2.3 第1课时 二次根式及其乘除（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

2.3 二次根式 第1课时 二次根式及其乘除 第 2 章 实数 八年级上册数学（北师版） 1. 能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，发展迁移思想，掌握由 “数” 到 “式”，由 “特殊”到 “一般” 的学习方法。 (重点) 2. 了解并掌握二次根式的性质，培养推理意识与推理能力，初步养成讲道理、有条理的思维品质。(重点) 3. 会运用二次根式进行乘除运算，形成数学的表达与交流能力，发展应用意识和实践能力。 (难点) 素养目标 问题1：什么叫作平方根？ 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根。 问题2：什么叫作算术平方根？怎么表示它？ 如果 x2 = a (x≥0)，那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示。 问题3：什么数有平方根？ 我们知道，负数没有平方根。因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数。 复习导入 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是： 观察下列代数式： 1. 都含有开平方运算， 2. 并且被开方数都是非负数。 探究点一： 二次根式的概念 (其中 b = 24，c = 25)。 新知探究 一般地，形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式， a 叫作被开方数。 注意：a 可以是数，也可以是式子. 两个必备特征 ① 外形特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数 a≥0 二次根式的概念 探究点一： 二次根式的概念 新知探究 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否为二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 探究点一： 二次根式的概念 新知探究 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 解：由 x - 2≥0，得 x≥2。 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义。 【变式训练】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， 所以 x＞1。 探究点一： 二次根式的概念 (1) ； 新知探究 解：因为 被开方数需大于或等于零， 所以 3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为 分母不能等于零， 所以 x - 1 ≠ 0，所以 x ≠ 1. 所以 x≥-3 且 x ≠ 1. 探究点一： 二次根式的概念 新知探究 (1) 单个二次根式如 有意义的条件： (2) 多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3) 二次根式作为分母如 有意义的条件： (4) 形如 或 的式子有意义的条件： A≥0，B≥0，… ，N≥0. A≥0 且 B ≠ 0. A＞0. A≥0. 【知识要点】 探究点一： 二次根式的概念 新知探究 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______； (2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是____________. x≥1 x≥0且 x ≠ 2 【练一练】 探究点一： 二次根式的概念 新知探究 活动1：(1) 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ 探究点二： 二次根式的乘除运算 ③ 左边是两个二次根式的乘积 (或商) ，右边是两个二次根式被开方数乘积 (或商) 开平方. ① 被开方数都是正数； ② 左右两边式子的值相等； 6 6 20 20 新知探究 (2) 根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流。 (3) 你能用字母表示你发现的规律吗？ 探究点二： 二次根式的乘除运算 ＝ ， 6.480 ＝　 　； ＝ ， ＝　 　 。 6.480 0.9255 0.9255 新知探究 二次根式的乘法法则和除法法则 (a≥0，b≥0) (a≥0，b＞0) 探究点二： 二次根式的乘除运算 商的算术平方根，等于 积的算术平方根，等于 算术平方根的积。 算术平方根的商。 新知探究 例3 计算： 探究点二： 二次根式的乘除运算 解： 新知探究 【针对训练】计算： 解： 当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 . 探究点二： 二次根式的乘除运算 新知探究 【归纳总结】二次根式的乘法法则的推广： ① 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 ② 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即 探究点二： 二次根式的乘除运算 新知探究 活动2：(1) 对比(a＋b)(a－b)＝a2－b2， 想想 该怎么计算? (2) 类似地，参考 计算： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2； (a - b)2 = a2 - 2ab + b2。 探究点二： 二次根式的乘除运算 新知探究 【变式训练】 计算. 探究点二： 二次根式的乘除运算 解：(1) 原式 = (2) 原式 = (3) 原式 = (4) 原式 = 新知探究 解：(1)原式 = 例4 计算： (2)原式 = (3)原式 = (4)原式 = 探究点二： 二次根式的乘除运算 新知探究 解：(5)原式 = (6)原式 = 探究点二： 二次根式的乘除运算 新知探究 1. 下列各式中，不是二次根式的是(　B　) A. B. C. D. B 2. 二次根式 有意义，则x的值可以为(　A　) A. 7 B. 6 C. 0 D. －1 A 当堂反馈 3. 计算：2 × ＝(　D　) A. 12 B. C. D. 2 D 4. 若 ＋ 在实数范围内有意义，则x的取值范 围为 ⁠. x≥0且x≠1　 5. 填空： (1) × ＝ 　 　；(2) ÷ ＝ ⁠. 　 6　 当堂反馈 6. 计算： (1) × ； 解：原式＝3.式＝30 . (3) × ÷ ； 解：原式＝10. 解：原式＝3. 解：原式＝30 . 解：原式＝10. 原式＝3. (2)5 ×6 ； 解：原式＝30 . 解：原式＝10. (4)(－2)2. 解：原式＝7－4 . 解：原式＝7－4 . 当堂反馈 二次根式 定义 带有二次根号 二次根式的乘除运算 被开方数为非负数 二次根式与乘法公式 二次根式 中,a≥0且 ≥0 (a≥0，b＞0) (a≥0，b≥0) 课堂小结 $