4.1 函数（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第4章 一次函数 4.1 函数 【素养目标】 1. 借助简单实例了解函数的概念,弄清自变量与函数之间的关系,发展数感和量感。(重点) 2. 通过函数的定义,能判断两个变量是否具有函数关系, 形成对数学知识的理解,学会发现问题、提出问题。 3. 掌握函数的定义,能确定函数中自变量的取值范围并解决相关问题,养成有意识的数据运用和数学语言表达习惯。(难点) 【情境导入】 乌鸦能喝到水, 是因为什么量发生了改变呢? 【合作探究】 探究点一、函数的概念及表示方法 情景一：如果你坐在摩天轮上,随着时间的变化,你离开地面的高度是如何变化的? 下图反映了摩天轮上的一点的高度 与旋转时间 之间的关系. (1) 根据右图填表: t /分 0 1 2 3 4 5 ... /米 ... (2) 对于给定的时间 , 相应的高度确定吗? 情景二：对于给定任一层数 ,相应的物体总数 确定吗? 有几个 值和它对应? 填写下表: 层数 1 2 3 4 5 ... 物体总数 ... 情景三：一定质量的气体在体积不变时,假若温度降低到 -273℃,则气体的压强为零. 因此,物理学把 作为热力学温度的零度. 热力学温度 与摄氏温度 之间有如下数量关系: . (1) 当 分别等于 时,相应的热力学温度 是多少? (2) 给定任一个大于 的摄氏温度 值,相应的热力学温度 确定吗? 有几个 值和它对应? 上面的三个问题中,有什么共同特点? ① 时间 、相应的高度 ； ② 层数 、物体总数 ； ③ 摄氏温度 、热力学温度 . 【函数的概念】 一般地,如果在一个变化过程中有两个变量 和 ,并且对于变量 的每一个值,变量 都有唯一的值与它对应,那么我们称 是 的函数,其中 是自变量。 注意: 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 函数的常见表示方法： 表示函数的一般方法 例1 下列关系式中哪些是 关于 的函数,哪些不是? (1) . 例2 (1) 圆的周长公式 中,有________个变量, 是____和____； (2) 汽车在公路上匀速行驶,速度为每小时 ,则汽车行驶的路程 与行驶的时间 之间的关系式为______________ ； (3) 圆的面积 与半径 的函数关系式为 ___________； (4) 某 30 层的大厦底层高 4 m ,以上每层高 3 m ,从底层数起,则前 层的高度 与 的函数关系式为___________. 探究点二: 函数的自变量的取值范围与函数值 问题: 上述的三个问题中, 要使函数有意义, 自变量能取哪些值? 情景一 自变量 的取值范围: _____________. 情景二: 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放. 随着层数的增加,物体的总数是如何变化的? 自变量 的取值范围: __________________. 情景三:一定质量的气体在体积不变时, 假若温度降低到 -273℃,则气体的压强为零. 因此,物理学把 -273 ℃ 作为热力学温度的零度. 热力学温度 与摄氏温度 之间有如下数量关系: . 自变量 的取值范围:__________________. 函数值的概念 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a ，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。即：如果 y 是 x 的函数， 当 x = a 时，y = b，那么 b 叫作当 x = a 时的函数值。 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的函数的值。 例3 汽车的油箱中有汽油 ,如果不再加油,那么油箱中的油量 (单位: ) 随行驶里程 (单位: ) 的增加而减少,平均耗油量为 。 (1) 写出表示 与 的函数关系的式子。 (2) 指出自变量 的取值范围; (3) 汽车行驶 时,油箱中还有多少油？ 当堂反馈 1. 下列图象中,表示 是 的函数的是 ( ) 2. 若一支铅笔 2 元,小敏用 11 元钱买了 支铅笔,余款为 元,则 与 之间的关系式为 ( ) A. B. C. D. 3. 函数 中,自变量 可取的值是 ( ) A. 5 B. 3 C. 0 D. -5 4. 在一个标准大气压下,能反映水在均匀加热过程中,水的温度(T)随加热时间(t)变化的函数图象大致是 ( ) 5. 已知变量 与 的函数关系式是 ,则当时,函数值 . 6. 观察下表, 与 的关系式为_______________. 1 2 3 4 5 ... 2 4 6 8 10 ... 参考答案 情境导入 水面高度和石子数量。石子数量改变使得水面高度改变,而水量固定不变。 探究点一: 函数的概念及表示方法 情景一 t/分 0 1 2 3 4 5 ... h /米 3 14 36 47 36 14 ... 情景二 层数 1 2 3 4 5 ... 物体总数 1 3 6 10 15 ... 情景三 (1) 解: 当 时, ; 当 时, ； 当 时, ； 当 时, . (2) 解:能. 因为 时, ,满足条件且 是唯一确定. 共同特点: 都有两个变量, 给定其中某一个变量的值, 相应地就确定了另一个变量的值. 例1 解: ① 当 时, ；当 时, ……，对于 的每一个确定的值, 都有唯一确定的值与它对应,则 是 的函数；同理 ②。 ③当 时, . ④当 时, 。 对于 的每一个确定的值, 不唯一,则 不是 的函数。 例2 (1) 2 ， ， R； (2) ；(3) ； (4) . 问题: 情景一 自变量 的取值范围: 情景二：自变量 的取值范围: 取正整数. 情景三: . 例3 (1)解：(1) 函数关系式为： y = 50－0.1x (2) 由 及 得 , 自变量的取值范围是 。 (3) 当 时,函数 的值为。 因此,当汽车行驶 时,油箱中还有油 。 当堂反馈 1. B 2. C. 3. A. 4. B 5. . 6. . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $