第一章 问题解决策略：反思（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

问题解决策略：反思 第一章 勾股定理 北师版 八年级(上) 1. 理解将立体图形展开为平面图形的原理，根据立体图形的特征，合理选择展开方式，构建正确的平面图形模型.(重、难点) 2. 掌握将立体图形展开成平面图形，利用“两点之间，线段最短”原理求解最短路径问题；(重点) 3. 经历从特殊到一般的探究过程，学会运用数学建模思想解决问题. 素养目标 问题情境： 有一只蚂蚁要正方体形状的从桌子脚的 P 点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到 C 点，怎样爬行路线最短？ 情境导入 例1 如图，有一个正方体形状的桌子，正方形 ABCD 是它朝上的桌面，点 A，B，C，D 是正方形的四个顶点，桌高是 h cm. (1) 一只蚂蚁要从正方形桌面 ABCD 的 A 点爬行到 C 点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由： ； 探究点一：正方体中的最短路径问题 A B C D 图① 两点之间线段最短 新知探究 探究点一：正方体中的最短路径问题 (2) 另有一只蚂蚁要从桌子脚的 P 点(图中正方体的一个顶点)沿正方体桌子的外表面爬行到 C 点，怎样爬行路线最短？请画出最短路线示意图.(画出一种即可) (2) 如图，PC 即为所求最短路线. ( 答案不唯一) A B C P 归纳总结： 对于正方体的最短路径问题，先将正方体展开，找到两点在展开图中的位置，再利自用勾股定理计算两点间的线段长度. 新知探究 B 牛奶盒 A 问题：看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明灵光乍现，又拿出了长方体形状的牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处滴了一滴蜂蜜，你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线么？ 6 cm 8 cm 10 cm 探究点二：长方体的最短路径问题 新知探究 B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 = 102 + (6 + 8)2 = 296， AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320， AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360， 解：由题意知有三种展开方法， 如图. ∴ AB1＜AB2＜AB3. ∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为 AB1. 8 6 6 10 8 由勾股定理得 探究点二：长方体的最短路径问题 新知探究 探究点二：长方体的最短路径问题 例2 如图，正方体的梭长为 3 cm，已知点 B 与点 C 间的距离为 1 cm，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点 A 爬到点 C，需要爬行的最短距离为 . 解析：如图①，AC² = (3 + 1)² + 3² = 25=52. 如图②，AC² = (3 + 3)² + 1² = 37. ∵ 25＜37，∴需要爬行的最短距离为 5 cm. A B C 图① A B C 图② 5 cm 新知探究 归纳总结： 长方体最短路径问题的解题关键：要全面考虑长方体的不同展开方式，通过计算比较得出最短路径. 新知探究 （1）在这个问题中，已知条件有哪些？ 你认为已知条件足够解决这个问题吗？ 问题 如图，一个圆柱的高为 12 cm，底面圆的周长为 18 cm. 在圆柱下底面的点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点 A 相对的点 B 处的食物， 那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少? 理解问题 已知圆柱高 12 cm、底面圆周长 18 cm及 A、B 点位置. 条件够，可确定展开图长和宽求最短路程. A B 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 （2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下. A B 路线有无数条，如螺旋上升. 将侧面展开，根据 “两点之间线段最短” ，连接展开图 A、B 的线段最短. 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下. 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 拟定计划 （1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？ 以前研究平面最短路线，依据 “两点之间线段最短”. 而本题是在研究圆柱曲面. （2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？ 需将圆柱曲面展开成平面求解. 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 把圆柱侧面沿母线剪开展开成长方形. A 在一条长边，B 在相对长边，水平距离是底面圆周长一半，垂直距离是圆柱高. 