2.2 第4课时 估算（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

该初中数学课件聚焦实数中的估算，围绕无理数大小确定、数的比较及计算器开方运算展开。通过游乐园门票费用估算的生活情境导入，衔接平方根与立方根知识，搭建从精确计算到近似估计的学习支架。 其特色在于以“逐步逼近法”为核心，通过荒地面积估算、梯子稳定高度判断等探究活动，培养学生数感与推理意识，渗透数学思维。结合计算器操作与当堂反馈，强化估算应用，帮助学生用数学语言表达现实问题，教师可借助清晰的探究脉络提升教学效率。

2.2 平方根与立方根 第 4 课时 估算 第 2 章 实数 八年级上册数学（北师版） 1. 会估算一个无理数的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识，发展数感. (重点) 2. 能通过估算比较两个数的大小，体会估算在实际生活中的意义和应用. (难点) 素养目标 已知：游乐园门票 82 元/人. 周末我们小组的 7 名同学约好一起去游乐园玩，带 550 元，够吗？ 你还能想到更快速的判断方法吗？ 82×7 = 574 元，574＞550，不够. 80×7 = 560＞550. 估算法 情境导入 探究 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2。 (1) 公园的宽大约有多少？有 1000 m 吗？ 1000 2000 S = 400 000 解：因为 2000×1000 = 2 000 000＞400 000， 所以公园的宽没有 1 000 m。 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 (2) 如果要求结果精确到 10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流。 2x x • 2x = 400000， 2x2 = 400 000， x2 = 200 000， x = 解：设公园的宽为 x 米. S = 400 000 x 如何估计 的近似值呢？ 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 由（1）知 x＜1 000， 当 x = 500 时，2x2 = 500 000 ＞ 400 000. 当 x = 400 时，2x2 = 320 000 ＜ 400 000. 当 x = 450 时，2x2 = 405 000 ＞ 400 000. 大约是多少呢？ 当 x = 440 时，2x2 = 387 200 ＜ 400 000. 所以 x = ≈ 450. 答：它的宽大约是 450 米. 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 (3) 该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m2，你能估计它的半径吗 (结果精确到 1 m)？ 800 m2 r m 解：设圆形花圃的半径为 r m，由题意，得 πr2 = 800. 当 π 取 3.14， r = 10 时，πr2 = 314＜800. 当 π 取 3.14， r = 20 时，πr2 = 1256＞800. 当 π 取 3.14， r = 15 时，πr2 = 706.5＜800. 当 π 取 3.14， r = 16 时，πr2 = 803.84＞800. 答：它的半径约为 16 m. 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 思考 (1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ √ × × 方法一：两数同时乘方 方法二：有理数化作带根号的形式 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 (2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到 1) 解：因为 93 ＜900＜103 ， 所以 . 且 900 更接近 1000， 所以 . 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 ∴ 的值约是 3.5 或 3.6. 例1 怎样估算无理数 (误差小于 0.1)？ 的整数部分是 3. 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 变式训练 按要求估算下列无理数： (误差小于0.1)； 解： (1) 因为 所以 所以 (2) 因为 所以 所以 所以 的估算值是 3.9 或 4. 所以 的估算值是 10 或 11. 探究点一：用估算确定无理数的大小 新知探究 探究点一：用估算确定无理数的大小 【要点归纳】 1. 估算无理数大小的方法：通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“逐步逼近法”，确定真值所在范围； 2. “逐步逼近法”的基本步骤： ① 先估计出是几位数； ② 确定最高数位上的数字（比如十位)； ③ 再确定下一位上的数字（比如个位)； ④ 依次类推，按要求精确到小数点后的某一位。 新知探究 例2 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗? 探究点二： 用估算比较数的大小 新知探究 解：设梯子稳定摆放时的高度为 x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理 6 所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到 5.6 m 高的墙头. 探究点二： 用估算比较数的大小 新知探究 小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较它们的分子就可以了. 因为 ， 所以 ， 因此 . 你认为小明的想法正确吗？ 思考：宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较比较 与 的大小吗？你是怎样比较的？你是怎样想的？ 探究点二： 用估算比较数的大小 正确。 新知探究 2. 比较大小的两个数中如果有含根号的数，常常有如下比较方法： ① 先找个中间值，再比较； ② 先把两数平方或立方，再比较。 要点归纳： 1. 用估算法比较两个数的大小(其中至少有一个是无理数)时，一般先用分析的方法估算出无理数的大致范围，再比较。 探究点二： 用估算比较数的大小 新知探究 例3 通过估算比较下列各组数的大小： (2) 与 2.1。 解：(1) 因为 6 > 4，所以 > ，所以 > 2。 (2) 因为 26 < 27，所以 < ，即 < 3， 但接近于 3，所以 > 2.1. (1) 与 1.5； 所以 ，即 。 探究点二： 用估算比较数的大小 新知探究 ① 作差比较法； 【方法总结】 比较两数的大小常用方法有： ④ 利用平方法比较无理数的大小等。 ② 求值比较法； ③ 移因式于根号内，再比较大小； 探究点二： 用估算比较数的大小 新知探究 试着在自己的计算器里输入同样的算式： 想一想开方运算要用到哪些键？ 探究点三： 利用计算器进行开方运算 新知探究 对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数 = 对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数 SHIFT = 3 第二功能 对于小数与分数可以按： S⇔D 探究点三： 利用计算器进行开方运算 新知探究 不同计算器可能会存在不同的用法. 同 SHIFT 键，指第二功能 如果想转换小数与分数可以按： S⇔D 同 键 探究点三： 利用计算器进行开方运算 新知探究 探究点三： 利用计算器进行开方运算 1.利用计算器，求下列各式的值(结果保留4个有效数字)： 解： ≈ 1.6386； ≈ 28.2843 ； ≈ 0.7616 ； ≈ -0.7560。 新知探究 讨论：(1) 任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算······ 随着开方次数的增加，你发现了什么？ (2) 用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有类似规律。 运算的结果越来越接近 1 . 随着开方次数的增加，运算的结果越来越接近1. 探究点三： 利用计算器进行开方运算 新知探究 (3) 任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？ 选取任意非零数反复开立方， 对正数反复开立方，结果趋近于 1； 对负数反复开立方，结果趋近于－1. 探究点三： 利用计算器进行开方运算 新知探究 1. 估计 的值(　C　) A. 在 3 到 4 之间 B. 在 4 到 5 之间 C. 在 5 到 6 之间 D. 在 6 到 7 之间 C 2. 在0，－1，－ ，－2这四个数中，最小的数是 (　D　) A. 0 B. －1 C. － D. －2 D 当堂反馈 3. 若一个正方形的面积是 8，则估计它的边长大小 在(　B　) A. 2与2.5之间 B. 2.5与3之间 C. 3与3.5之间 D. 3.5与4之间 B 4. 如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，这四 个点中最适合表示 的是 ⁠. 点P　 当堂反馈 5. 已知m，n为两个连续的整数，且m＜ ＜n， 则m＋n＝ ⁠. 7　 解：∵ ＜ ＜ ， ∴2＜ ＜3. ∵ ＜ ＜ ， ∴4＜ ＜5. ∴ ＜ . 6. 通过估算，比较 ， 的大小. 当堂反馈 7. 利用计算器比较下列各数的大小. (1) ＋ ， ； 解： ＋ ＞ . (2) ， . 解： ＞ . 解： ＋ ＞ . 解： ＞ . 当堂反馈 估算 估算在生活中的应用 估算无理数的大致范围 估算一个无理数的近似值 估算比较两个数的大小 课堂小结 $