1.1.2探究勾股定理 导学案 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

本文围绕探究勾股定理展开，核心知识点为勾股定理的证明与应用。承接勾股定理基础内容，为后续复杂几何问题求解奠基。通过观察猜想、操作验证等环节，培养学生抽象能力、推理能力等核心素养，引导学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。 该设计亮点在于多种证明方法的探索，采用活动探究法激发学生兴趣。从学生层面看，提升解决实际问题能力；从教师层面看，提供清晰教学路径；从课堂效果看，有效突破勾股定理图形验证这一教学难点。

§1.1.2探究勾股定理 学案 班级：__________ 学生姓名：__________ 日期：____月____日 学习目标: 1.经画图探索与拼图验证勾股定理，体会数形结合思想，发展合情推理能力。 2.掌握勾股定理的简单应用，提升解决实际问题的能力。 重难点: 重点：勾股定理的应用。 难点：通过图形验证进一步理解勾股定理。 学习过程 【复习回顾】 1. 勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么________，用文字描述是_______ _ 。 2. 勾股定理适用范围是________三角形，在一个直角三角形中，已知任意________ 条边的长度，可利用该定理求出第三条边 。 3. 若直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边为________ ；若斜边为10，一条直角边为6，则另一条直角边为________ 。 【探究新知】 知识点一：勾股定理的证明方法 活动一：观察猜想 在下图中分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流. 活动二：操作验证 为了计算上图中大正方形的面积,小明对这个大正方形适当割补后,分别得到图1、图2. (1)将所有三角形和正方形的面积用含a,b,c的式子表示出来; (2)图1、图2中正方形ABCD的面积分别是多少?你有哪些表示方式? (3)你能分别利用图1、图2验证勾股定理吗? 活动三：探索勾股定理的其他证明方法总统证法 赵爽弦图 毕达哥拉斯证法a a a a b b b b c c c c c b a a b b c c b- a a 请在以上所示图形中任选一个完成勾股定理的证明。 【知识点归纳】： 图形验证勾股定理的本质是：通过构建特定图形，利用图形面积的 关系 建立等式，再结合代数运算推导直角三角形三边关系 。 【典例讲解】 例1.我方侦察员小王在距离东西向公路处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距，后，汽车与他相距.你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？A B C 即学即练 1. 如图，为了测得湖两岸A点和B点之间的距离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC＝90°， 并测得AC长为20m，BC长为16m，则A点和B点之间的距离为(　 ) 第1题图 第2题图 2. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,已知小巷的宽度是2.2 m,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底 端到左墙角的距离为0.7 m,顶端距离地面2.4 m,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜 靠在右墙时,那么梯子顶端距离地面　　　　m.  【归纳总结】 1. 运用勾股定理解决实际问题时，关键步骤是什么？容易出错的地方有哪些？ 2. 拼图验证勾股定理的本质是什么？不同拼图方法的联系与区别在哪里？ 3. 勾股定理在非直角三角形中能否间接应用？如何应用？ 【课堂检测】 基础练习： 1.如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是15和9 ,那么这个直角三角形的面积是 (　　) A.54、 B.45 C.60 D.108 2.一段台阶如图所示,已知每个台阶的宽度都是30 cm, 每个台阶的高度都是15 cm,连接AB,则AB=　　　　cm.  能力提升： 台风会对我国很多地区产生很严重的影响.已知某台风风力影响半径为250 km(即以台风中心为圆心,250 km为半径的圆形区域都会受台风影响).如图1-1-16,线段BC是台风中心从C市移动到B市的大致路线,A是某个大型农场,且AB⊥AC.若A,C之间相距300 km,A,B之间相距400 km. (1)判断农场A是否会受到台风的影响,请说明理由; (2)若台风中心的移动速度为20 km/h,则台风影响农场A的持续时间有多长? 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$