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 实施计划 (1) 如图，将圆柱侧面剪开，确定展开图的形状， 以及与圆柱的对应关系. (2) 在图中标出点 B 的位置. (3) 在图中确定 A，B 两点 之间最短的路线， 并计算它的长度. 12 9 15 18 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 【练一练】一只蚂蚁从 A 点沿圆柱侧面爬到顶面相对的 B点处，如果圆柱高为 7 cm，底面半径为 cm， 那么蚂蚁爬过的最短路径 AB 的长为 . 25 cm 解析：如下图展示，连接 AB， 因为圆柱的底面半径为 cm， ， 在Rt△ACB 中，AB² = AC² + CB² = 576 + 49 = 625，AB = 25cm，即蚂蚁爬行的最短路径长为 25 cm. A B C 新知探究 归纳总结： 将圆柱侧面展开成长方形，利用勾股定理求展开图中两点间的线段长度. 新知探究 例3 有一个圆柱形油罐，要从 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短长度. BB' ≈ 2×3×2 = 12， 由勾股定理得 AB′2 = BB′2 + AB2 = 122 + 52 = 169， 所以 AB′ = 13，即梯子最短约需 13 m. 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 【练一练】1. 当小蚂蚁爬到距离上底 3 cm 的点 E 时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，一滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 3 cm 的点 F 处，小蚂蚁到达点 F 处的最短路程是多少？（π取3） E F E F 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 E F E F 解：如图，可知△ECF 为直角三角形， 由勾股定理，得 EF2 = EC2 + CF2 = 82 + (12 - 3 - 3)2 = 100， ∴ EF = 10 (cm). 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 （1）先将立体图形的表面展开；（立体→平面） （2）再作两点之间的连线；（构造直角三角形） （3）运用勾股定理求出两点之间的距离. 立体图形 平面图形 直角三角形模型 展开 勾股定理 立体图形上的最短路程: 探究点三：圆柱体中的最短路径问题 新知探究 1.如图，一只蚂蚁沿棱长为 m 的正方体侧面从顶点 C爬到顶点 B，现将正方体侧面沿 AC 剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（ ） A 当堂反馈 2. 如图，长方体的长、宽、高分别是 12，8，30，在AB 中点 C 处有一滴蜜糖，一只小虫从 E 处爬到 C 处去吃，有无数种走法，则它爬行的最短路程是（ ） B A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 当堂反馈 3. 如图，圆柱的底面周长是 14 cm，圆柱高为 24 cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点 A 爬到与之相对的上底面点 B，那么它爬行的最短路程为（ ） A.14 cm B.15 cm C.24 cm D.25 cm D 当堂反馈 4. 如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点 A到顶点 B 沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高 AB 为 7 cm，底面边长为 4 cm，则这圈金属丝的长度至少为( ) A A. 25 cm B. 31 cm C. 24 cm D. 7 cm 当堂反馈 5. 如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 24 dm，3 dm，3 dm，点 M 和点 N 是这个台阶上两个相对的端点，M 点有一只蚂蚁，想到 N 点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 N 的最短路程为 dm. 解析：如图所示，因为它的每一级的长、宽、高、分别为 24 dm，3 dm， 3 dm，所以 MN² = 24² +(3×6)² = 30² (dm).即蚂蚁沿着台阶面爬行到点 N 的最短路程是30 dm. 30 当堂反馈 6. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池的示意图，该 U 型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m 的半圆，其边缘 AB = CD = 20 m，点 E 在 CD 上，CE = 5 m，一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点，求他滑行的最短距离. 当堂反馈 解：如图是其侧面展开图： AB = CD = 20 (m)，DE = CD－CE = 15 (m)，在Rt△ADE 中，20² + 15² = AE²， 解得 AE = 25（负值舍去）， 故他滑行的最短距离约为 25 (m). A B C B E 当堂反馈 问题解决策略 展开图中的最短路径问题（转化） 常见背景：正方体长方体、圆柱 原理：线段基本事实＋勾股定理 课堂小结 1. 圆柱 课堂小结 2. 棱柱（以长方体为例） 课堂小结 3. 台阶问题 探究点：立体图形上的最短路程 新知探究 $