4.4 第1课时 确定一次函数的表达式（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第4章 一次函数 4.4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式 【素养目标】 1. 掌握用待定系数法求一次函数的解析式, 发展运算能力和推理应用意识,培养举一反三的发散性思维。 (重点) 2. 在运用一次函数解析式解决问题时,能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件,发展数感和观察能力。(难点) 【复习导入】 函数 解析式 图象 正比例函数 一次函数 前面,我们学习了一次函数及其图象和性质,你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象? 反过来, 如果知道一条直线经过两个已知点, 能否确定这条直线的解析式呢? 【合作探究】 探究点一: 确定正比例函数的表达式 引例:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度 与其下滑时间 的关系如图所示. (1) 请写出 与 的关系式; (2) 下滑第 末物体的速度是多少？ 练一练 1. 已知一个正比例函数的图象如图所示. (1) 求该函数的表达式； (2) 若点 (-3, m) 也在该函数图象上,求 的值. 探究点二: 确定一次函数的表达式 如图,已知一次函数的图象经过 , 两点。怎样确定这个一次函数的解析式呢? 因为一次函数的一般形式是 为常数, ,要求出一次函数的解析式,关键是要确定 和 的值 (即待定系数). 函数解析式y = k x + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 解: 和 都在该函数图象上, 它们的坐标都满足 ,将这两点坐标代入该式中,得 解这个方程组,得 . 这个一次函数的解析式为 . 【归纳总结】 待定系数法求一次函数解析式的步骤: (1) 设:设一次函数的一般形式 ； (2) 列:把图象上的点 代入一次函数的解析式; (3) 解: 解方程得 ； (4) 写:把 的值代入所涉解析式中,写出表达式 想一想: 确定正比例函数的表达式需要几个条件 ? 确定一次函数的表达式呢? 例1 在弹性限度内,弹簧的长度 是所挂物体质量 的一次函数,某弹簧不挂物体时长 ,当所挂物体的质量为 时,弹簧长 . 写出 与 之间的关系式,并求当所挂物体的质量为 时弹簧的长度? 【尝试思考】某根蜡烛燃烧前长 ；燃烧时,剩下的长度 (单位:cm) 是燃烧时间 (单位: h )的一次函数.当这根蜡烛燃烧 时,其长度为 . (1) 写出 与 之间的关系式； (2) 这根蜡烛最多能燃烧多长时间？ 例2 若一次函数的图象经过点 ,且与直线 平行,求其解析式. 练一练2. 已知直线 如图所示,点 的坐标为 ( 0 , 1 ). (1) 求直线 的表达式； (2) 已知 ,说明点 是否在直线 上? 3. 如图,一次函数的图象过点 ,且与正比例函数 的图象交于点 ,则该一次函数的表达式为 ( ) A. B. C. D. 当堂反馈 1. 一个正比例函数的图象经过点 (4, -2) ,则它的表达式为( ) A. B. C. D. 2. 若一次函数 的图象经过点 ,则下列各点在该函数图象上的为 ( ) A.( 1, -1) B.(-1, -6) C.( 3,5 ) D.(-2, -12) 3. 若 与 成正比例,当 时, ,则 与 之间的关系式为_________________. 4. 小明根据某个一次函数表达式填写了下表. -1 0 2 -3 6 ? (1) 该一次函数的表达式为 ____________ ； (2) 表中“ ? ”表示的数为 ____________ . 5. 如图, 反映了某公司产品的销售收入 (元)与销量 (百件)之间的关系； 反映了该公司产品的销售成本 (元)与销量 (百件)之间的关系. 根据图象提供的信息,直线 对应的函数表达式为 ____________ , 直线 对应的函数表达式为 ____________ . 6. 已知一次函数的图象经过 两点, 求: (1) 一次函数的表达式； (2) 此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积 . 参考答案 复习导入 例： 两点法——两点确定一条直线 探究点一: 确定正比例函数的表达式 引例:解:(1) 设 ,点(2,5)在函数图象上, 当 时, ,即 , 解得 ；所以 与 的关系式为 。 (2) 当 时, 。 练一练 1. 解:(1)设该正比例函数的表达式为 . 由图象,得该正比例函数经过 ( 1,2 ), 则有 。所以该函数的表达式为 。 (2) 因为点(-3, m)在该函数图象上,所以 。 探究点二: 确定一次函数的表达式 想一想: 确定一次函数的表达式需要一个条件. (求出 的值) 确定一次函数的表达式需要两个条件. (求出 和 的值) 例1 解: 设 ,根据题意,得 将 ① 代入 ② ,得 ,所以在弹性限度内, 当 时, 即物体的质量为 时,弹簧长度为 . 【尝试思考】解:(1) 设 ,根据题意,得30=b, ① 12=2k+b, ② 将 ① 代入 ② ,得 ,所以 。 (2) 当 时,即 ,解得 , 所以这根蜡烛最多能燃烧 。 例2 解: 设这个一次函数的解析式为 . 由题意得 ,解得 . 练一练 2. 解:(1) 由图象,得点 ,点 .设直线 为 .由题意得 ,解得 . 直线 的表达式为 . (2) 把 ,代入 ,得 点 在直线 上. 3. B. 当堂反馈 1. C. 2. B. 3. . 4. (1) ； (2) 24 . 5. , . 6. 解: (1) 设一次函数的表达式为 . 图象经过 两点, . 解得 . 一次函数的表达式为 . (2) 一次函数 的图象与 轴、 轴的交点坐标分别为(-2,0)和(0,2), . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $