2.2 第1课时 算数平方根（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

2.2 平方根与立方根 第 1 课时 算术平方根 第 2 章 实数 八年级上册数学（北师版） 1. 通过实例了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根，发展抽象思维，培养符号意识. 2. 根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根，并总结其性质，发展数感. (重点) 3. 了解并掌握算术平方根的双重非负性，并利用这一性质进行运算，培养应用能力和运算能力. (难点) 素养目标 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 边长/dm 1 3 4 6 活动1：计算下表中各正方形的边长： 问题1：各正方形的边长与面积之间有什么关系？ 问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？ 正方形的边长的平方等于面积值。 面积越大，边长越大。 情境导入 x2 = ， y2 = ， z2 = ， w2 = ． 活动2：(1) 结合图形完成填空： x2 = 12 + 12 2 3 4 5 y2 = x2 + 12 z2 = y2 + 12 w2 = z2 + 12 探究点一： 算术平方根的概念和性质 (2) x，y，z，w 中哪些是有理数，哪些是无理数 ? z 是有理数， x、y、w 是无理数. O A B C D E x y z w 1 1 1 1 这些无理数又该如何表示呢？ 新知探究 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根 算术平方根 特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 。 记作： 根号 被开方数 a≥0 读作：根号 a 探究点一： 算术平方根的概念和性质 新知探究 1. 一个正数的算术平方根有几个？ 0 的算术平方根有一个，是 0. 2. 0 的算术平方有几个？ 负数没有算术平方根. 3. -1 有算术平方根吗？负数有算术平方根? 一个正数的算术平方根有 1 个. 正数的平方不可能是负数. 【思考·交流】 探究点一： 算术平方根的概念和性质 新知探究 探究点一： 算术平方根的概念和性质 基本条件： 数的角度： 关系的角度： 形的角度： 怎么理解 (a≥0 ， ). 是一个非负数. 的平方是 a； 是 a 的算术平方根； 不计入 0， 是一个面积为正数 a 的正方形的边长. 算术平方根具有双重非负性. 新知探究 解：(1) 因为 302 ＝ 900， 所以 900 的算术平方根是 30，即 ； (2) 因为 12 ＝ 1， 所以 1 的算术平方根是 1，即 ； (3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ； (4) 14 的算术平方根是 。 例1 求下列各数的算术平方根： (1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14． 探究点一： 算术平方根的概念和性质 新知探究 【练一练】1. 计算: 5 0 4 6 1.3 10-4 ( 4 )2 ( 10-4 )2 新知探究 观察例1中得到的几个式子： (1) 一些数的算术平方根的结果没有“ ”了，这些数有什么特点? (2) 在上面的式子中， ，也就是 一般地，当 a≥0 时， 成立吗? = a 这些数都可以化成 a2 的形式。 成立。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 新知探究 ( )2 = a (3) 成立吗? 这里的 a 是什么数 ? 你是怎么理解的 ? 与同伴进行交流. 成立，这里的 a 是非负数。 探究点一： 算术平方根的概念和性质 想一想：a＜0 时， 还成立吗? = a 不成立。如 a＜0 时， 新知探究 【要点归纳】 当 a＜0 时， = -a. 当 a≥0 时， = a， 2= a ； 想一想：如何化简 呢？ = (a≥0)； (a＜0). = | a | a -a 新知探究 议一议：如何区别 与 ？ 从运算顺序看 从取值范围看 从运算结果看 先开方，后平方 先平方，后开方 a≥0 a 取任意实数 a | a | 新知探究 例2 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值. 解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0， 所以 |m - 1| = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2. 几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段学过的非负式有绝对值、平方式及算术平方根. 总结 新知探究 (3) 若 ，则 a = ； (2) 若 (m－7)2 = 0，则 m = ； (4) 若 |a - 3|+ ，则式子 (a + b)2025 = . (1) 若 |a + 3| = 0， 则 a = ； -3 7 5 -1 到目前为止，表示非负的式子有： | a |≥0，a2 ≥0， ≥0. 【练一练】2. 填空： 新知探究 活动3：用一根绳子围成一个长、宽之比为 3∶1，面积为 75 cm² 的长方形 (如图①). 你能求出求长方形的长和宽吗？ 图① 解：设长方形的长为 3x cm，宽为 x cm. 根据边长与面积的关系得 3x · x = 75， 即 x = 25. 由边长的实际意义，得 x = 5. 因此长方形的长为 15 cm，宽为 5 cm. 探究点二：算术平方根的简单应用 新知探究 探究点二：算术平方根的简单应用 问题2：用另一根绳子围成一个正方形（如图②），且正方形的面积等于原来围成的长方形的面积，你能求出正方形的边长吗？ 图② 解：由正方形的面积为 75 cm² 易知，正方形的边长为 cm. 新知探究 例3 自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 解：将 h＝19.6 代入公式，得 ， 即 ， 所以 . 即铁球到达地面需要 2 秒. 新知探究 1.64的算术平方根是(　D　) A. －8 B. ±8 C. 4 D. 8 2. 一个数的算术平方根是3，则这个数是(　B　) A. B. 9 C. ± D. ±9 D B 当堂反馈 4. 填表. a 25 0.16 10－4 ​ ​ 　 结果 5 ​ 0.4 10－2　 ​ ​ 　 5 ​ 0.4 10－2 3. (1) ＝ ⁠；(2) ()2＝ ⁠； (3) 若 ＋｜y－3｜＝0，则xy＝ ⁠. 3　 3　 6　 当堂反馈 5. 有一个长方形的花坛，长是宽的4倍，其面积为 25m2，求该长方形花坛的长和宽各是多少. 解：设该长方形花坛的宽为xm，则长为4xm. 由题意得4x·x＝25，即x2＝ ， 所以x＝ ＝ .则4x＝10. 故该长方形花坛的长为10m，宽为2.5m. 解：设该长方形花坛的宽为 x m，则长为 4 xm. 由题意得4x·x＝25，即x2＝ ， 所以x＝ ＝ .则4x＝10. 故该长方形花坛的长为 10 m，宽为 2.5 m. 当堂反馈 算术平方根 定义 表示 特征 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 ，那么这个正数 x 就叫作 a 的算术平方根，记作________. 非负数 a 的算术平方根记作“_______”.读作“_______”，其中 a 叫作___________ 正数 a 的算术平方根是_______；0 算术平方根是_______； 负数没有算术平方根 x2 = a 根号 a 被开方数 0 课堂小结 $