2.2 第3课时 立方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

2.2 平方根与立方根 第 3 课时 立方根 第 2 章 实数 八年级上册数学（北师版） 1. 通过类比推理，了解立方根的概念，区分平方根与立方根的不同，会用根号表示立方根。(重点) 2. 会用立方运算求千以内的完全立方数的立方根。 (难点) 素养目标 如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积 216 cm3 的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？ 正方体体积公式：V = a3 216 = 6×6×6 小正方形的棱长为 6 cm. 思考： 想一想这个计算过程有何特点？ 情境导入 23＝ ； (－2)3＝ ； 0.53＝ ； (－0.5)3＝ ； ＝ ； ＝ ； 03＝ ； 8 －8 0.125 －0.125 0 思考 1：通过计算，你能发现正数、0、负数的立方与 平方有什么不同之处吗? 思考 2：你能类比平方根的定义说出立方根的定义吗? 活动1：算一算 探究点一：立方根的概念及性质 新知探究 立方根的概念 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根)。 如 2 是 8 的立方根， 是 的立方根， 0 是 0 的立方根 . 探究点一：立方根的概念及性质 新知探究 (3) 正数有几个立方根? 0 有几个立方根 ? 负数呢 ? 【思考】(1) 一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢 ? (2) 求 8 ，0 ，-27 的立方根。 一个数的立方根只有一个。 8 的立方根是 2； 0 的立方根是 0； -27 的立方根是-3。 正数有一个立方根；0 有一个立方根； 负数有一个立方根。 探究点一：立方根的概念及性质 新知探究 根指数 被开方数 其中 a 是被开方数，3 是根指数，3 不能省略. 读作：三次根号 a， 立方根的表示 x3 ＝7 x = 每个数 a 都有一个立方根，记作 ， x 是 7 的立方根 探究点一：立方根的概念及性质 新知探究 【练一练】根据立方根的意义填空： 因为 13 = 1，所以 1 的立方根是（　）； 因为( )3 = 0.125，所以 0.125 的立方根是（　 ）； 因为( )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（　）； 因为( )3 ＝ －1，所以 －1 的立方根是（ ）； 因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）. 0 1 -1 0 -1 0.5 0.5 你能发现正数的立方根有什么特点吗? 负数呢? 0 的立方根是多少? 探究点一：立方根的概念及性质 新知探究 正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。 【知识要点】 求一个数 a 的立方根的运算叫作开立方，a 叫作被开方数。 x = x3 = a 开立方 立方运算 探究点一：立方根的概念及性质 新知探究 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 探究点一：立方根的概念及性质 新知探究 例1 求下列各数的立方根： (1) －27； (2) 解：因为(-3)3 ＝-27， 所以 -27 的立方根是 -3， 即 . 解：因为 ， 所以 的立方根是 ， 即 . 探究点二： 开立方根运算 新知探究 解：-5 的立方根是 (3) 0.216； (4) -5. 解：因为 (0.6)3＝0.216， 所以 0.216 的立方根是 0.6， 即 . 探究点二： 开立方根运算 新知探究 思考：(1) 各题中被开方数有什么关系? (2) 这些数的立方根有什么关系? (3) 根据计算结果，可以得到什么初步结论? (2)因为 =___， =___，所以 ___ ； (1)因为 =____， =____，所以 ___ ； –1 1 = –3 3 = 活动2：计算： (3)因为 =___， =____，所以 __ 。 –4 4 = 互为相反数 互为相反数 互为相反数的两个数的立方根也互为相反数 探究点二： 开立方根运算 新知探究 讨论：(1) 表示 a 的立方根，那么 ()³ 等于什么? 等于什么? (2) 与 有什么关系? (1) ()³ ＝a，＝a. (2) 相等. 要点归纳：结论 1：互为相反数的两个数的立方根互为相反数，即 ＝. 结论2：“先开立方，再立方”与 “先立方，再开立方”的结果相等，都等于原数， 即 ()³＝＝a. 探究点二： 开立方根运算 新知探究 例2 求下列各式的值： 解： 探究点二： 开立方根运算 新知探究 1. －125的立方根是(　C　) A. ±5 B. 5 C. －5 D. ± C 2. 填空： (1) 343 的立方根是 ⁠； (2) － 的立方根是 　－ 　； (3) 0.125 的立方根是 ⁠； (4) －6 的立方根是 ⁠. 7　 － 　 0.5　 　 当堂反馈 3. 求下列各式的值： (1) ； (2)()3； (3)－ .原式＝6. 解：(1)原式＝－ . (2)原式＝－8. (3)原式＝6. 4. 求下列各式中x的值： (1)－3x3＝0.081； (2)(x－2)3＝729. 解：(1)x＝－0.3. (2)x＝11. 当堂反馈 5. 一个长方体的长为9cm，宽为3cm，高为 4cm，而另一个正方体的体积是它的2倍，求这个 正方体的棱长. 解：设这个正方体的棱长为acm， 则依题意得a3＝9×3×4×2＝216， 解得a＝6. 故这个正方体的棱长为6cm. 解：设这个正方体的棱长为acm， 则依题意得a3＝9×3×4×2＝216， 解得a＝6. 故这个正方体的棱长为6cm. 当堂反馈 若 = 2， = 4，求 的值. 解：因为 = 2， = 4， 所以 x = 23，y2 = 16， 所以 x = 8，y = ±4. 所以 x + 2y = 8 + 2×4 = 16，或 x + 2y = 8 – 2×4 = 0. 所以 的值是 4 或 0. 拓展提升 当堂反馈 立方根 概念 开立方 性质 表示方法 一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3 = a，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根(也叫作三次方根) a 的立方根记为 正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数 求一个数的立方根的运算 课堂小结 $