x－4的图象，则这两个图象的位置关系 是 ；由此可知方程组 的 解的情况是 ⁠. 重合　 有无数多解 当堂反馈 5. [教材变式]如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P(1，b). (1)求b的值； 解：∵点P(1，b)在直线y＝x＋1上， ∴b＝1＋1＝2. (2)直接写出关于x，y的二元一次方 程组 的解；是 解：方程组的解是 当堂反馈 (3)直线l3：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由. 解：直线l3也经过点P. 理由如下： ∵直线y＝mx＋n过点P(1，2)， ∴m＋n＝2. ∵当x＝1时，y＝nx＋m＝m＋n＝2， ∴(1，2)满足函数y＝nx＋m的表达式. ∴直线l3也经过点P. 当堂反馈 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $