2.3 第1课时 二次根式及其乘除（Word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学上册同步备课（北师大版2024）

第2章 实数 2.3 二次根式 第1课时 二次根式及其乘除 【素养目标】 1. 能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质, 发展迁移思想,掌握由 “数” 到 “式”,由 “特殊”到 “一般”的学习方法。(重点) 2. 了解并掌握二次根式的性质,培养推理意识与推理能力,初步养成讲道理、有条理的思维品质。(重点) 3. 会运用二次根式进行乘除运算,形成数学的表达与交流能力,发展应用意识和实践能力。(难点) 【情境导入】 问题1: 什么叫作平方根? 问题2: 什么叫作算术平方根? 怎么表示它? 问题3: 什么数有平方根? 【合作探究】 探究点一: 二次根式的概念 观察下列代数式: (其中 )。 可以发现, 这些式子我们在前面都已学习过, 它们的共同特征是: 1. ___________________________, 2. ___________________________。 二次根式的概念 一般地,形如 的式子叫作二次根式, 叫作被开方数。 注意: 可以是数,也可以是式子. 两个必备特征 例1 下列各式中, 哪些是二次根式? 哪些不是? (1) ; (2) 6 ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) . 例2 当 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? 【变式训练】当 是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义? (1) ; (2) . 【知识要点】 ( 1 )单个二次根式如 有意义的条件: . ( 2 )多个二次根式相加如 有意义的 条件: . ( 3 )二次根式作为分母如 有意义的条件: . (4) 形如 或 的式子有意义的条件: 且 . 【练一练】1. 下列各式: . 一定是二次根式的有 ( ) A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 2.(1)若式子 在实数范围内有意义,则 的取值范围是________ ; (2)若式子 在实数范围内有意义,则 的取值范围是 ___________ . 探究点二: 二次根式的乘除运算 活动1: (1) 计算下列各式, 观察计算结果, 你能发现什么规律? (2)根据上面的猜想,估计下面每组两个式子是否相等,借助计算器验证,并与同伴进行交流。 (3) 你能用字母表示你发现的规律吗？ 二次根式的乘法法则和除法法则 积的算术平方根,等于算术平方根的积。 商的算术平方根,等于算术平方根的商。 例3 计算: 【针对训练】计算:(1) . 【归纳总结】二次根式的乘法法则的推广: ① 多个二次根式相乘时此法则也适用,即 ② 当二次根号外有因数(式)时,可以类比单项式乘单项式的法则计算,即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式), 被开方数(式)的积作为被开方数(式), 即 活动2:(1)对比 ,想想该怎么计算? 类似的参考： 和。 计算: (1) (2) . 【变式训练】计算. (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 例4 计算: (1) ; (2) ; (4) ; (5) （） ; (6) . 当堂反馈 1. 下列各式中,不是二次根式的是( ) A. B. C. D. 2. 二次根式 有意义,则 的值可以为( ) A. 7 B. 6 C. 0 D. -1 3. 计算: A. 12 B. C. D. 4. 若 在实数范围内有意义,则 的取值范围为 __________ . 5. 填空: (1) _____ ；(2) ________. 6. 计算: (1) ; (2) ； (3) ； (4) . 参考答案 复习导入 问题1: 一般地,如果一个数的平方等于 ,那么这个数叫作 的平方根。 问题2: 如果 ,那么 称为 的算术平方根, 用 表示。 问题3: 负数没有平方根。因此,在实数范围内开平方时,被开方数只能是非负数。 探究点一: 二次根式的概念 共同特征:1. 都含有开平方运算, 2. 并且被开方数都是非负数。 例1 解:(1)(4)(6)均是二次根式, (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 例2 解: 由 ,得 。当 时, 在实数范围内有意义。 【变式训练】(1) 解: 由题意得 ,所以 。 (2) 解: 因为被开方数需大于或等于零,所以 ,所以 . 因为分母不能等于零,所以 ,所以 .所以 且 . 【练一练】1. B 2.(1) ; (2) 且 . 探究点二: 二次根式的乘除运算 活动1: (1) ① 被开方数都是正数；② 左右两边式子的值相等； ③ 左边是两个二次根式的乘积 (或商) ,右边是两个二次根式被开方数乘积 (或商) 开平方. (2) (3) 例3解: ; 【针对训练】解:(1) . (2) . 活动2:(1) 计算:(1) . (2) . 【变式训练】解: (1) 原式 ; (2) 原式 ; (3) 原式 ; (4) 原式 . 例4 解:(1)原式= (2) 原式 . (3) 原式 . (4) 原式 . (5) 原式 . (6) 原式 . 当堂反馈 1. B 2. A 3. D. 4. 且 . 5. (1) ；(2) 6 . 6. 计算: 解: (1) 原式 . （2）原式 . (3) 原式 . （4）原式 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $